動物的繁殖問題PPT課件

1、1動物的繁殖問題動物的繁殖問題王汝軍王汝軍河西學院數(shù)學與統(tǒng)計學院河西學院數(shù)學與統(tǒng)計學院第1頁/共22頁實驗目的 1加深對矩陣線性變換、方冪、特征根、對角化等概念的理解。 2掌握用矩陣變換在實際問題中的應用。 3學習使用MATLAB軟件中與矩陣有關的命令。2第2頁/共22頁實驗內容 某農(nóng)場飼養(yǎng)的某種動物所能達到的最大年齡為15歲，將其分為三個年齡組：第一組05歲；第二組610歲；第三組1115歲。動物從第二個年齡組開始繁殖后代，第二個年齡組的動物在其年齡段平均繁殖4個后代，第三個年齡組的動物在其年齡段平均繁殖3個后代。第一年齡組和第二年齡組的動物能順利進入下一個年齡組的存活率分別為和。 假設農(nóng)場

2、現(xiàn)有三個年齡段的動物各有1000頭，計算5年后、10年后、15年后各年齡段動物數(shù)量。20年后農(nóng)場三個年齡段的動物的情況會怎樣？3第3頁/共22頁實驗內容 根據(jù)有關生物學研究結果，對于足夠大的時間值k ，有 （ 是萊斯利矩陣L的惟一正特征值）。 請檢驗這一結果是否正確，如果正確給出適當?shù)膋值。 如果每五年平均向市場供應動物數(shù) ，在20年后農(nóng)場動物不至滅絕的前提下，c應取多少為好？4(1)( )kkXXTcsss第4頁/共22頁實驗準備 1矩陣知識回顧 當矩陣的列數(shù)與某一個列向量元素個數(shù)一致時，用矩陣乘以向量將得到另一個向量，這就是向量的線性變換。 當矩陣是方陣時，線性變換可以持續(xù)進行。即用矩陣乘

3、以一個向量得到一個新的向量，用同一矩陣再乘以新的向量又獲得另一個的向量，這種運算的本質就是用矩陣的方冪乘以最初的向量。 在線性代數(shù)應用中稱為矩陣的方冪問題，它和矩陣的特征根問題有密切關系，對它的研究導致了矩陣對角化方法，這類方法在生物學研究等領域有著廣泛應用。5第5頁/共22頁實驗準備1 設A是數(shù)域 上的一個n階矩陣，行列式叫作矩陣A的特征多項式，若有 ,那么 就是矩陣A的特征多項式的特征根，那么方程的一個非零解叫做矩陣A的屬于特征根 的特征向量6111212122212.( ) |.nnAnnnnxaaaaxaafxxEAaaxa( )0AfAXX第6頁/共22頁實驗準備1 定理1令A是數(shù)域

4、F的一個n階矩陣，如果A的特征多項式 在F內有n個根，那么存在一個n階可逆矩陣T ，使得7( )Afx1210.00.0.00.nTAT第7頁/共22頁實驗準備28 d = eig( A )求矩陣A的特征根； V , D = eig( A )求矩陣A的特征根和特征向量，其中V表示特征向量，D表示特征根； V , D = eigs( A )求稀疏矩陣A的特征根和特征向量，其中V表示特征向量，D表示特征根； 有關該命令的詳細信息可查閱幫助。第8頁/共22頁問題分析 由題設，在初始時刻05歲、610歲、1115歲的三個年齡段動物數(shù)量分別為： 以五年為一個年齡段，則某一時刻三個年齡段的動物數(shù)量可以用一

5、個向量 表示。 以五年為一個時間段，記為第 個時段動物數(shù)分布向量。9(0)(0)(0)1231000,1000,1000 xxx123TXxxx( )( )( )( )123kkkkTXxxx第9頁/共22頁 當k0，1，2，3時， 分別表示現(xiàn)在、五年后、十年后、十五年后的動物數(shù)分布向量。 根據(jù)第二年齡組和第三年齡組動物的繁殖能力，在第k 個時間段，第二年齡組動物在其年齡段平均繁殖4個，第三年齡組動物在其年齡段平均繁殖3個后代。 由此得第一年齡組在第 k1個時間段的數(shù)量如下 同理，根據(jù)第一年齡組和第二年齡組的存活率，可得等式10( )kX(1)( )( )12343kkkxxx(1)( )(1

6、)( )21320.5,0.25kkkkxxxx第10頁/共22頁建立模型11(1)( )( )123(1)( )21(1)( )3243,0.5,(0,1,2,3)0.25,kkkkkkkxxxxxkxx(1)( )11(1)( )22(1)( )330430.500(0,1,2,3)00.250kkkkkkxxxxkxx第11頁/共22頁模型分析 由此得向量 和 的遞推關系式 其中矩陣12()kX(1)kX(1)( )kkXLX0430.50000.250L第12頁/共22頁MATLAB求解 為了計算五年后、十年后、十五年后農(nóng)場中動物的數(shù)量，輸入初始數(shù)據(jù)和萊斯利矩陣，在MATLAB命令窗口

7、中鍵入下面命令： x0=1000;1000;1000; L=0 4 3;0.5 0 0;0 0.25 0; x1=L*x0 x1 =7000500250 x2=L*x1 x2 =27503500125 x3=L*x2 x3 =14375137587513第13頁/共22頁 x4=L*x3 x4 = 1.0e+003 * 為了計算萊斯利矩陣的特征值，鍵入下面的命令： eig(L) 這說明矩陣L的惟一正特征值為14第14頁/共22頁 為了驗證 編輯M腳本文件，運行下面的程序： d=1.5; x=1000;1000;1000; L=0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0; y=L*x; y1=d

8、*x; k=1;15(1)( )1kkXX第15頁/共22頁 x=y; y=L*x; y1=d*x; k=k+1; end K, 可知，當k285時，有結論16(1)( )1kkXX第16頁/共22頁結果分析 將計算結果制成表，得到五年后、十年后、十五年后和二十年后農(nóng)場中動物的數(shù)量17K現(xiàn)在k1（5年后）k1（10年后）k1（15年后）k1（20年后）x1 100070002750143758125x2 1000500350013757187.5x3 1000250125875343.8第17頁/共22頁結果分析 從表中數(shù)據(jù)的變化（如果沒有其它的原因），可估計農(nóng)場的動物總量會逐步增加。 在驗證生物學研究的結論 時，當k285時可以得到如下結論 x = 1.0e+053 * 這說明多年以后，動物數(shù)量是大得非常驚人的。18(1)( )1kkXX第18頁/共22頁結論 如果每個五年平均向市場供應動物 分析動物數(shù)分布向量變化規(guī)律可知所以有19Tcsss第19頁/共22頁結論 考慮20年后動物不滅絕，應有即有由于c是常數(shù)向量，簡單求解不等式組，可取 c=15