機械波波動方程

1、 機械波、波動方程機械波、波動方程13-1 13-1 機械波的基本概念機械波的基本概念 13-2 13-2 平面簡諧波的波動方程平面簡諧波的波動方程 第十三章第十三章機械波和電磁波機械波和電磁波波動是振動的傳播過程波動是振動的傳播過程. .振動是激發(fā)波動的波源振動是激發(fā)波動的波源. .機械波機械波電磁波電磁波波動波動機械振動在彈性介質中的傳播機械振動在彈性介質中的傳播. .交交變電磁場在空間的傳播變電磁場在空間的傳播. .13-1 機械波的基本概念機械波的基本概念一、機械波產(chǎn)生的條件一、機械波產(chǎn)生的條件波源波源介質介質+彈性作用彈性作用機械波機械波產(chǎn)生產(chǎn)生條件條件：1 1、有做機械振動的物體，

2、即波源；、有做機械振動的物體，即波源； 2 2、有連續(xù)的介質、有連續(xù)的介質彈性介質彈性介質. . 波是運動狀態(tài)的傳播，介質的波是運動狀態(tài)的傳播，介質的質點并不隨波傳播質點并不隨波傳播. .注意注意機械波：機械振動在彈性介質中的傳播機械波：機械振動在彈性介質中的傳播. .(1)(1)橫波：橫波：質點振動方向與波的傳播方向相質點振動方向與波的傳播方向相垂直垂直的波的波. . 特征：特征：具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷. .如繩波如繩波( (機械橫波僅在固體中傳播機械橫波僅在固體中傳播) )、電磁波、電磁波二、橫波和縱波二、橫波和縱波(2) 縱波：縱波：質點振動方向與波的傳播方向互

3、相質點振動方向與波的傳播方向互相平行平行的的波波. .如聲波（縱波可在固體、液體和氣體中傳播）如聲波（縱波可在固體、液體和氣體中傳播） 特征：具有交替出現(xiàn)的密部和疏部特征：具有交替出現(xiàn)的密部和疏部. . 注注: :生活中常見的水波不是簡單的橫波或者縱波生活中常見的水波不是簡單的橫波或者縱波, ,情況比較復雜情況比較復雜波場波場-波傳播到的空間。波傳播到的空間。波面波面-波場中同一時刻振動位相相同的點的軌跡。波場中同一時刻振動位相相同的點的軌跡。波前（波陣面）波前（波陣面）-某時刻波源最初的振動狀態(tài)某時刻波源最初的振動狀態(tài) 傳到的波面。傳到的波面。波線（波射線）波線（波射線）-代表波的傳播方向的

4、射線。代表波的傳播方向的射線。各向同性均勻介質中，波線恒與波面垂直各向同性均勻介質中，波線恒與波面垂直. .沿波線方向各質點的振動相位依次落后。沿波線方向各質點的振動相位依次落后。三、波線和波面三、波線和波面*球球 面面 波波平平 面面 波波波前波前波面波面波線波線振動狀態(tài)（即位相）在單位時間內(nèi)傳播振動狀態(tài)（即位相）在單位時間內(nèi)傳播的距離稱為的距離稱為波速波速 ，也稱之，也稱之相速相速1 1、波速、波速 u gu 在固體媒質中在固體媒質中縱波縱波波速為波速為 eu/ g、 e為媒質的切變彈性模量和楊氏彈性模量為媒質的切變彈性模量和楊氏彈性模量 為介質的密度為介質的密度在固體媒質中在固體媒質中橫

5、波橫波波速為波速為在同一種固體媒質中，在同一種固體媒質中，橫波橫波波速比波速比縱波縱波波速小些波速小些四、描述波動的幾個物理量四、描述波動的幾個物理量在液體和氣體只能傳播在液體和氣體只能傳播縱波縱波，其波速為：，其波速為： bu/ b為介質的容變彈性模量為介質的容變彈性模量 為密度為密度3、波長、波長 2、波的周期、波的周期和頻率和頻率21tut u波的周期：一個完整波形通過介質中某固定點波的周期：一個完整波形通過介質中某固定點所需所需 的時間，用的時間，用t表示。表示。波的頻率：單位時間內(nèi)通過介質中某固定點完整波波的頻率：單位時間內(nèi)通過介質中某固定點完整波 的數(shù)目的數(shù)目，用，用 表示。表示。

6、同一波線上同一波線上相鄰相鄰的位相差為的位相差為2 的兩質點的距離的兩質點的距離。介質決定介質決定波源決定波源決定 例例1 在室溫下，已知空氣中的聲速在室溫下，已知空氣中的聲速 為為340 m/s，水中的聲速水中的聲速 為為1450 m/s ，求頻率為，求頻率為200 hz和和2000 hz 的聲波在空氣中和水中的波長各為多少？的聲波在空氣中和水中的波長各為多少？1u2um7 .1hz200sm3401111um17. 0212um25. 7hz200sm14501121um725. 0222u在水中的波長在水中的波長解解由由 ，頻率為，頻率為200 hz和和2000 hz 的聲波在的聲波在u

