2019-2023年真題分類匯編（新高考）專題04立體幾何(原卷版+解析)

五年（2019-2023）年高考真題分項(xiàng)匯編專題04立體幾何考點(diǎn)一空間幾何體的側(cè)面積和表面積1．（2021?新高考Ⅰ）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長為A．2 B． C．4 D．2．（2022?上海）已知圓柱的高為4，底面積為，則圓柱的側(cè)面積為．3．（2021?上海）已知圓柱的底面圓半徑為1，高為2，為上底面圓的一條直徑，是下底面圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的面積的取值范圍為．4．（2021?上海）已知圓柱的底面半徑為1，高為2，則圓柱的側(cè)面積為．5．（2019?上海）一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長分別為1和2，將該三角形分別繞其兩個(gè)直角邊旋轉(zhuǎn)得到的兩個(gè)圓錐的體積之比為A．1 B．2 C．4 D．86．（2020?浙江）已知圓錐的側(cè)面積（單位：為，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑（單位：是．7．（2022?新高考Ⅱ）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為A． B． C． D．8．（2021?新高考Ⅱ）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為，半徑為的球，其上點(diǎn)的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測(cè)到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，該衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積（單位：，則占地球表面積的百分比約為A． B． C． D．考點(diǎn)二空間幾何體的體積9．（2022?新高考Ⅰ）已知正四棱錐的側(cè)棱長為，其各頂點(diǎn)都在同一球面上．若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是A．， B．， C．， D．，10．（2022?新高考Ⅰ）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫．已知該水庫水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為．將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為A． B． C． D．11．（2021?新高考Ⅱ）正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為A． B． C． D．12．【多選】（2023?新高考Ⅰ）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有A．直徑為的球體 B．所有棱長均為的四面體 C．底面直徑為，高為的圓柱體 D．底面直徑為，高為的圓柱體13．【多選】（2022?新高考Ⅱ）如圖，四邊形為正方形，平面，，．記三棱錐，，的體積分別為，，，則A． B． C． D．14．【多選】（2021?新高考Ⅰ）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，，，則A．當(dāng)時(shí)，△的周長為定值 B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值 C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得 D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面15．（2023?新高考Ⅱ）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為．16．（2023?新高考Ⅰ）在正四棱臺(tái)中，，，，則該棱臺(tái)的體積為．17．（2020?海南）已知正方體的棱長為2，、分別為、的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為．18．（2022?上海）如圖所示三棱錐，底面為等邊，為邊中點(diǎn)，且底面，．（1）求三棱錐體積；（2）若為中點(diǎn)，求與面所成角大?。?9．（2020?上海）已知四棱錐，底面為正方形，邊長為3，平面．（1）若，求四棱錐的體積；（2）若直線與的夾角為，求的長．考點(diǎn)三空間中直線與直線之間的位置關(guān)系20．（2022?上海）如圖正方體中，、、、分別為棱、、、的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，．空間任意兩點(diǎn)、，若線段上不存在點(diǎn)在線段、上，則稱兩點(diǎn)可視，則下列選項(xiàng)中與點(diǎn)可視的為A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)21．（2021?浙江）如圖，已知正方體，，分別是，的中點(diǎn)，則A．直線與直線垂直，直線平面 B．直線與直線平行，直線平面 C．直線與直線相交，直線平面 D．直線與直線異面，直線平面22．（2020?上海）在棱長為10的正方體中，為左側(cè)面上一點(diǎn)，已知點(diǎn)到的距離為3，到的距離為2，則過點(diǎn)且與平行的直線交正方體于、兩點(diǎn)，則點(diǎn)所在的平面是A． B． C． D．23．（2023?