數(shù)列前n項(xiàng)和的求法總結(jié)

1、數(shù)列前n項(xiàng)和的求法總結(jié)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法總結(jié)核心提示：求數(shù)列的前n項(xiàng)和要借助于通項(xiàng)公式，即先有通項(xiàng)公式，再在分析數(shù)列通項(xiàng)公式 的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和。當(dāng)遇到具體問題時(shí)，要注意觀 察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律，找到適合的方法解題。公式法(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和:?初=?(?+?(?+?)=?+ ?-(一? (2)等比數(shù)列前n項(xiàng)和:?工？時(shí)，?= ?時(shí)，? (?-?= ?(3)其他公式:?= ?+ ?各? =?？?各？ + ?= ?丹?13?2= ?+ ?+ ?+ ? + ?=?(?+ ?)(? ?)?= ?:?+ ?+ ?+ ? + ?伊二一？ ? ?例題1:求數(shù)列?, ?,

2、?,(?+ ?,的前n項(xiàng)和S解: 1 + 2 丄十 3丄)"243Z1=(1 42-134- 4- - + - + '2482"_ 血 + i)s(1" + 2 十 i) 12 211 1 * 點(diǎn)撥：這道題只要經(jīng)過簡單整理，就可以很明顯的看出：這個(gè)數(shù)列可以分解成兩個(gè)數(shù)列, 一個(gè)等差數(shù)列，一個(gè)等比數(shù)列，再分別運(yùn)用公式求和，最后把兩個(gè)數(shù)列的和再求和。練習(xí):R在等善數(shù)列厲4 已知公茶為乙 求數(shù)列件前11項(xiàng)和。2、在數(shù)列中，Li知步八 ,求數(shù)列件前ri項(xiàng)和二.倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列an，與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，

3、就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。我們?cè)趯W(xué)知識(shí)II時(shí)，不但要知其果，更要索其因，知識(shí)的得出過程是知識(shí)的源頭，也是研究同一類知識(shí)的工 具，例如：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，用的就是“倒序相加法”。例題1:設(shè)等差數(shù)列an，公差為d，求證：an的前n項(xiàng)和S=n(ai+an)/2解：Sn=ai+a2+a3+.+a n 倒序得：Sn = 9n+9n-l+an-2+&1 + 得：2Sn=(a i+an)+(a 2+an-i )+(a 3+a“2)+ +(a n+ai)又-a i+an=a2+an-i =a3+an-2= =an+ai 2S=n(a2+an) S n=n(ai+an)

4、/2點(diǎn)撥：由推導(dǎo)過程可看出，倒序相加法得以應(yīng)用的原因是借助ai +an=a2+an-i =a3+an-2 = =an+ai即與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和的這一等差數(shù)列的重要性質(zhì)來實(shí)現(xiàn)的。練習(xí)：(1)求 sin'r 4-sin12- +sin13*-h*-4-aiii3 SS" + sin189* 的們Hi US=8iiar +sin32* YinX，iTain 伽 4dnaS9'式右邊反序得$ = sin2»r+win3芬 4 sin2T + sin21*®f辰序又同為 sinx- jt), sin2 jt+cos2 x= 1 +得

5、63;氏字倉曲= (sin214 + cos2 lc)H- (sin2 21 十 co” 2°)h- + (sin2 K9" tew2 KF) =R9. s=44.5.裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法是將數(shù)列的一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使得前后項(xiàng)相抵消，留下有限項(xiàng)，從而求出 數(shù)列的前n項(xiàng)和。=(2片一1)( 2/1 + 1)22/1 12 m + 1nn + 1)(« 十 2)2 nn 十 1(/i + 1)(n 4- 2)(n N*)的和解:1 4r 4 -4- -I例題3：求數(shù)列 1 + 21+2 + 31+2 +七n點(diǎn)撥：此題先通過求數(shù)列的通項(xiàng)找到可以裂項(xiàng)的規(guī)律，再把數(shù)列的每

6、一項(xiàng)拆開之后，中間 部分的項(xiàng)相互抵消，再把剩下的項(xiàng)整理成最后的結(jié)果即可。四. 錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。即若在 數(shù)列an bn中，a n成等差數(shù)列，bn成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯(cuò) 位相減整理后即可以求出前 n項(xiàng)和。例題4:求數(shù)列nan(n N*)的和解：設(shè) Sn = a + 2a 2 + 3a 3 + + na nn(n + O若 a = 1 貝 U： S= 1 + 2 + 3 + n = 廠若 a 工 1 貝U： aSn = a 2 + 2a 3 + + (n -1)a n + na n+1 s _a(l-a&quo