7、空氣中的波長空氣中的波長波動方程波動方程：描述介質中各質點的位移隨時間的變化關系：描述介質中各質點的位移隨時間的變化關系),(txyy 各質點相對平各質點相對平衡位置的衡位置的位移位移波線上各質點波線上各質點平衡平衡位置位置 簡諧波：在均勻的、無吸收的介質中，波源作簡諧波：在均勻的、無吸收的介質中，波源作簡諧運動時，在介質中所形成的波簡諧運動時，在介質中所形成的波. . 平面簡諧波：波面為平面的簡諧波平面簡諧波：波面為平面的簡諧波. .13-2 平面簡諧波的波動方程平面簡諧波的波動方程一平面簡諧波在理想介質中沿一平面簡諧波在理想介質中沿x軸正向傳播，軸正向傳播，x軸即為某一波線軸即為某一波線設

8、原點振動表達式：設原點振動表達式：tcosay 0y表示該處質點偏離平衡位置的表示該處質點偏離平衡位置的位移位移x為為p點在點在x軸的坐標軸的坐標一、平面簡諧波的波動方程一、平面簡諧波的波動方程p點的振動方程：點的振動方程：cos()xyatut 時刻時刻p處質點的振動狀態(tài)重復處質點的振動狀態(tài)重復xtu時刻時刻o處質點的振動狀態(tài)處質點的振動狀態(tài)xypuoxo點振動狀態(tài)傳到點振動狀態(tài)傳到p點需用點需用 uxt 沿沿x軸正向傳播軸正向傳播的平面簡諧波的波動方程的平面簡諧波的波動方程xu沿著波傳播方向，各質點的振動依次落后于波源振動沿著波傳播方向，各質點的振動依次落后于波源振動. .為為p點的振動落

9、后與原點振動的時間點的振動落后與原點振動的時間時間推遲方法時間推遲方法點點 p 比點比點 o 落后落后的相位的相位opuxtuxxp22)(cosuxtayp點點 p 振動方程振動方程相位落后法相位落后法沿沿x軸負向軸負向傳播的傳播的平面簡諧波的波動方程平面簡諧波的波動方程cos()xyatupx*yxuaao)tcos(ay00 若波源（原點）振動初位相不為零若波源（原點）振動初位相不為零)(2cos0 xttay)xtcosay022 )xut(cosay02 )xut(kcosa0 0cos ()xyatu或或 2 k波矢波矢，表示在，表示在2 長度內(nèi)所具有的完整波的長度內(nèi)所具有的完整波

10、的數(shù)目。數(shù)目。 質點的振動速度，加速度質點的振動速度，加速度)(sinuxtatyv)(cos222uxtatya0 )uxt (cosay1、如果給定、如果給定x，即，即x=x0yotttx0處質點的振動初相為處質點的振動初相為002 x 02 x為為x0處質點落后于原點的位相處質點落后于原點的位相為為x0處質點的振動方程處質點的振動方程則則y=y(t)xtcos(a)t(y002 若若x0= 則則 x0處質點落后于原點的位相為處質點落后于原點的位相為2 是波在空間上的周期性的標志是波在空間上的周期性的標志二、波動方程的物理意義二、波動方程的物理意義波線上各點的簡諧運動圖波線上各點的簡諧運動

11、圖2、如果給定、如果給定t，即，即t=t0 則則y=y(x) 221212xxx 00 )uxt (cosay表示給定時刻波線上各質表示給定時刻波線上各質點在同一時刻的位移分布點在同一時刻的位移分布，即給定了，即給定了t0 時刻的波形時刻的波形同一波線上任意兩點的振動位相差同一波線上任意兩點的振動位相差xyoux1x2 21212tt)tt( 同一質點在相鄰兩時刻的振動位相差同一質點在相鄰兩時刻的振動位相差t是波在時間上的是波在時間上的周期性的標志周期性的標志3.如如x,t 均變化均變化y=y(x,t)包含了不同時刻的波形包含了不同時刻的波形0 )uxt (cosa)x( yxyuoxtt t

12、x 0 )utuxtt (cosa)tt ,xx( yt時刻的波形方程時刻的波形方程t+ t時刻的波形方程時刻的波形方程0 )uxtt (cosa)x( yt時刻時刻,x處的某個振動狀態(tài)經(jīng)過處的某個振動狀態(tài)經(jīng)過 t ，傳播了，傳播了 x的距離的距離0 )uxt (cosa)t , x( y)tt , xx( y 在時間在時間 t內(nèi)整個波形沿波的內(nèi)整個波形沿波的傳播方向平移了一段距離傳播方向平移了一段距離 x) t , x( y) tt , xx( y xyuoxtt tx )(cos0222 uxtaty222022221)(costyuuxtuaxy 222221tyuxy 0 )uxt (