上海）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線異面的是A． B． C． D．考點(diǎn)四異面直線及其所成的角24．【多選】（2022?新高考Ⅰ）已知正方體，則A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為 C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面所成的角為考點(diǎn)五空間中直線與平面之間的位置關(guān)系25．（2019?上海）已知平面、、兩兩垂直，直線、、滿足：，，，則直線、、不可能滿足以下哪種關(guān)系A(chǔ)．兩兩垂直 B．兩兩平行 C．兩兩相交 D．兩兩異面26．【多選】（2021?新高考Ⅱ）如圖，下列正方體中，為底面的中心，為所在棱的中點(diǎn)，，為正方體的頂點(diǎn)，則滿足的是A． B． C． D．考點(diǎn)六直線與平面所成的角27．（2020?山東）日晷是中國古代用來測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測(cè)定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球（球心記為，地球上一點(diǎn)的緯度是指與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)處的水平面是指過點(diǎn)且與垂直的平面．在點(diǎn)處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)處的緯度為北緯，則晷針與點(diǎn)處的水平面所成角為A． B． C． D．28．（2021?上海）如圖，在長方體中，已知，．（1）若是棱上的動(dòng)點(diǎn)，求三棱錐的體積；（2）求直線與平面的夾角大?。?9．（2021?浙江）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，，分別為，的中點(diǎn)，，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．30．（2020?海南）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面．設(shè)平面與平面的交線為．（1）證明：平面；（2）已知，為上的點(diǎn)，，求與平面所成角的正弦值．31．（2020?上海）已知是邊長為1的正方形，正方形繞旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓柱．（1）求該圓柱的表面積；（2）正方形繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，求線段與平面所成的角．32．（2020?山東）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面．設(shè)平面與平面的交線為．（1）證明：平面；（2）已知，為上的點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值的最大值．33．（2020?浙江）如圖，在三棱臺(tái)中，平面平面，，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．34．（2019?上海）如圖，在長方體中，為上一點(diǎn)，已知，，，．（1）求直線和平面的夾角；（2）求點(diǎn)到平面的距離．35．（2019?浙江）如圖，已知三棱柱，平面平面，，，，，分別是，的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的余弦值．考點(diǎn)七二面角的平面角及求法36．（2022?浙江）如圖，已知正三棱柱，，，分別是棱，上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則A． B． C． D．37．（2019?浙江）設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，是棱上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則A．， B．， C．， D．，38．【多選】（2023?新高考Ⅱ）已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，為底面直徑，，，點(diǎn)在底面圓周上，且二面角為，則A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為 C． D．的面積為39．（2023?上海）已知直四棱柱，，，，，．（1）證明：直線平面；（2）若該四棱柱的體積為36，求二面角的大?。?0．（2023?新高考Ⅱ）如圖，三棱錐中，，，，為中點(diǎn)．（1）證明；（2）點(diǎn)滿足，求二面角的正弦值．41．（2023?新高考Ⅰ）如圖，在正四棱柱中，，．點(diǎn)，，，分別在棱，，，上，，，．（1）證明：；（2）點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．42．（2022?浙江）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．43．（2022?新高考Ⅱ）如圖，是三棱錐的高，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，，，求二面角的正弦值．44．（2022?新高考Ⅰ）如圖，直三棱柱的體積為4，△的面積為．（1）求到平面的距離；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．45．（2021?