第17講多項(xiàng)式環(huán)與根的擴(kuò)域

1、第第16講講 多項(xiàng)式環(huán)與根的擴(kuò)域多項(xiàng)式環(huán)與根的擴(kuò)域求根的前提是求根的前提是 根的存在性根的存在性. 2.5 多項(xiàng)式環(huán)與根的擴(kuò)域多項(xiàng)式環(huán)與根的擴(kuò)域如果如果 f(x) 在在F上沒(méi)有根上沒(méi)有根, 是否有是否有F的擴(kuò)域的擴(kuò)域 E 使得使得多項(xiàng)式的求根問(wèn)題是應(yīng)用中廣泛存在的多項(xiàng)式的求根問(wèn)題是應(yīng)用中廣泛存在的. 問(wèn)問(wèn)題題設(shè)設(shè) f(x) 是域是域 F 上的一個(gè)多項(xiàng)式。上的一個(gè)多項(xiàng)式。 f(x) 在在 E 上有根上有根？如果如果 這樣的擴(kuò)域這樣的擴(kuò)域 E 存在，怎樣把存在，怎樣把 E 找出來(lái)找出來(lái)？E 與與 f(x) 有何關(guān)系？有何關(guān)系？2.5 多項(xiàng)式環(huán)與根的擴(kuò)域多項(xiàng)式環(huán)與根的擴(kuò)域(1) 生成子域生成子域,

2、對(duì)求對(duì)求E不適用不適用(?)問(wèn)題問(wèn)題因此因此, 首先討論多項(xiàng)式環(huán)首先討論多項(xiàng)式環(huán)Fx的理想和極大理想的的理想和極大理想的把把 E 找出來(lái)就是構(gòu)造新的域找出來(lái)就是構(gòu)造新的域. 已知的方法有已知的方法有(2) 在交換環(huán)上在交換環(huán)上, 利用極大理想構(gòu)造商域利用極大理想構(gòu)造商域.與多項(xiàng)式與多項(xiàng)式 f(x)有關(guān)的交換環(huán)有多項(xiàng)式環(huán)有關(guān)的交換環(huán)有多項(xiàng)式環(huán)Fx，結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)特征特征 在交換環(huán)在交換環(huán) R 中中, (a) = aR = Ra.域域F上的多項(xiàng)環(huán)上的多項(xiàng)環(huán)Fx是主理想環(huán)是主理想環(huán)證明思想證明思想定定理理N = (m(x)每個(gè)理想都是主理想的環(huán)稱(chēng)為主理想環(huán)每個(gè)理想都是主理想的環(huán)稱(chēng)為主理想環(huán).設(shè)設(shè)N是是Fx

3、 的非零理想的非零理想, 求求 m(x) N 使得使得=m(x)Fx=q(x)m(x): q(x)Fxf(x) = q(x)m(x) + r(x), r(x)=0 或者或者 0 (r(x) (m(x). 可設(shè)可設(shè)m(x)是中一個(gè)是中一個(gè)次數(shù)最低次數(shù)最低的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 f(x)N, 設(shè)設(shè) 證證明明由由 N 是是 Fx 的理想及的理想及 m(x)、 f(x) Nr(x) = f(x) m(x)q(x) N m(x)Fx.r(x)=0, 故故f(x) = q(x)m(x) m(x)Fx. N是非零理想是非零理想, 則中有非零多項(xiàng)式，則中有非零多項(xiàng)式，反之，反之， 由由 N 是是 Fx 的理想及的理

4、想及 m(x)N 得得N m(x)Fx. 得得 r(x) N.由由 m(x) 的極小性得的極小性得2.5 多項(xiàng)式環(huán)與根的擴(kuò)域多項(xiàng)式環(huán)與根的擴(kuò)域 設(shè)設(shè)F是域是域, N=(m(x), 則則商環(huán)商環(huán) Fx N =r(x)+N: r(x)Fx, (r(x) (m(x) 0命題命題證明證明f(x) = q(x)m(x) + r(x), 若若 m(x) 0, f(x)Fx, 設(shè)設(shè) f(x) + N = r(x) + N 若若 m(x)=0, 則命題顯然成立則命題顯然成立. r(x)=0 或者或者 0 (r(x) (m(x). 定義定義 2.6 子環(huán)、理想和同態(tài)定理子環(huán)、理想和同態(tài)定理設(shè)是環(huán)設(shè)是環(huán),如果如果

5、M R, 且且 H R =H 或或 H=R. R.則則R/I是域是域I是是R的極大理想的極大理想. 定理定理 設(shè)設(shè)R是交換環(huán)是交換環(huán), I是是R的理想的理想, 則稱(chēng)則稱(chēng) M 是是 R 的的 極大理想極大理想.f(x)在在Fx中不可約中不可約.是是Fx的極大理想的極大理想主理想主理想 (f(x)命題命題證證明明必要性必要性 假設(shè)有非平凡分解假設(shè)有非平凡分解 f(x)=h(x) g(x),則則( f(x) (h(x),( f(x)是是Fx的極大理想的極大理想 ( f(x)=(h(x),或或(h(x)=Fx, ( f(x)= (h(x),或或(h(x)=0,與與 f(x)=h(x) g(x)是非平凡

6、分解矛盾是非平凡分解矛盾.所以所以, f(x)在在Fx中不可約中不可約.若有若有( f(x) (h(x), 則則h(x) | f(x) 充分性充分性 設(shè)設(shè)f(x)在在Fx中不可約中不可約 ( f(x)= (h(x),或或(h(x)=0,( f(x)=(h(x),或或(h(x)=Fx,所以所以, f(x)是是Fx的的極大理想極大理想.推論推論 Fx( f(x)是域是域 f(x)在在Fx中不可約中不可約.證明證明 令令 K=a=a+(p(x): aF, 則則 E=Fx(p(x)可看作可看作F的擴(kuò)域的擴(kuò)域, p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + an xn.定理定理 設(shè)設(shè)n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 p(x)Fx 不可約不可約, 則則且且 x = x+(p(x) E是是 p(x) 的根的根. 所以所以, 可以把可以把 E 看作看作F的的擴(kuò)擴(kuò)域域, 即可用即可用 a 代替代替 a. 設(shè)設(shè)F K. (a a 就是一個(gè)同構(gòu)映射就是一個(gè)同構(gòu)映射)把把 E中的元素中的元素 x 代入代入 p(x) 得得所以所以, x 是是 p(x) 的根的根. 得證得證. p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + an xn = p(x) = 0.2.5 多項(xiàng)式環(huán)與根的擴(kuò)域多項(xiàng)式環(huán)