牛頓迭代法論文

1、鹽城師范學(xué)院課程考察論文課程名稱：計算方法學(xué)院：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級：數(shù)學(xué)09（4）姓名：陳玉婷學(xué)號：09211428論文題目：淺析牛頓迭代法及其延伸成 績淺析牛頓迭代法及其延伸數(shù)學(xué)學(xué)科中，代數(shù)方程求根問題是一個古老的問題，早在十六世紀就找到了三次、四次方程的求根公式。但是直到十九世紀才證明n=5次的一般代數(shù)方程式不能用代數(shù)公式求解。因此，需要研究用數(shù)值方法求得滿足一定精度的代數(shù)方程式的近似解。在工程和科學(xué)技術(shù)中許多問題常常歸結(jié)為求解非線性方程式問題。現(xiàn)主要被運用的是二分法，迭代法，牛頓法，后經(jīng)過一系列的改進，又產(chǎn)生了正割法和拋物線法等更加實用的方法。內(nèi)容摘要：本篇文章淺析牛頓

2、迭代法。對牛頓迭代法以及其基本原理進行基本闡述，介紹幾個牛頓法變形，對其局部收斂性質(zhì)進行分析。并列舉相關(guān)例題進行解答，包括過程圖以及編程代碼。關(guān)鍵字：迭代法 牛頓迭代法問題背景:牛頓迭代法（newton's method）又稱為牛頓-雷扶生法（newton-raphson method），它是牛頓在17世紀提出的一種在實數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法。多數(shù)方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要?；娟U述：方法使用函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù)的前面幾項來尋找方程f(x) = 0的根。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大優(yōu)點是在方程f(x

3、) = 0的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來求方程的重根、復(fù)根,此時線性收斂，但是可通過一些方法變成超線性收斂。方法的基本思路是利用一個根的猜測值x0做初始近似值，使用函數(shù)f(x)在x0處的泰勒級數(shù)展式的前兩項做為函數(shù)f(x)的近似表達式。由于該表達式是一個線性函數(shù)，通過線性表達式替代方程f(x) = 0中的f(x)求得近似解x1。即將方程f(x) = 0在x0處局部線性化計算出近似解x1，重復(fù)這一過程，將方程f(x) = 0在x1處局部線性化計算出x2， y xo x* x1 x0求得近似解x2，。詳細敘述如下：假設(shè)方程的解x*在x0附近（x0是方程解x*的近似），函數(shù)f(x)在點x

4、0處的局部線化表達式為由此得一次方程求解，得x1=x0-f(x0)/f(x0)如圖1所示，x1比x0更接近于x*。該方法的幾何意義是：用曲線上某點（x0，y0）的切線代替曲線，以該切線與x軸的交點（x1，0）作為曲線與x軸的交點（x*，0）的近似（所以牛頓迭代法又稱為切線法）。設(shè)xn是方程解x*的近似，迭代格式xn+1=xn-f(x0)/f(x0) ( n = 0，1，2，) 就是著名的牛頓迭代公式，通過迭代計算實現(xiàn)逐次逼近方程的解。牛頓迭代法的最大優(yōu)點是收斂速度快，具有二階收斂。以著名的平方根算法為例，說明二階收斂速度的意義。題：已知 ，求 等價于求方程f(x) = x2 2 = 0的解。由

5、于 。應(yīng)用牛頓迭代法，得迭代計算格式 ，（n = 0，1，2，）取x0= 1.4為初值，迭代計算3次的數(shù)據(jù)列表如下表1 牛頓迭代法數(shù)值實驗迭代次數(shù)近似值15位有效數(shù)誤差01.41.41421356237310-1.42e-00211.414285714285711.414213562373107.21e-00521.414213564213561.414213562373101.84e-00931.414213562373091.41421356237310-2.22e-016觀察表中數(shù)據(jù)，第一次迭代數(shù)據(jù)準確到小數(shù)點后四位，第二次迭代數(shù)據(jù)準確到小數(shù)點后八位，。二階收斂速度可解釋為，每迭代一次，