新高考Ⅱ）在四棱錐中，底面是正方形，若，，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．46．（2021?新高考Ⅰ）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積．考點(diǎn)八立體幾何的交線問題47．（2020?山東）已知直四棱柱的棱長均為2，．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為．五年（2019-2023）年高考真題分項(xiàng)匯編專題04立體幾何考點(diǎn)一空間幾何體的側(cè)面積和表面積1．（2021?新高考Ⅰ）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長為A．2 B． C．4 D．【解析】由題意，設(shè)母線長為，因?yàn)閳A錐底面周長即為側(cè)面展開圖半圓的弧長，圓錐的母線長即為側(cè)面展開圖半圓的半徑，則有，解得，所以該圓錐的母線長為．故選：．2．（2022?上海）已知圓柱的高為4，底面積為，則圓柱的側(cè)面積為．【解析】因?yàn)閳A柱的底面積為，即，所以，所以．故答案為：．3．（2021?上海）已知圓柱的底面圓半徑為1，高為2，為上底面圓的一條直徑，是下底面圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的面積的取值范圍為．【解析】如圖1，上底面圓心記為，下底面圓心記為，連接，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，則，根據(jù)題意，為定值2，所以的大小隨著的長短變化而變化，如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，此時(shí)取得最大值為；如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，取最小值2，此時(shí)取得最小值為．綜上所述，的取值范圍為．故答案為：．4．（2021?上海）已知圓柱的底面半徑為1，高為2，則圓柱的側(cè)面積為．【解析】圓柱的底面半徑為，高為，所以圓柱的側(cè)面積為．故答案為：．5．（2019?上海）一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長分別為1和2，將該三角形分別繞其兩個(gè)直角邊旋轉(zhuǎn)得到的兩個(gè)圓錐的體積之比為A．1 B．2 C．4 D．8【解析】如圖，則，，兩個(gè)圓錐的體積之比為．故選：．6．（2020?浙江）已知圓錐的側(cè)面積（單位：為，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑（單位：是．【解析】圓錐側(cè)面展開圖是半圓，面積為，設(shè)圓錐的母線長為，則，，側(cè)面展開扇形的弧長為，設(shè)圓錐的底面半徑，則，解得．故答案為：．7．（2022?新高考Ⅱ）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為A． B． C． D．【解析】當(dāng)球心在臺(tái)體外時(shí)，由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑為，下底面所在平面截球所得圓的半徑為，如圖，設(shè)球的半徑為，則軸截面中由幾何知識(shí)可得，解得，該球的表面積為．當(dāng)球心在臺(tái)體內(nèi)時(shí)，如圖，此時(shí)，無解．綜上，該球的表面積為．故選：．8．（2021?新高考Ⅱ）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為，半徑為的球，其上點(diǎn)的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測(cè)到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，該衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積（單位：，則占地球表面積的百分比約為A． B． C． D．【解析】由題意，作出地球靜止同步衛(wèi)星軌道的左右兩端的豎直截面圖，則，那么；衛(wèi)星信號(hào)覆蓋的地球表面面積，那么，占地球表面積的百分比為．故選：．考點(diǎn)二空間幾何體的體積9．（2022?新高考Ⅰ）已知正四棱錐的側(cè)棱長為，其各頂點(diǎn)都在同一球面上．若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】如圖所示，正四棱錐各頂點(diǎn)都在同一球面上，連接與交于點(diǎn)，連接，則球心在直線上，連接，設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，在中，，即，球的體積為，球的半徑，在中，，即，，，，又，，該正四棱錐體積，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，（4），又，，且，，即該正四棱錐體積的取值范圍是，，故選：．10．（2022?新高考Ⅰ）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫．已知該水庫水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為．將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為A． B． C． D．【解析】，，根據(jù)題意，增加的水量約為．故選：．11．（2021?新高考Ⅱ）正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為A． B． C． D．【解析】解法一：如圖為正四棱臺(tái)，，，．