7、t;)呵"-得：(1-a)S n = a + a 2 + a 3 + + a n - na n+1 貝U："(卜研(1)求和：5, = I + 5 + 7jcj + - + （2/ -1一一_ 一+解：由曹可知b （2a-）x 的通頂是等差數(shù)列；2n-；的迎頊耳等比數(shù)列JC-1的逋煩王積設(shè)辺* =lx+ + 5jc3 + 7x4 + - +£設(shè)嗣錯(cuò)位）一得（1 一工）£ =l + 2x + 2x1+2xJ +2j4 -h2兀1 一（2« 一I）才精位栢沁再利用黑比數(shù)列的求卻公式和：汀心v -（加-IX1 -X釣（2料一 1）耳-（2ft4-1&

8、gt;"+（1 十耳）zP（17尸(2)求數(shù)列？二占前誡的和-2 22 2-1 2*F： 吐.+i f魯?shù)倪f以是等差數(shù)甸 加的述頂與等比數(shù)如半的迪鎖之積SH =62/1Trt1 L 246勞"戸421 2 2 2 2一得(1- -)S =-+tt + tTT7212 " 2 21 23 24n-2«r-l(3)求：？?二?+ ?+ ? + (?- ?-?.解：?= ? ?+ ? + (? ?-?,兩邊同乘以X,得?= ?2 ?+ ?*?+ ? + (? ? -得，(？2 ? ?= ? ? ?+ ?+ ? + ?) - (? 再用公式法里面的公式即可。五.

9、 迭加法迭加法主要應(yīng)用于數(shù)列an滿足an+i=an+f(n)，其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下,II可把這個(gè)式子變成an+i-an=f(n)，代入各項(xiàng)，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過 整理，可求出an ,從而求出S。例題5:已知數(shù)列6,9,14,21,30,其中相鄰兩項(xiàng)之差成等差數(shù)列，求它的前 n項(xiàng)和解解 .&2 - a i = 3, a 3 - a 2 = 5, a 4 - a 3 = 7 ,a n - a n-1 = 2n-1把各項(xiàng)相加得：an - a 1= 3 + 5 + 7 + (2n- 1) =-n(n+l) (2n + l)+ 5n Sn = 1 2 +

10、 2 彳 + + n 2 + 5n =點(diǎn)撥：本題應(yīng)用迭加法求出通項(xiàng)公式，并且求前n項(xiàng)和時(shí)應(yīng)用到了 12 + 2 2 +n(n+1) (2nH- i)n2= e因此問題就容易解決了。六. 分組求和法所謂分組求和法就是對(duì)一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng) 拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。例題 6:求 S = 1 2 - 2 2 + 3 2 - 4 2 + + ( -1) n-1 n2(n N*)解：當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí)：S = (1 2 - 2 2) + (3 2 - 4 2) + + (n - 1) 2 - n 21 + 2 + (n2 2-

11、1) + n 2綜上所述：？=(-?) ?+?l?(?+ ?)當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí)：S = (1 2 - 2 2) + (3 2 - 4 2) +( n- 2) 2 - (n - 1)2 + n 2,分別點(diǎn)撥：分組求和法的實(shí)質(zhì)是：將不能直接求和的數(shù)列分解成若干個(gè)可以求和的數(shù)列 求和。=-(1 + 2 + n)=練習(xí):(1)盤歡列ffj gi nl-W和：1十1；丄十血-!?+7八，丄7*%-2一_aa2應(yīng) i墀：設(shè)凡=(l + l) + (-+4)-i-(- + 7)+ - +(-4r + 3n-2)#其毎一煩拆幵再壷新紐合得 aQd*1 141(1 -i- + + + (I + 4 + 7 +

12、+ 3科2)d qaa(2)例7求數(shù)列遼(廿氓岔+1)的前項(xiàng)和rHft解；+Jt A V, =Jt(l + l)(i4-l) =y(2ia4Ua + Jt)±=it-將其毎一項(xiàng)拆開再堇訴袒件得M1R用弘二2工4十3工卅+工k < jjM?.、= 2(1 +4*+*+rt*+30a + 護(hù) /11)+(1 + 2 h- +w)*司占mt=i«3 (rt+l)a1 )(2» +1) /t(fi 4-1)22T作業(yè)：(2016.07.20 )1. 已知等差數(shù)列?，其前n項(xiàng)和為?且?= 9, ? = 35.(1) 求數(shù)列?得通項(xiàng)公式；(2) 若?= 2? ?+ n,求數(shù)列?的