6、近似值的有效數(shù)位以二倍速度遞增。對于計算任意正數(shù)c的平方根，牛頓迭代法計算同樣具有快速逼近的性質(zhì)。牛頓迭代法的收斂性牛頓迭代法在使用受條件限制，這個限制就是通常所說的牛頓迭代法的局部收斂性。定理 假設(shè)f(x)在x*的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且設(shè)f(x*)=0， ，則對充分靠近x*的初始值x0，牛頓迭代法產(chǎn)生的序列xn收斂于x*。下面例子是牛頓迭代法不收斂的反例。反例說明，牛頓迭代法局部收斂性要求初始點要取得合適，否則導(dǎo)致錯誤結(jié)果。題：用牛頓迭代法解方程 f(x) = x3 x 3 = 0。表2 三次方程的三個根r1r2r31.6717-0.8358 - 1.0469i -0.8358 +

7、1.0469i顯然，三次方程有一個實根r1。為了使用牛頓迭代法計算，對于 f(x) = x3 x 3 ，首先求導(dǎo)數(shù)，得 。取x0 = 0和x0 = 1取分別用牛頓迭代法計算，得表3 不同初始值的迭代計算結(jié)果x001x1-3.00002.5000x2-1.96151.9296x3-1.14721.7079x4-0.00661.6726x5-3.00041.6717x6-1.96181.6717對于迭代初值取x0=0，迭代數(shù)列中的第四項又回到初始點x0 = 0附近，算法將陷入死循環(huán)。圖2 牛頓迭代法初值不收斂示意圖而迭代初值取x0=1，可以使牛頓迭代法得到收斂。將牛頓迭代法用于求解高階代數(shù)方程時，

8、首先回顧一個代數(shù)基本定理，即“一個n階多項式在復(fù)數(shù)域內(nèi)有n個根”。根據(jù)牛頓迭代法的局部收斂性質(zhì)，任意取一個數(shù)據(jù)做為牛頓迭代的初值，可能導(dǎo)致迭代不收斂，即使這一個初值可以使迭代法收斂。具體實例：用newton法計算解：f(x)= -a=0,其中a=xn+1=xn-=(xn+) n=0,1,取x0=1.5,則x1=1.41666667 x2=1.414215686,x3=1.414213562。與的精確值相比x3是已有十位有效數(shù)的近似值。（1） 輸入x0,（2）f0=f(x0);f1=f(x0);（3）while >做1） x1=x0-f0/f12） x0=x13） 轉(zhuǎn)(x2) endwhi

9、le (4)輸出：x1開始輸入x,eps？輸出 結(jié)束程序設(shè)計private sub command1_click()dim x0 as double, e as doublex0 = val(text1.text)e = val(text2.text)m = f(x0)n = f1(x0)dox1 = x0 - m / nx0 = x1m = f(x0)n = f1(x0)while abs(m) > eend subpublic function f(byval x0 as double) as doublef(x0) = x0 - x0 2 - sqr(2) / 2 * x0end

10、functionpublic function f1(byval x0 as double) as doublef1(x0) = 0.5 - sqr(2) / (2 * x0 2)end function程序運行如上綜合評判：牛頓方法結(jié)合計算機編程，可以解決許多問題。牛頓雷扶生法不失為數(shù)學(xué)界的一個經(jīng)典之作。除此之外，還有二分法，截弦法，拋物線法等一系列方法。二分法較為緩慢，雖然是個不會失敗的方法。迭代法是個逐漸逼近的方法，一般具有線性收斂速度。牛頓法可以選做對導(dǎo)數(shù)能有效地求值，且導(dǎo)數(shù)在根的領(lǐng)域中連續(xù)的任何函數(shù)方程的求根方法。牛頓法在單根鄰近收斂快，具有二階收斂速度，但牛頓法對初值要求比較苛刻，即要求初值選取充分靠近方程的根，否則牛頓法可能不收斂。擴大初值的選取范圍，可采用牛頓下山法。在求解非線性方程