在等腰梯形中，過作，可得，．連接，，，，過作，，，正四棱臺(tái)的體積為：．解法二：作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，該四棱臺(tái)上下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，該棱臺(tái)的記，下底面面積，上底面面積，則該棱臺(tái)的體積為：．故選：．12．【多選】（2023?新高考Ⅰ）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有A．直徑為的球體 B．所有棱長均為的四面體 C．底面直徑為，高為的圓柱體 D．底面直徑為，高為的圓柱體【解析】對(duì)于，棱長為1的正方體內(nèi)切球的直徑為，選項(xiàng)正確；對(duì)于，如圖，正方體內(nèi)部最大的正四面體的棱長為，選項(xiàng)正確；對(duì)于，棱長為1的正方體的體對(duì)角線為，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，如圖，六邊形為正六邊形，，，，，，為棱的中點(diǎn)，高為0.01米可忽略不計(jì)，看作直徑為1.2米的平面圓，六邊形棱長為米，，所以米，故六邊形內(nèi)切圓半徑為米，而，選項(xiàng)正確．故選：．13．【多選】（2022?新高考Ⅱ）如圖，四邊形為正方形，平面，，．記三棱錐，，的體積分別為，，，則A． B． C． D．【解析】設(shè)，，，如圖所示，連接交于點(diǎn)，連接、，則，，，故，，故、正確，、錯(cuò)誤．故選：．14．【多選】（2021?新高考Ⅰ）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，，，則A．當(dāng)時(shí)，△的周長為定值 B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值 C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得 D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面【解析】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，即，所以，故點(diǎn)在線段上，此時(shí)△的周長為，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，△的周長為，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，△的周長為，故周長不為定值，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，即，所以，故點(diǎn)在線段上，因?yàn)槠矫妫灾本€上的點(diǎn)到平面的距離相等，又△的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，取線段，的中點(diǎn)分別為，，連結(jié)，因?yàn)椋?，所以，則點(diǎn)在線段上，當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，，，又，所以平面，又平面，所以，即，同理，當(dāng)點(diǎn)在處，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，因?yàn)?，即，所以，則點(diǎn)在線的上，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)槠矫?，又平面，所以，在正方形中，，又，，平面，故平面，又平面，所以，在正方體形中，，又，，平面，所以平面，因?yàn)檫^定點(diǎn)與定直線垂直的平面有且只有一個(gè)，故有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面，故選項(xiàng)正確．故選：．15．（2023?新高考Ⅱ）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為．【解析】如圖所示，根據(jù)題意易知△，，又，，，又上下底面正方形邊長分別為2，4，所得棱臺(tái)的體積為．故答案為：28．16．（2023?新高考Ⅰ）在正四棱臺(tái)中，，，，則該棱臺(tái)的體積為．【解析】如圖，設(shè)正四棱臺(tái)的上下底面中心分別為，，過作，垂足點(diǎn)為，由題意易知，又，，又，，該四棱臺(tái)的體積為．故答案為：．17．（2020?海南）已知正方體的棱長為2，、分別為、的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為．【解析】如圖，正方體的棱長為2，、分別為、的中點(diǎn)，，．故答案為：．18．（2022?上海）如圖所示三棱錐，底面為等邊，為邊中點(diǎn)，且底面，．（1）求三棱錐體積；（2）若為中點(diǎn)，求與面所成角大?。窘馕觥浚?）在三棱錐中，因?yàn)榈酌?，所以，又為邊中點(diǎn)，所以為等腰三角形，又．所以是邊長為2的為等邊三角形，，三棱錐體積，（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，1，，，，，，，，平面的法向量，0，，設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角的正弦值為，所以與面所成角大小為．19．（2020?上海）已知四棱錐，底面為正方形，邊長為3，平面．（1）若，求四棱錐的體積；（2）若直線與的夾角為，求的長．【解析】（1）平面，．，，，，所以四棱錐的體積為12．（2）是正方形，平面，，又平面異面直線與所成角為，在中，，故在中，考點(diǎn)三空間中直線與直線之間的位置關(guān)系20．