動(dòng)物的繁殖問題PPT課件

1、1動(dòng)物的繁殖問題動(dòng)物的繁殖問題王汝軍王汝軍河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院第1頁/共22頁實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1加深對(duì)矩陣線性變換、方冪、特征根、對(duì)角化等概念的理解。 2掌握用矩陣變換在實(shí)際問題中的應(yīng)用。 3學(xué)習(xí)使用MATLAB軟件中與矩陣有關(guān)的命令。2第2頁/共22頁實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 某農(nóng)場(chǎng)飼養(yǎng)的某種動(dòng)物所能達(dá)到的最大年齡為15歲，將其分為三個(gè)年齡組：第一組05歲；第二組610歲；第三組1115歲。動(dòng)物從第二個(gè)年齡組開始繁殖后代，第二個(gè)年齡組的動(dòng)物在其年齡段平均繁殖4個(gè)后代，第三個(gè)年齡組的動(dòng)物在其年齡段平均繁殖3個(gè)后代。第一年齡組和第二年齡組的動(dòng)物能順利進(jìn)入下一個(gè)年齡組的存活率分別為和。 假設(shè)農(nóng)場(chǎng)

2、現(xiàn)有三個(gè)年齡段的動(dòng)物各有1000頭，計(jì)算5年后、10年后、15年后各年齡段動(dòng)物數(shù)量。20年后農(nóng)場(chǎng)三個(gè)年齡段的動(dòng)物的情況會(huì)怎樣？3第3頁/共22頁實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 根據(jù)有關(guān)生物學(xué)研究結(jié)果，對(duì)于足夠大的時(shí)間值k ，有 （ 是萊斯利矩陣L的惟一正特征值）。 請(qǐng)檢驗(yàn)這一結(jié)果是否正確，如果正確給出適當(dāng)?shù)膋值。 如果每五年平均向市場(chǎng)供應(yīng)動(dòng)物數(shù) ，在20年后農(nóng)場(chǎng)動(dòng)物不至滅絕的前提下，c應(yīng)取多少為好？4(1)( )kkXXTcsss第4頁/共22頁實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備 1矩陣知識(shí)回顧 當(dāng)矩陣的列數(shù)與某一個(gè)列向量元素個(gè)數(shù)一致時(shí)，用矩陣乘以向量將得到另一個(gè)向量，這就是向量的線性變換。 當(dāng)矩陣是方陣時(shí)，線性變換可以持續(xù)進(jìn)行。即用矩陣乘

3、以一個(gè)向量得到一個(gè)新的向量，用同一矩陣再乘以新的向量又獲得另一個(gè)的向量，這種運(yùn)算的本質(zhì)就是用矩陣的方冪乘以最初的向量。 在線性代數(shù)應(yīng)用中稱為矩陣的方冪問題，它和矩陣的特征根問題有密切關(guān)系，對(duì)它的研究導(dǎo)致了矩陣對(duì)角化方法，這類方法在生物學(xué)研究等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。5第5頁/共22頁實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備1 設(shè)A是數(shù)域 上的一個(gè)n階矩陣，行列式叫作矩陣A的特征多項(xiàng)式，若有 ,那么 就是矩陣A的特征多項(xiàng)式的特征根，那么方程的一個(gè)非零解叫做矩陣A的屬于特征根 的特征向量6111212122212.( ) |.nnAnnnnxaaaaxaafxxEAaaxa( )0AfAXX第6頁/共22頁實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備1 定理1令A(yù)是數(shù)域

4、F的一個(gè)n階矩陣，如果A的特征多項(xiàng)式 在F內(nèi)有n個(gè)根，那么存在一個(gè)n階可逆矩陣T ，使得7( )Afx1210.00.0.00.nTAT第7頁/共22頁實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備28 d = eig( A )求矩陣A的特征根； V , D = eig( A )求矩陣A的特征根和特征向量，其中V表示特征向量，D表示特征根； V , D = eigs( A )求稀疏矩陣A的特征根和特征向量，其中V表示特征向量，D表示特征根； 有關(guān)該命令的詳細(xì)信息可查閱幫助。第8頁/共22頁問題分析 由題設(shè)，在初始時(shí)刻05歲、610歲、1115歲的三個(gè)年齡段動(dòng)物數(shù)量分別為： 以五年為一個(gè)年齡段，則某一時(shí)刻三個(gè)年齡段的動(dòng)物數(shù)量可以用一

