三角函數(shù)公式 (3)

1、.銳角三角函數(shù)公式sin =的對邊 / 斜邊cos =的鄰邊 / 斜邊tan =的對邊 / 的鄰邊cot =的鄰邊 / 的對邊倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA2）（注：SinA2 是sinA的平方 sin2（A） ）三倍角公式sin3=4sin·sin(/3+)sin(/3-)cos3=4cos·cos(/3+)cos(/3-)tan3a = tan a · tan(/3+a)· tan(/3-a)三倍角公式推導sin3a=sin(2a

2、+a)=sin2acosa+cos2asina輔助角公式Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中sint=B/(A2+B2)(1/2)cost=A/(A2+B2)(1/2)tant=B/AAsin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B降冪公式sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2cos2()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2)推導公式tan+cot=2/sin2tan-cot=-2cot21+cos2=2cos21-cos2=2sin21+sin=(sin

3、/2+cos/2)2=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina(3/2)²-sin²a=4sina(sin²60

4、6;-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60°-a)/2*2sin(60°-a)/2cos(60°-a)/2=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosacos²a-(3/2)²=4cosa(cos²a-cos²30°

5、)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos(a+30°)/2cos(a-30°)/2*-2sin(a+30°)/2sin(a-30°)/2=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin90°-(60°-a)sin-90°+(60°+a)=-4cosacos(60°-a)-cos(60°+a)=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述兩式相比可得tan

6、3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin2(a/2)=(1-cos(a)/2cos2(a/2)=(1+cos(a)/2tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)學習方法網(wǎng)三角和sin(+)=sin·cos·cos+cos·sin·cos+cos·cos·sin-sin·sin·si

7、ncos(+)=cos·cos·cos-cos·sin·sin-sin·cos·sin-sin·sin·costan(+)=(tan+tan+tan-tan·tan·tan)/(1-tan·tan-tan·tan-tan·tan)兩角和差cos(+)=cos·cos-sin·sincos(-)=cos·cos+sin·sinsin(±)=sin·cos±cos·sintan(+)=(ta

8、n+tan)/(1-tan·tan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tan·tan)和差化積sin+sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2sin-sin = 2 cos(+)/2 sin(-)/2cos+cos = 2 cos(+)/2 cos(-)/2cos-cos = -2 sin(+)/2 sin(-)/2tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)積化和差sinsin = cos(-)-cos(+)

9、/2coscos = cos(+)+cos(-)/2sincos = sin(+)+sin(-)/2cossin = sin(+)-sin(-)/2誘導公式sin(-) = -sincos(-) = costan (a)=-tansin(/2-) = coscos(/2-) = sinsin(/2+) = coscos(/2+) = -sinsin(-) = sincos(-) = -cossin(+) = -sincos(+) = -costanA= sinA/cosAtan（/2）cottan（/2）cottan（）tantan（）tan誘導公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限萬能公式si

10、n=2tan(/2）/1+tan(/2)cos=1-tan(/2)/1+tan(/2)tan=2tan(/2)/1-tan(/2)其它公式(1)(sin)2+(cos)2=1(2)1+(tan)2=(sec)2(3)1+(cot)2=(csc)2證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sin)2,第二個除(cos)2即可(4)對于任意非直角三角形,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC證:A+B=-Ctan(A+B)=tan(-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanB

11、tanC得證同樣可以得證,當x+y+z=n(nZ)時,該關(guān)系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）2+(cosB）2+(cosC）2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）2+（sinB）2+（sinC）2=2+2cosAcosBcosC(9)sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0cos+co

12、s(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0折疊誘導公式三角函數(shù)的誘導公式（六公式）公式一：sin(+k*2)=sin （k為整數(shù)）cos(+k*2)=cos（k為整數(shù)）tan(+k*2)=tan（k為整數(shù)）公式二：sin(+) = -sincos(+) = -costan(+）=tan公式三：sin(-) = -sincos(-) = costan (-)=-tan公式四：sin(-) = sinco