（2022?上海）如圖正方體中，、、、分別為棱、、、的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，．空間任意兩點(diǎn)、，若線段上不存在點(diǎn)在線段、上，則稱兩點(diǎn)可視，則下列選項(xiàng)中與點(diǎn)可視的為A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【解析】線段上不存在點(diǎn)在線段、上，即直線與線段、不相交，因此所求與可視的點(diǎn)，即求哪條線段不與線段、相交，對(duì)選項(xiàng)，如圖，連接、、，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，易證，故、、、四點(diǎn)共面，與相交，錯(cuò)誤；對(duì)、選項(xiàng)，如圖，連接、，易證、、、四點(diǎn)共面，故、都與相交，、錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)，連接，由選項(xiàng)分析知、、、四點(diǎn)共面記為平面，平面，平面，且平面，點(diǎn)，與為異面直線，同理由，選項(xiàng)的分析知、、、四點(diǎn)共面記為平面，平面，平面，且平面，點(diǎn)，與為異面直線，故與，都沒有公共點(diǎn)，選項(xiàng)正確．故選：．21．（2021?浙江）如圖，已知正方體，，分別是，的中點(diǎn)，則A．直線與直線垂直，直線平面 B．直線與直線平行，直線平面 C．直線與直線相交，直線平面 D．直線與直線異面，直線平面【解析】連接，如圖：由正方體可知，，平面，，由題意知為△的中位線，，又平面，平面，平面．對(duì)；由正方體可知與平面相交于點(diǎn)，平面，，直線與直線是異面直線，、錯(cuò)；，不與平面垂直，不與平面垂直，錯(cuò)．故選：．22．（2020?上海）在棱長為10的正方體中，為左側(cè)面上一點(diǎn)，已知點(diǎn)到的距離為3，到的距離為2，則過點(diǎn)且與平行的直線交正方體于、兩點(diǎn)，則點(diǎn)所在的平面是A． B． C． D．【解析】如圖，由點(diǎn)到的距離為3，到的距離為2，可得在△內(nèi)，過作，且于，于，在平面中，過作，交于，則平面平面．連接，交于，連接，平面平面，平面平面，平面平面，．在中，過作，且于，則．線段在四邊形內(nèi)，在線段上，在四邊形內(nèi)．則點(diǎn)所在的平面是平面．故選：．23．（2023?上海）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線異面的是A． B． C． D．【解析】對(duì)于，當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，與是相交直線；對(duì)于，根據(jù)異面直線的定義知，與是異面直線；對(duì)于，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，與是平行直線；對(duì)于，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，與是相交直線．故選：．考點(diǎn)四異面直線及其所成的角24．【多選】（2022?新高考Ⅰ）已知正方體，則A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為 C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面所成的角為【解析】如圖，連接，由，，得四邊形為平行四邊形，可得，，直線與所成的角為，故正確；，，，平面，而平面，，即直線與所成的角為，故正確；設(shè)，連接，可得平面，即為直線與平面所成的角，，直線與平面所成的角為，故錯(cuò)誤；底面，為直線與平面所成的角為，故正確．故選：．考點(diǎn)五空間中直線與平面之間的位置關(guān)系25．（2019?上海）已知平面、、兩兩垂直，直線、、滿足：，，，則直線、、不可能滿足以下哪種關(guān)系A(chǔ)．兩兩垂直 B．兩兩平行 C．兩兩相交 D．兩兩異面【解析】如圖1，可得、、可能兩兩垂直；如圖2，可得、、可能兩兩相交；如圖3，可得、、可能兩兩異面；故選：．26．【多選】（2021?新高考Ⅱ）如圖，下列正方體中，為底面的中心，為所在棱的中點(diǎn)，，為正方體的頂點(diǎn)，則滿足的是A． B． C． D．【解析】對(duì)于，設(shè)正方體棱長為2，設(shè)與所成角為，則，不滿足，故錯(cuò)誤；對(duì)于，如圖，作出平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，0，，，0，，，0，，，1，，，0，，，，，，滿足，故正確；對(duì)于，如圖，作出平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，2，，，2，，，1，，，0，，，0，，，，，，滿足，故正確；對(duì)于，如圖，作出平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，2，，，0，，，1，，，1，，，，，，0，，，不滿足，故錯(cuò)誤．故選：．考點(diǎn)六直線與平面所成的角27．（2020?山東）日晷是中國古代用來測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測(cè)定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球（球心記為，地球上一點(diǎn)的緯度是指與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)處的水平面是指過點(diǎn)且與垂直的平面．