雙曲線經(jīng)典例題講解

1、第一部分 雙曲線相關(guān)知識點(diǎn)講解一雙曲線的定義及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：1 雙曲線定義：到兩個(gè)定點(diǎn)f1與f2的距離之差的絕對值等于定長（|f1f2|）的點(diǎn)的軌跡（為常數(shù)）這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn) 要注意兩點(diǎn)：（1）距離之差的絕對值.（2）2a|f1f2|，這兩點(diǎn)與橢圓的定義有本質(zhì)的不同. 當(dāng)|mf1|mf2|=2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)f2所對應(yīng)的一支； 當(dāng)|mf1|mf2|=2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)f1所對應(yīng)的一支； 當(dāng)2a=|f1f2|時(shí)，軌跡是一直線上以f1、f2為端點(diǎn)向外的兩條射線； 當(dāng)2a|f1f2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：和（a0，b0）.這里，其中|=2c.要注意這里的a、b

2、、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.3.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是：如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在y軸上.對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上.4.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意兩個(gè)問題： 正確判斷焦點(diǎn)的位置； 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.二雙曲線的內(nèi)外部： (1)點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部. (2)點(diǎn)在雙曲線的外部.三.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為.(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)在y軸上）.四雙曲線的簡單幾何性質(zhì)=

3、1（a0，b0） 范圍：|x|a，yr 對稱性：關(guān)于x、y軸均對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱 頂點(diǎn)：軸端點(diǎn)a1（a，0），a2（a，0） 漸近線： 若雙曲線方程為漸近線方程 若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為 若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)在y軸上） 與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是 與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是六.弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)a、b，且分別為a、b的橫坐標(biāo)，則，若分別為a、b的縱坐標(biāo)，則。第二部分 典型例題分析題型1：運(yùn)用雙曲線的定義例1. 如圖所示，為雙曲線的左焦點(diǎn)，雙曲線上的點(diǎn)與關(guān)于軸對稱，則的值是（ ）a9 b16 c18 d27 解析 ，選c練習(xí)：設(shè)p

4、為雙曲線上的一點(diǎn)f1、f2是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若|pf1|：|pf2|=3：2，則pf1f2的面積為（ ）ab12cd24解析： 又由、解得直角三角形，故選b。題型2 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2 已知雙曲線c與雙曲線=1有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)（3，2）.求雙曲線c的方程解：設(shè)雙曲線方程為=1.由題意易求c=2.又雙曲線過點(diǎn)（3，2），=1.又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8.故所求雙曲線的方程為=1.練習(xí)：1已知雙曲線的漸近線方程是，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上且焦距是10，則此雙曲線的方程為 ； 解：設(shè)雙曲線方程為，當(dāng)時(shí)，化為，當(dāng)時(shí)，化為，綜上，雙曲線方程為或2.已知點(diǎn)，動(dòng)圓與直線切于點(diǎn)，過、與圓相切

5、的兩直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為a bc（x > 0） d解析，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線的右支，選b題型3 與漸近線有關(guān)的問題例3.焦點(diǎn)為（0，6），且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程是 a b c d解析從焦點(diǎn)位置和具有相同的漸近線的雙曲線系兩方面考慮，選b練習(xí)：過點(diǎn)（1，3）且漸近線為的雙曲線方程是解：設(shè)所求雙曲線為 點(diǎn)（1，3）代入：.代入（1）：即為所求.題型4 弦中點(diǎn)問題設(shè)而不求法例4. 雙曲線的一弦中點(diǎn)為（2，1），則此弦所在的直線方程為 （ ）a. b. c. d. 解:設(shè)弦的兩端分別為.則有：.弦中點(diǎn)為（2，1），.故直線的斜率.則所求直線方程為：，故

6、選c.練習(xí)：1.在雙曲線上，是否存在被點(diǎn)m（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在，請說明理由.【錯(cuò)解】假定存在符合條件的弦ab，其兩端分別為：a（x1，y1），b（x2，y2）.那么：.m（1，1）為弦ab的中點(diǎn)，故存在符合條件的直線ab，其方程為：.這個(gè)結(jié)論對不對呢？我們只須注意如下兩點(diǎn)就夠了：其一：將點(diǎn)m（1，1）代入方程，發(fā)現(xiàn)左式=1-1，故點(diǎn)m（1，1）在雙曲線的外部；其二：所求直線ab的斜率，而雙曲線的漸近線為.這里，說明所求直線不可能與雙曲線相交，當(dāng)然所得結(jié)論也是荒唐的.問題出在解題過程中忽視了直線與雙曲線有公共點(diǎn)的條件.【正解】在上述解法的基礎(chǔ)上應(yīng)當(dāng)加以驗(yàn)證.

7、由這里，故方程（2）無實(shí)根，也就是所求直線不合條件.結(jié)論；不存在符合題設(shè)條件的直線.2. 已知雙曲線,問過點(diǎn)a（1，1）能否作直線,使與雙曲線交于p、q兩點(diǎn)，并且a為線段pq的中點(diǎn)？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。解：設(shè)符合題意的直線存在，并設(shè)、 則 1得 因?yàn)閍（1，1）為線段pq的中點(diǎn)，所以 將(4)、(5)代入（3）得 若，則直線的斜率， 其方程為 得 根據(jù),說明所求直線不存在。3.已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)a1、a2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點(diǎn)p(6，6) (1)求雙曲線方程 (2)動(dòng)直線l經(jīng)過a1pa2的重心g，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)m、n，問 是否存在直線l,使g平分線段

8、mn，證明你的結(jié)論 解 (1)如圖，設(shè)雙曲線方程為=1 由已知得,解得a2=9,b2=12 所以所求雙曲線方程為=1 (2)p、a1、a2的坐標(biāo)依次為(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心g的坐標(biāo)為(2，2）假設(shè)存在直線l，使g(2，2)平分線段mn，設(shè)m(x1,y1)，n(x2,y2) 則有，kl=l的方程為y= (x2)+2,由,消去y,整理得x24x+28=0 =164×280,所求直線l不存在 題型5 綜合問題1.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線c的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為.（）求雙曲線c的方程（）若直線與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)a和b且（其中為原點(diǎn)），求k的取值范圍解（1）設(shè)雙曲線方程為由已知得，再由，得故雙曲線的方程為.（2）將代入得 由直線與雙曲線交與不同的兩點(diǎn)得 即且. 設(shè)，則，由得，而.于是，即解此不等式得 由+得故的取值范圍為 2.已知兩定點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)p的軌跡是曲線e，直線kx1與曲線e交于a、b兩點(diǎn)。（）求的取值范圍；（）如果且曲線e上存在點(diǎn)c，使求。解：（）由雙曲線的定義可知