13、s(-) = -costan(-) =-tan公式五：sin(/2-) = coscos(/2-) =sin由于/2+=-（/2-），由公式四和公式五可得公式六：sin(/2+) = coscos(/2+) = -sin誘導公式 記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限。2或者也可以這樣記：分變整不變，符號看象限。折疊和（差）角公式三角和公式sin（+）=sin·cos·cos+cos·sin·cos+cos·cos·sin-sin·sin·sincos（+）=cos·cos·cos-cos·

14、sin·sin-sin·cos·sin-sin·sin·costan（+）=（tan+tan+tan-tan·tan·tan）/（1-tan·tan-tan·tan-tan·tan）（+/2+2k，、/2+2k）積化和差的四個公式sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2和差化積的四個公式：sinx

15、+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)折疊倍角公式sin（3a)3sina-4sin3a=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina（1-sin2a)+（1-2sin2a)sina=3sina-4sin3acos3a（2cos2a-1）cosa-2（1-cos2a)cosa=cos（2a+a)=cos2acosa-sin2asina=（2co

16、s2a-1）cosa-2（1-cos2a)cosa=4cos3a-3cosasin3a4sinasin（60°+a)sin（60°-a)=3sina-4sin3a=4sina（3/4-sin2a)=4sina（3/2）-sina（3/2）+sina=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin（60+a)/2cos（60°-a)/2*2sin（60°-a)/2cos（60°+a)/2=4sinasin（60°+a)sin（60°-a)cos3a4cosacos（60

17、°-a)cos（60°+a)=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4）=4cosacos2a-（3/2）2=4cosa(cosa-cos30°）(cosa+cos30°）=4cosa*2cos(a+30°）/2cos(a-30°）/2*-2sin(a+30°）/2sin(a-30°）/2=-4cosasin(a+30°）sin(a-30°）=-4cosasin90°-（60°-a)sin-90°+（60°+a)=-4cosacos（60&

18、#176;-a)-cos（60°+a)=4cosacos（60°-a)cos（60°+a)tan3atanatan（60°-a)tan（60°+a)上述兩式相比可得tan3a=tanatan（60°-a)tan（60°+a)三倍角sin3=3sin-4sin3 =4sin·sin（/3+）sin（/3-）cos3=4cos3 -3cos=4cos·cos（/3+）cos（/3-）tan3=tan（）*(-3+tan（）2）/(-1+3*tan（）2）=tan a · tan（/3+a）·

19、; tan（/3-a)特殊公式（sina+sin）*（sina-sin）=sin（a+）*sin（a-）證明：（sina+sin）*（sina-sin）=2 sin（+a)/2 cos(a-)/2 *2 cos（+a)/2 sin(a-）/2=sin（a+）*sin（a-）折疊坡度公式我們通常把坡面的垂直高度h與水平寬度l的比叫做坡度（也叫坡比）， 用字母i表示，即i=h / l,坡度的一般形式寫成l : m形式，如i=1:5.如果把坡面與水平面的夾角記作a（叫做坡角），那么i=h/l=tan a.半角公式萬能公式6輔助角公式注：該公式又稱收縮公式 / 強提公式 / 化一公式 等asin +b

20、cos =(a2+b2)sin(+)，其中tan =b/aasinA+bcosB=根號下a方+b方×（根號下a方+b方分之a(chǎn)×sinA+根號下a方+b方分之b×cosB) 令根號下a方+b方分之a(chǎn)=cosC 則根號下a方+b方分之b=sinC asinA+bcosB=根號下a方+b方（sinAcosC+cosBsinC)=根號下a方+b方×sin(A+C)折疊雙曲函數(shù)h a = ea-e(-a)/2ch a = ea+e(-a)/2th a = sin h(a)/cos h(a)公式一：設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2k+）= sincos（2k+）= costan（2k+）= tancot（2k+）= cot公式二：設(shè)為任意角，+的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（+）= -sincos（+）= -costan（+）= tancot（+）= cot公式三：任意角與 -的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（-）= -sincos（-）= costan（-）=