第11章_相關(guān)性與Copula函數(shù)(1)

1、Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 200910.1相關(guān)性與相關(guān)性與 Copula 函數(shù)函數(shù)第 11 章10.2Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20091.1 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)l變量V1 和 V2 的相關(guān)系數(shù)被定義為l變量V1 和 V2 的協(xié)方差被定義為 因此相關(guān)系數(shù)又可以寫(xiě)為: 10.3Risk Management e Istituzioni F

2、inanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20091.2相關(guān)系數(shù)和相關(guān)性相關(guān)系數(shù)和相關(guān)性E(V2)V1(a)E(V2)V1(b)E(V2)V1(c)10.4Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20091.2相關(guān)系數(shù)和相關(guān)性（續(xù)）相關(guān)系數(shù)和相關(guān)性（續(xù)）l相關(guān)系數(shù)只能刻畫(huà)兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)性。l兩個(gè)變量之間的相關(guān)性不一定是線(xiàn)性的相關(guān)性。10.5Risk Management e Istituzioni Finanziarie

3、, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20091.3 零相關(guān)零相關(guān)l如果兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為0，就意味著變量毫無(wú)關(guān)聯(lián)嗎？l答案是否定的！l例如, 有l(wèi)V1 = 1; 0; +1有均等的可能;l若 V1 = 1 或 V1 = +1 則 V2 = +1;l若 V1 = 0 則V2 = 0;l在這里我們可以清楚地看到V2和V1有某種關(guān)聯(lián)性，但相關(guān)系數(shù)為零.10.6Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20091.3獨(dú)立與零相關(guān)獨(dú)立與零相關(guān)l如果

4、兩個(gè)變量中，其中任意一個(gè)變量的信息（觀(guān)測(cè)值）不會(huì)影響另一個(gè)變量的分布，那么兩個(gè)變量在統(tǒng)計(jì)上被定義為獨(dú)立。 l精確地講，如果對(duì)于所有的x等式成立,l 獨(dú)立一定零相關(guān)而零相關(guān)不一定獨(dú)立。 其中f () 是概率密度函數(shù)，則V1 和 V2相互獨(dú)立。10.7Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20092.協(xié)方差模型協(xié)方差模型l假定變量X 和 Y 在第i天結(jié)束時(shí)的價(jià)值為Xi 和 Yi ，變量X 和 Y 在第i天的收益率為l第 i 天的協(xié)方差 covi = E(xi yi) E(xi)

5、E(yi) 常常假定變量每天的預(yù)期收益為0，因此這意味著變量X及Y在第i天的協(xié)方差可以被簡(jiǎn)化為E(xi yi).10.8Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20092.1協(xié)方差與相協(xié)方差與相關(guān)系關(guān)系數(shù)數(shù)l則變量X 和 Y在第 i天的相關(guān)系數(shù)為l其中varx,i 和 vary,i 是變量X 和 Y的第 i天變化的方差，covvarvariixiy10.9Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyri

6、ght John C. Hull 20092.2 協(xié)方差模型協(xié)方差模型l在 EWMA 中，同樣可以采用與更新方差類(lèi)似的方式更新協(xié)方差:l在 GARCH(1,1) 中, X 和 Y 協(xié)方差的更新由下式給出:10.10Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20092.3協(xié)方差矩陣的半正定矩陣性協(xié)方差矩陣的半正定矩陣性l方差協(xié)方差矩陣 滿(mǎn)足內(nèi)部一致性條件，如果此矩陣為半正定矩陣，也就是對(duì)于任意向量w, 以下不等式成立10.11Risk Management e Istituzion

7、i Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009例例l考慮一下矩陣:l可以這么這個(gè)矩陣不滿(mǎn)足內(nèi)部一致性:第1個(gè)變量和第2個(gè)變量均同第3個(gè)變量高度相關(guān)，但是第1、2個(gè)變量之間無(wú)關(guān)，.l如果令 w = (1, 1, 1), 可以驗(yàn)證此矩陣不滿(mǎn)足半正定條件.10.12Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20093.1 二元正態(tài)分布二元正態(tài)分布l我們假定兩個(gè)變量 V1 和 V2 服從二元正態(tài)分布.l變量 V1 和 V2

8、的無(wú)條件期望值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為 1, 2 e 1, 2,相關(guān)系數(shù)為 . l假設(shè)已知 V1 有一個(gè)觀(guān)測(cè)值 v1.l根據(jù)以上信息, 變量 V2 也服從正態(tài)分布，其均值為標(biāo)準(zhǔn)差為10.13Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009l假設(shè)變量U1, U2, ., UN 均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.l在單因子模型中，每個(gè) Ui (i = 1, 2, ., N)均同一個(gè)共同的因子 F 及另外一個(gè)相互獨(dú)立的因子有關(guān)，準(zhǔn)確地講:l在多因子模型中，這個(gè)表達(dá)式變?yōu)?3.2 因子模型因子模型2221 1

9、2 2121iiiiMMiiiMiUa Fa Fa Faaa Z10.14Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20093.2 因子模型（續(xù)）因子模型（續(xù)）l假設(shè)N 個(gè)變量, Ui (i =1 , 2, ., N),均服從一個(gè)多元正態(tài)分布, 則需要顧及 N (N 1)/2= (N N N)/2 個(gè)相關(guān)系數(shù).l如果滿(mǎn)足這些變量滿(mǎn)足因子模型的假設(shè)，則待估計(jì)參數(shù)的個(gè)數(shù)減至N 個(gè).10.15Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a E