13、cosay求求t 的二階導數(shù)的二階導數(shù)求求x的二階導數(shù)的二階導數(shù)三、平面波的波動微分方程三、平面波的波動微分方程平面波的波動微分方程 小結小結求解波動方程方法求解波動方程方法:1 找任意一點找任意一點 的振動方程的振動方程0 x0cos()yat2 寫出沿寫出沿 軸傳播的波動方程軸傳播的波動方程x0cos(2)xxyat沿沿 軸傳播軸傳播x0cos(2)xxyat沿沿 軸傳播軸傳播x或或cos ()xyatucos ()xyatu沿沿 軸傳播軸傳播x沿沿 軸傳播軸傳播x 例例1 1 已知波動方程如下，求波長、周期和波速已知波動方程如下，求波長、周期和波速. .)(2.50 cos05. 0si

14、xty解解：方法一（：方法一（比較系數(shù)法比較系數(shù)法）. . )(2cosxttay222.502cos05. 0 xty把題中波動方程改寫成把題中波動方程改寫成s8 . 05 . 22tm00. 21sm50. 2tu比較得比較得 1）波動方程波動方程2 例例2 一平面簡諧波沿一平面簡諧波沿 o x 軸正方向傳播，軸正方向傳播， 已知振已知振幅幅 ， ， . 在在 時坐標原時坐標原點處的質點位于平衡位置沿點處的質點位于平衡位置沿 o y 軸正方向運動軸正方向運動. . 求求 0tm0 . 2m0 . 1as0 .2t0,0tyyv00 xt解解 寫出原點處質點的振動方程寫出原點處質點的振動方程

15、yao0cos()yat2 /t01.0cos()2yt1.0cos(2)22xyt2）求求 波形圖波形圖.(1.0sinm)xs0.1t(1.0cos 2ym)x波形方程波形方程s0.1tom/ym/x2.01.0-1.0 時刻波形圖時刻波形圖s0.1t1.0cos(2)22xyt3） 處質點的振動規(guī)律并做圖處質點的振動規(guī)律并做圖 . .m5 . 0 x1.0cosyt 處質點的振動方程處質點的振動方程m5 . 0 x0m/y1.0-1.0s/t2.0oy1234*1234處質點的振動曲線處質點的振動曲線m5 . 0 x1.01.0cos(2)22xyt 例例3 一平面簡諧波以速度一平面簡諧

16、波以速度 沿直線傳播沿直線傳播, ,波波線上點線上點 a 的簡諧運動方的簡諧運動方程程 .s/m20u23 10cos4ayt 1）以以 a 為坐標原點，寫出波動方程為坐標原點，寫出波動方程m10 utm1032as5 . 0t023 10cos(42)()10 xytmuabcd5m9mxo8m0cos(2)xxyatababxx 21052b23 10cos(4byt) 23 10cos(42)( )10 xytm 2）以以 b 為坐標原點，寫出波動方程為坐標原點，寫出波動方程uabcd5m9mxo8m23 10cos4ayt3）寫出傳播方向上點寫出傳播方向上點c、點點d 的簡諧運動方程的

17、簡諧運動方程uabcd5m9mxo8m2(3 10)cos4aymt點點 c 的相位比點的相位比點 a 超前超前23 10cos42cacyt2133 10cos45t 點點 d 的相位落后于點的相位落后于點 a 293 10cos45tm1023 10cos42dadyt 4）分別求出分別求出 bc ，cd 兩點間的相位差兩點間的相位差4 . 4102222dcdcxxuabcd5m9mxo8m23 10cos4ayt 6 . 110822cbcbxxm10 1）給出下列波動方程所表示的波的給出下列波動方程所表示的波的傳播方傳播方向向和和 點的初相位點的初相位. .0 x)(2cosxtta

18、y)(cosuxtay 2）平面簡諧波的波函數(shù)為平面簡諧波的波函數(shù)為 式中式中 為正常數(shù)，求波長、波速、波傳播方為正常數(shù)，求波長、波速、波傳播方向上相距為向上相距為 的兩點間的相位差的兩點間的相位差. .)cos(cxbtaycba,d)cos(cxbtay)(2cosxttayc2bt2cbtudcd2思考思考),(向向x 軸軸正正向傳播向傳播),(向向x 軸軸負負向傳播向傳播 3 ） 如圖簡諧波如圖簡諧波以余弦函數(shù)表示，以余弦函數(shù)表示，求求 o、a、b、c 各各點振動點振動初相位初相位. .)(oyxuabcaat=t/4t =0o2a0b2coyaoyaoyaoya例例4 一平面簡諧波以

19、波速一平面簡諧波以波速u=200ms-1 沿沿 x 軸正方向傳播軸正方向傳播, 在在 t = 0 時刻的波形如圖所示。時刻的波形如圖所示。 (2) 求求 t = 0.1 s , x = 10 m 處質點的位移、振動速度和加速度處質點的位移、振動速度和加速度。 u = 200ms-1t = 0 時波形時波形(1) 求求 o 點的振動方程與波動方程點的振動方程與波動方程 ；y123450.02o(m)(m)xam4hzu50420011002s解：解：(1) o 點振動方程點振動方程 taycos(2) t = 0.1 s , x = 10 m 處質點處質點位移位移速度速度加速度加速度 2100c