數(shù)列中公共項(xiàng)問題的研究

1、專題：數(shù)列中公共項(xiàng)問題的研究數(shù)列中公共項(xiàng)問題的研究 一、問題提出問題 1 : ( 1)兩個(gè)集合 A 3,0,3,6,L a 和 B 15,19,23,27,L 山。0 都 各有100個(gè)元素，且每個(gè)集合中元素從小到大都組成等 差數(shù)列，則集合AI B中元素的最大值是多少？(2)若將AI B中元素按從小到大的順序排列成數(shù)列Cn，試求數(shù)列Cn的通項(xiàng)公式.Cn 12n 3問題2：若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an駕3，數(shù)列bn的通項(xiàng) 公式為bn3n 5 .4設(shè)集合 A x|x 2an, n N* , B y|y 4bn,n N* 若等差數(shù)列q任 一項(xiàng)cn AI B,C1是AI B中的最大數(shù)，且265125 ,求

2、cn的通項(xiàng)公式.對任意 n N* , 2an2n 3,4bn12n 52(6n 1) 3 ,° B A ,° AI B BT C1是AI B中的最大數(shù)， Cl17，設(shè)等差數(shù)列cn的公差為d，則26517 9d 125，即27舟d 12，又4b”是一個(gè)以12為公差等差數(shù)列,d12k(k N ), d24，cn 7 24n、思考探究bn的通項(xiàng)公式為b若將數(shù)列an , bn中相同的項(xiàng)按從探究1 :已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an 7n 2，數(shù)列小到大的順序排列后看作數(shù)列Cn,(1)求C9的值；961 (2)求數(shù)列Cn的通項(xiàng)公式.解：設(shè)7n 2 m2,考察m模7的余數(shù)問題;若 m 7k

3、 6,7k 5,7k 4,7k 3,7k 2,7k 1,7k 時(shí)經(jīng)驗(yàn)證可得: 當(dāng)m 7k 4,7k 3時(shí)，存在滿足條件的n存在故Cn中的項(xiàng)目依次為：b3 ,b4, bio , bn , b17 , b18 , b24 , b25 , b312 _1, n為奇數(shù)可求得數(shù)列 Cn的通項(xiàng)公式為：Cn 2 2互蘭,n為偶數(shù)23n 19，探究2：已知數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式分別為anbn 2n .將an與bn中的公共項(xiàng)按照從小到大的順序排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列記為Cn.5C3b5a172 ，C4b7a4827，1m 1mm .3（ 1）6（ 1）1當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，n有整數(shù)解，2n 1Cnb2n 12（1）試寫出

4、Ci , C2 , c , C4的值，并由此歸納數(shù)列Cn的通 項(xiàng)公式；（2）證明你在（1）所猜想的結(jié)論.解：（1 ） C1 bi a72n 6 cm3m cm3m1（ 1）1 c；3m 2（ 1）2 l cm n 6， C2 b3 a92，由此歸納：Cn 22n1.（2）由an bm，得n寧專mn 6，由二項(xiàng)式定理得類型：（1）兩個(gè)等差數(shù)列取交集數(shù)列問題（方法：公式法）隔二差五冋題（2）個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)指數(shù)數(shù)列取交集數(shù)列問題（方法：余數(shù)分析法）（3） 個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)二次型數(shù)列取交集數(shù)列問題（方法：二項(xiàng)式定理）探究3：已知數(shù)列Xn和yn的通項(xiàng)公式分別是Xn= a°和yn=(a+ 1)

5、n+ b(n N*).(1)當(dāng) a= 3, b= 5 時(shí), 試問X2, X4分別是數(shù)列yn中的第幾項(xiàng)？ 記Cn = xn，若Ck是數(shù)列yn中的第m項(xiàng)(k,N*)，試問ck+1是數(shù)列yn中的第幾項(xiàng)？請說明理由；2,(2)對給定自然數(shù)a>2試問是否存在b 1, 使得數(shù)列xn和yn有公共項(xiàng)？若存在，求出b的值及相 應(yīng)的公共項(xiàng)組成的數(shù)列zn；若不存在，說明理由.解(1)由條件可得xn= 3n, yn= 4n + 5.yn令X2= 9= ym = 4m + 5?得m= 1,故X2是數(shù)列 中的第1項(xiàng).yn令 X4= 81 = yk = 4k + 5,得 k = 19,故 X4是數(shù)列中的第19項(xiàng).(2