在點(diǎn)處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)處的緯度為北緯，則晷針與點(diǎn)處的水平面所成角為A． B． C． D．【解析】可設(shè)所在的緯線圈的圓心為，垂直于緯線所在的圓面，由圖可得為晷針與點(diǎn)處的水平面所成角，又為且，在中，，，另解：畫出截面圖，如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線．是點(diǎn)處的水平面的截線，由題意可得，是晷針?biāo)谥本€．是晷面的截線，由題意晷面和赤道面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得，根據(jù)線面垂直的定義可得，由于，，所以，由于，所以，也即晷針與處的水平面所成角為，故選：．28．（2021?上海）如圖，在長方體中，已知，．（1）若是棱上的動(dòng)點(diǎn)，求三棱錐的體積；（2）求直線與平面的夾角大小．【解析】（1）如圖，在長方體中，；（2）連接，，四邊形為正方形，則，又，，平面，直線與平面所成的角為，．直線與平面所成的角為．29．（2021?浙江）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，，分別為，的中點(diǎn)，，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）證明：在平行四邊形中，由已知可得，，，，由余弦定理可得，，則，即，又，，平面，而平面，，，；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，平面，又平面，平面平面，且平面平面，，且平面，平面，連接，則，在中，，，，可得，又，在中，求得，取中點(diǎn)，連接，則，可得、、兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，2，，，0，，，又為的中點(diǎn)，，，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則．故直線與平面所成角的正弦值為．30．（2020?海南）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面．設(shè)平面與平面的交線為．（1）證明：平面；（2）已知，為上的點(diǎn)，，求與平面所成角的正弦值．【解析】（1）證明：過在平面內(nèi)作直線，由，可得，即為平面和平面的交線，平面，平面，，又，，平面，設(shè)為平面中任意一條直線，則，，，由線面垂直的定義是平面；（2）解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，所在的直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，為上的點(diǎn)，，，，則，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，作，則為平面與平面的交線為，因?yàn)?，是等腰直角三角形，所以?，，則，0，，，1，，，1，，設(shè)平面的法向量為，，，則，，取，可得，0，，，，與平面所成角的正弦值為．31．（2020?上海）已知是邊長為1的正方形，正方形繞旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓柱．（1）求該圓柱的表面積；（2）正方形繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，求線段與平面所成的角．【解析】（1）該圓柱的表面由上下兩個(gè)半徑為1的圓面和一個(gè)長為、寬為1的矩形組成，．故該圓柱的表面積為．（2）正方形，，又，，，且、平面，平面，即在面上的投影為，連接，則即為線段與平面所成的角，而，線段與平面所成的角為．32．（2020?山東）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面．設(shè)平面與平面的交線為．（1）證明：平面；（2）已知，為上的點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值的最大值．【解析】（1）證明：過在平面內(nèi)作直線，由，可得，即為平面和平面的交線，平面，平面，，又，，平面，設(shè)平面中有任一直線，則直線，，直線，由線面垂直的定義得平面；（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，所在的直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系則，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，設(shè)，0，，，0，，，1，，，1，，設(shè)平面的法向量為，，，則，，取，可得，0，，，，與平面所成角的正弦值為，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，與平面所成角的正弦值的最大值為．33．（2020?浙江）如圖，在三棱臺(tái)中，平面平面，，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）證明：作，且交于點(diǎn)，面面，面，，在中，，，，，即是直角三角形，且，，面，面，，在三棱臺(tái)中，，．（Ⅱ）設(shè)，則，，在中，，，在中，，作于，，面，面，，是直角三角形，且，設(shè)與面所成角為，則即為與面的夾角，且，在中，，，．34．（2019?上海）如圖，在長方體中，為上一點(diǎn)，已知，，，．（1）求直線和平面的夾角；（2）求點(diǎn)到平面的距離．【解析】（1）依題意：平面，連接，則與平面所成夾角為，，，△為等腰三角形，，直線和平面的夾角為，（2）（空間向量），如圖建立坐標(biāo)系，則，0，，，4，，，0，，，0，，，4，，，4，，，4．