10、dizione, Copyright John C. Hull 20094.1 高斯高斯 Copula 模型模型l問(wèn)題：已知兩個(gè)隨機(jī)變量，V1 和 V2，不服從多元正態(tài)分布的變量之間的相關(guān)關(guān)系，并且已經(jīng)估計(jì)出它們的邊際分布。想通過(guò)假設(shè)它們的相關(guān)性而得到他們聯(lián)合分布情況。10.16Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20094.1 高斯高斯 Copula 模型模型（續(xù)）（續(xù)）l假設(shè)變量U1 和 U2 服從正態(tài)分布，相關(guān)系數(shù)為 .l第一步：將V1 ，V2,與 U1, U2 建立

11、對(duì)于關(guān)系：l把變量 V1 轉(zhuǎn)化為一個(gè)服從正態(tài)分布的變量, U1,分位數(shù)與分位數(shù)之間的一一映射. 注：實(shí)際上 為正態(tài)分布，因?yàn)?1111P()P( )VvUv111111111111( ),P()P( )P( )P( )P()VYYyVyVyUyUy 令，則11( )V10.17Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20094.1 高斯高斯 Copula 模型模型（續(xù)）（續(xù)）l同理把變量 V2 轉(zhuǎn)化為一個(gè)服從正態(tài)分布的變量, U2,分位數(shù)與分位數(shù)之間的一一映射.l 可稱(chēng)為Cop

12、ula函數(shù)。 l第二步通過(guò)U1， U2的聯(lián)合分布定義V1， V2的聯(lián)合分布函數(shù)：22222P()P()VvUv12，1122111222P()P( )( )VvVvUvUv，10.18Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20094.1 高斯高斯 Copula 模型模型（續(xù)）（續(xù)）l這種用Copula函數(shù)構(gòu)造的V1， V2聯(lián)合分布能保證V1， V2的邊際分布不變！10.19Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizio

13、ne, Copyright John C. Hull 20094.2通過(guò)通過(guò)Copula函數(shù)定義函數(shù)定義V1 和和 V2 的聯(lián)合分布的聯(lián)合分布Correlation AssumptionV1V2U1MappingU2Mapping10.20Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009例例l假定V1 和 V2的邊際分布上圖所示的為三角分布.l兩個(gè)變量均介于01.lV1 及 V2 和 U1 及 U2 之間的映射為分位數(shù)與分位數(shù) 之間的一一映射. V1V210.21Risk Ma

14、nagement e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009例例l當(dāng)V1 0.1時(shí)， 對(duì)應(yīng)于累積概率為底為0.1高為1的三邊形面積.l因此等于0.05 (= 0,1 1), 也就是 5%.lV1=0.1的值被映射到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布5%的分位數(shù)，其值為1,64. l以此類(lèi)推.V1Percentile U10,15,00-1,640,220,00-0,840,338,75-0,29.10.22Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copy

15、right John C. Hull 2009例例l當(dāng)V2 0.1時(shí)， 對(duì)應(yīng)于累積概率為底為0.1高為0.2的三邊形面積.l因此等于0.02 (= 0.1 0.2), 也就是 2%.lV2=0.1的值被映射到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布2%的分位數(shù)，其值為2.05. l以此類(lèi)推.V2Percentile U20,12,00-2,050,28,00-1,410,318,00-0,92.10.23Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009例例l假設(shè)U1 和 U2 之間的相關(guān)系數(shù)為 0.5.

16、l上表顯示出V1 和 V2之間的聯(lián)合分布. lV1 0,1及V2 0,1的概率同 U1 1,64 及 U2 2,05. 的概率相同.l如果 = 0,5 在二元正態(tài)的情形 下，這一概率僅僅為 0,006.V1V20,10,20,30,40,50,60,70,80,90,10,0060,0170,0280,0370,0440,0480,0490,0500,0500,20,0130,0430,0810,1200,1570,1810,1930,1980,2000,30,0170,0610,1240,1970,2740,3310,3640,3810,387.10.24Risk Management e

17、Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20094.3其他其他Copula函數(shù)函數(shù)l高斯Copula函數(shù)只是定義了V1及V2 相關(guān)結(jié)構(gòu)的某一種形式，還有許多其他Copula函數(shù)可以 用于描述相關(guān)結(jié)構(gòu). l其中一種Copula函數(shù)被稱(chēng)為Student t-copula 函數(shù). l這種Student t-copula函數(shù)同髙斯Copula函數(shù)類(lèi)似，其不同之處只是U1 和 U2被假定為服從二元學(xué)生 t分布. 10.25Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizi

18、one, Copyright John C. Hull 20094.4 因子因子Copula模型模型l在多元Copula模型中，市場(chǎng)分析員常常假定變量Ui 之間的相關(guān)性由某種因子來(lái)決定。.l當(dāng)只有一個(gè)因子時(shí)， Ui被定義為 其中，因子 F 和 Zi分別服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.lZi之間相互獨(dú)立，F(xiàn)與Zi之間也相互獨(dú)立. 10.26Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20095 違約相關(guān)性違約相關(guān)性(Default Correlation)l兩家公司之間的違約相關(guān)性 (defaul

19、t correlation) 以一個(gè)衡量他們差不多同時(shí)違約的測(cè)度.lLa default correlation importante ai fini del risk management quando si analizzano i benefici della diversificazione.l anche importante ai fini della valutazione di alcuni derivati creditizi.10.27Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009高斯高斯Copula函數(shù)的單因子模型函數(shù)的單因子模型