6、分)由題意知，Cn = 32n ,由Ck為數(shù)列yn中的第m項(xiàng)，則有32k = 4m + 5 那么 Ck+1 = 32(k+1) = 9X32k = 9 X(4m + 5)= 36m + 45=4(9m+ 10)+ 5,因9m + 10 N*，所以Ck +1是數(shù)列yn中的第9m +10項(xiàng).(8分)(2)設(shè)在1, 2上存在實(shí)數(shù)b使得數(shù)列Xn和yn有公共項(xiàng)，as一 b即存在正整數(shù)s, t使as= (a+ 1)t + b,t= a+ 1 , 因自然數(shù)a>2 s, t為正整數(shù)，as b能被a+ 1整除.as b a當(dāng)s=1時(shí)石<話?N*，=-1 + ( a) + (當(dāng)s= 2n(n N*)時(shí)

7、，當(dāng)b= 1時(shí)， as b _ a2n 1 _1 a2na+ 1 a+ 1 1 aa)2+ + ( a)2 n1=(a 1)1 + a2 + a4 + + a2n2 N*,即 as b 能被1整除.此時(shí)數(shù)列Xn和yn有公共項(xiàng)組成的數(shù)列Zn；顯然，當(dāng)b= 2時(shí)，即as b不能被=壬=I?n*a+1 a+1 a+1 a+1''a+ 1整除.當(dāng) s = 2n + 1(n N*)時(shí)，t =2n 1aa 1除，“2n 12n 1.1 a a a b a a a b-na 1 a 1 由知，a2n1能被a+ 1整除，若 a> 2,則 a b (0 ,a 1)，故此時(shí) t?N*,若a=

8、 2,當(dāng)且僅當(dāng)b= a= 2時(shí)，a b能被a+ 此時(shí)t N*,此時(shí)數(shù)列Xn和yn有公共項(xiàng)組成的數(shù)列znXn，zn綜上所述,a = 2時(shí)，存在b=1或b=2?使得數(shù)列和yn有公共項(xiàng)組成的數(shù)列Zn,且當(dāng)b= 1時(shí)，數(shù)列Zn = 4n(n N*);當(dāng)b= 2時(shí) 22n+ 1(n N*);a>2時(shí)，存在b=1,使得數(shù)列xn和yn有公共項(xiàng)組 成的數(shù)列Zn，數(shù)列 zn = a2n(n N*). (16 分)【搶分秘訣】1 求解數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，應(yīng)該先根 據(jù)已知條件確定數(shù)列的性質(zhì)，然后通過條件的靈活變形 構(gòu)造或者直接轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式問題進(jìn) 行求解，所以要熟練掌握等差、等比數(shù)列的定義及其性

9、 質(zhì)，才能簡化運(yùn)算過程.2數(shù)列求和問題的關(guān)鍵是數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，數(shù)列求和的方法取決于其通項(xiàng)公式的形式，基本思路是將 其轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的求和問題進(jìn)行求解.探究4：設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an 2n 1，數(shù)列bn 的通項(xiàng)公式為bn = 3n 2 .集合A=x I x = an，n N*，B = x I x = bn，n N*.將集合AUB中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列C1,02,03，則Cn的通項(xiàng)公式為 解：因?yàn)?a3k 2 2(3k 2) 1 6k 5， ask 1 2(3k 1) 1 6k 3a3k2 3k 16k 1 ； b2k 13(2k1) 26k5a3k 2b2k3 2k 2

10、6k 2 A所以a3k 2b2k 1a3k 1b2ka3kk 1,2,3,即當(dāng)n4k3(kN )時(shí)，Cn6k5 ;當(dāng)n4k2(k N )Cn6k3，當(dāng)n 4k1(kN)時(shí)，Cn6k2，當(dāng)n4k(kN )時(shí)，Cn6k1三、反思提升四、反饋檢測所以Cn的通項(xiàng)公式是C即:3n 1,n 2k 1 23n,n 4k 2 23n 2.,n 4k21.已知數(shù)列an，(1)求證：數(shù)列a.(2)數(shù)列an中，6k 5,n 4k 36k 3,n 4k 26k 2,n 4k 16k 1,n 4kqn(p 0,q0, p q, R, 0,nN*).pan為等比數(shù)列;是否存在連續(xù)的三項(xiàng)，這三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列？試說明理由;(

11、3 )設(shè) A (n,bn)|bn 3n kn,n N*，其中 k 為常數(shù)，且 kB (n,Cn)|Cn 5n,n N*，求 AI Bnnn 1n 1nqn)qn(q p)用牛丿an = p q ,an 1 pan p q p(p0,q 0, p q 二 an 2pan 1an 1panq為常數(shù)數(shù)列a1 pan為等比匕數(shù)q)2，取數(shù)列an的連續(xù)三項(xiàng)an, an 1,an 2(n 1,n N ),2n1n 1、2nnn2n2nnan 1 anan 2 (p q ) (p q )(p q ) pq(PQ p 0,q 0, p q, 0 ,°pnqn(p q)2 0，即 a； 1 a.an