5、個(gè)向量 表示。 以五年為一個(gè)時(shí)間段，記為第 個(gè)時(shí)段動(dòng)物數(shù)分布向量。9(0)(0)(0)1231000,1000,1000 xxx123TXxxx( )( )( )( )123kkkkTXxxx第9頁/共22頁 當(dāng)k0，1，2，3時(shí)， 分別表示現(xiàn)在、五年后、十年后、十五年后的動(dòng)物數(shù)分布向量。 根據(jù)第二年齡組和第三年齡組動(dòng)物的繁殖能力，在第k 個(gè)時(shí)間段，第二年齡組動(dòng)物在其年齡段平均繁殖4個(gè)，第三年齡組動(dòng)物在其年齡段平均繁殖3個(gè)后代。 由此得第一年齡組在第 k1個(gè)時(shí)間段的數(shù)量如下 同理，根據(jù)第一年齡組和第二年齡組的存活率，可得等式10( )kX(1)( )( )12343kkkxxx(1)( )(1

6、)( )21320.5,0.25kkkkxxxx第10頁/共22頁建立模型11(1)( )( )123(1)( )21(1)( )3243,0.5,(0,1,2,3)0.25,kkkkkkkxxxxxkxx(1)( )11(1)( )22(1)( )330430.500(0,1,2,3)00.250kkkkkkxxxxkxx第11頁/共22頁模型分析 由此得向量 和 的遞推關(guān)系式 其中矩陣12()kX(1)kX(1)( )kkXLX0430.50000.250L第12頁/共22頁MATLAB求解 為了計(jì)算五年后、十年后、十五年后農(nóng)場(chǎng)中動(dòng)物的數(shù)量，輸入初始數(shù)據(jù)和萊斯利矩陣，在MATLAB命令窗口

7、中鍵入下面命令： x0=1000;1000;1000; L=0 4 3;0.5 0 0;0 0.25 0; x1=L*x0 x1 =7000500250 x2=L*x1 x2 =27503500125 x3=L*x2 x3 =14375137587513第13頁/共22頁 x4=L*x3 x4 = 1.0e+003 * 為了計(jì)算萊斯利矩陣的特征值，鍵入下面的命令： eig(L) 這說明矩陣L的惟一正特征值為14第14頁/共22頁 為了驗(yàn)證 編輯M腳本文件，運(yùn)行下面的程序： d=1.5; x=1000;1000;1000; L=0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0; y=L*x; y1=d

8、*x; k=1;15(1)( )1kkXX第15頁/共22頁 x=y; y=L*x; y1=d*x; k=k+1; end K, 可知，當(dāng)k285時(shí)，有結(jié)論16(1)( )1kkXX第16頁/共22頁結(jié)果分析 將計(jì)算結(jié)果制成表，得到五年后、十年后、十五年后和二十年后農(nóng)場(chǎng)中動(dòng)物的數(shù)量17K現(xiàn)在k1（5年后）k1（10年后）k1（15年后）k1（20年后）x1 100070002750143758125x2 1000500350013757187.5x3 1000250125875343.8第17頁/共22頁結(jié)果分析 從表中數(shù)據(jù)的變化（如果沒有其它的原因），可估計(jì)農(nóng)場(chǎng)的動(dòng)物總量會(huì)逐步增加。 在驗(yàn)證生物學(xué)研究的結(jié)論 時(shí)，當(dāng)k285時(shí)可以得到如下結(jié)論 x = 1.0e+053 * 這說明多年以后，動(dòng)物數(shù)量是大得非常驚人的。18(1)( )1kkXX第18頁/共22頁結(jié)論 如果每個(gè)五年平均向市場(chǎng)供應(yīng)動(dòng)物 分析動(dòng)物數(shù)分布向量變化規(guī)律可知所以有19Tcsss第19頁/共22頁結(jié)論 考慮20年后動(dòng)物不滅絕，應(yīng)有即有由于c是常數(shù)向量，簡(jiǎn)單求解不等式組，可取 c=15