12、2 ,數(shù)列an中不存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列；當(dāng)k 1時(shí)，3時(shí)，3nknkn 3n 1 5n，此時(shí) BI C ；3n 3n 2 3n為偶數(shù)；而5n為奇數(shù)，此時(shí)BI C5時(shí)，3nkn5n，此時(shí) BI C ；122時(shí)，(即只有5n，發(fā)現(xiàn)n 1 n 1符合要求)。3n 2符合要求，下面證明唯一性由 3n 2n5n 得(3)n (2)n551,設(shè) f(x) (|)x5(2)x，則 f(x)5(3)x (5)x是R上的減函數(shù)，55f(x)BI C (2,25)；解只有一個(gè)從而當(dāng)且僅當(dāng)n1時(shí)(黔(討1,即3"2 5,此時(shí)BI C (1,5)；當(dāng)k 4時(shí)，3n 4n 5n，發(fā)現(xiàn)n 2符合要求，下面同

13、理可證明 唯一性(即只有n 2符合要求)從而當(dāng)且僅當(dāng)n 2時(shí)(3)n (4)n 1 ,即3n 4n 5n ,此時(shí)55綜上，當(dāng)k 1 , k 3或k 5時(shí)，BIC當(dāng) k 2時(shí)，BI C (1,5),當(dāng)k 4時(shí),BI C (2,25)。16分2.設(shè)數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對任意n N*都有a13an+ a23 + a33+ an3= Sn2+ 2Sn，其中 Sn 為數(shù)列的前n項(xiàng)和.(1) 求 ai, a2；(2) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;,試找出所有即在數(shù)列Sn + 32an(3) bn =Sn， Cn = 2日-1 + abn中又在數(shù)列Cn中的項(xiàng).2ai,解：(1)令 n = 1,則 a13=

14、S13 + 2S1,即 aF= a* + 所以 a1 = 2 或 a1 = 1 或 a1= 0.又因?yàn)閿?shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，所以a1 = 2.令 n = 2,則 a13 + a23= S22 + 2S2,即 a13+ a23= (a1 + a2)2 + 2(a1 + a2),解得 a2= 3 或 a2= 2 或 a2= 0.又因?yàn)閿?shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，所以a2= 3.(2)因?yàn)?ai3 + a23 + a33+ an3= Snan-+ an = 2n + n + 1'不妨設(shè)數(shù)列bn中的第n項(xiàng)bn和數(shù)列Cn中的第m項(xiàng)Cm 相同，貝V bn= Cm . + 2Sn(1)所以 ai3 +

15、 a23 + a33+ an 13= Sn-12 + 2Sn-i(nA2)由(1)得 an3= ( Sn2 + 2Sn) (Sn- 12+ 2Sn-1)= (Sn Sn 1)( Sn+ Sn 1 + 2)= an( Sn+ Sn 1 + 2),因?yàn)?an>0,所以 an2= Sn + Sn1 + 2(3)所以 an 12= Sn 1 + Sn2+ 2(n A 3)(4)由(3) (4)得 an2 an12= an + an1, 即卩 an an1 = 1(nA 3),又 a2 a1 = 1,所以 an an1 = 1(nA2).所以數(shù)列an是一個(gè)以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù) 列.所以 a

16、n = a1 + (n 1)d= n + 1.(3) Sn = n(n+ 3)，所以 bn2門+1&+ ea 寸+ E 寸人& CFmsAE&+ E2V& WLgCXT+E2H& u-IOHL+E+&起COHU L E IUCN一>駅寸+ E寸H& m0A8H(9)A(E)J三瓷亠雲(yún)靈曲(E)三瓷O人寸 ecnh(e)(l +E)亙.寸E寸民h(e)令-起 9AE & + E 寸 VE0 起寸COZLE亠寸+E寸he三瓷IDL + E + ECNECO+ 敖 H9E9 剝U- EW IE IC0+黒 FE+OWUWL ¥ e (e+u)UHL+E+22 楓L E luCNL+E+ &H(CO+u)u 注亠 L E luCN9L+E+ Eh (C0+ u)u9 + (col+u)uu所以，m= 3, n= 3.2m m161廠2 若 2m+ m+ 1 = n(n + 3)V3，即卩 2 V2m+ 2 由 1 知，當(dāng) m > 3 時(shí)，2m > 2m + 2。因此，當(dāng)2mv 2m+