，設(shè)平面的法向量，，，由，可得，1，，點(diǎn)到平面的距離．35．（2019?浙江）如圖，已知三棱柱，平面平面，，，，，分別是，的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的余弦值．【解析】方法一：證明：（Ⅰ）連接，，是的中點(diǎn)，，又平面平面，平面，平面平面，平面，，，，，，平面，．解：（Ⅱ）取中點(diǎn)，連接、，則是平行四邊形，由于平面，故，平行四邊形是矩形，由（Ⅰ）得平面，則平面平面，在平面上的射影在直線上，連接，交于，則是直線與平面所成角（或其補(bǔ)角），不妨設(shè)，則在△中，，，是的中點(diǎn)，故，，直線與平面所成角的余弦值為．方法二：證明：（Ⅰ）連接，，是的中點(diǎn)，，又平面平面，平面，平面平面，平面，如圖，以為原點(diǎn)，在平面中，過作的垂線為軸，，所在直線分別為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，，，，，，2，，，，由，得．解：（Ⅱ）設(shè)直線與平面所成角為，由（Ⅰ）得，，2，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，，直線與平面所成角的余弦值為．考點(diǎn)七二面角的平面角及求法36．（2022?浙江）如圖，已知正三棱柱，，，分別是棱，上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則A． B． C． D．【解析】正三棱柱中，，正三棱柱的所有棱長相等，設(shè)棱長為1，如圖，過作，垂足點(diǎn)為，連接，則，與所成的角為，且，又，，，，與平面所成的角為，且，，，①，再過點(diǎn)作，垂足點(diǎn)為，連接，又易知底面，底面，，又，平面，二面角的平面角為，且，又，，，，，②，又，，③，由①②③得，又，，，，在，單調(diào)遞增，，故選：．37．（2019?浙江）設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，是棱上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則A．， B．， C．， D．，【解析】方法一、如圖為的中點(diǎn)，在底面的射影為，則在底面上的射影在線段上，作于，易得，過作于，過作，交于，則，，，則，可得；，可得，方法二、由最小值定理可得，記的平面角為（顯然，由三正弦定理可得；方法三、（特殊圖形法）設(shè)三棱錐為棱長為2的正四面體，為的中點(diǎn)，易得，可得，，，當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得，，，可得，故錯(cuò)誤．故選：．38．【多選】（2023?新高考Ⅱ）已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，為底面直徑，，，點(diǎn)在底面圓周上，且二面角為，則A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為 C． D．的面積為【解析】取中點(diǎn)，則，，由二面角的定義可知，二面角的平面角即為，對(duì)于，中，由于，，則，，則，，選項(xiàng)正確．對(duì)于，，選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于，，選項(xiàng)正確．對(duì)于，，，選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．39．（2023?上海）已知直四棱柱，，，，，．（1）證明：直線平面；（2）若該四棱柱的體積為36，求二面角的大小．【解析】（1）證明：根據(jù)題意可知，，且，可得平面平面，又直線平面，直線平面；（2）設(shè)，則根據(jù)題意可得該四棱柱的體積為，，底面，在底面內(nèi)過作，垂足點(diǎn)為，則在底面內(nèi)的射影為，根據(jù)三垂線定理可得，故即為所求，在中，，，，，又，，二面角的大小為．40．（2023?新高考Ⅱ）如圖，三棱錐中，，，，為中點(diǎn)．（1）證明；（2）點(diǎn)滿足，求二面角的正弦值．【解析】證明：（1）連接，，，為中點(diǎn)．，又，，與均為等邊三角形，，，，平面，平面，．（2）解：設(shè)，，，，，，又，，平面，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，，0，，，，，，，設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，，則，令，解得，，令，解得，，故，1，，，1，，設(shè)二面角的平面角為，則，故，所以二面角的正弦值為．41．（2023?新高考Ⅰ）如圖，在正四棱柱中，，．點(diǎn)，，，分別在棱，，，上，，，．（1）證明：；（2）點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．【解析】（1）證明：根據(jù)題意建系如圖，則有：，2，，，0，，，2，，，0，，，，，又，，，四點(diǎn)不共線，；（2）在（1）的坐標(biāo)系下，可設(shè)，2，，，，又由（1）知，0，，，2，，，0，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)平面的法向量為，則，取，根據(jù)題意可得，，，，又，，解得或，為的中點(diǎn)或的中點(diǎn)，．42．（2022?浙江）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【解析】證明：由于，，平面平面，平面，平面，所以為二面角的平面角，則，平面，則．又，則是等邊三角形，則，因?yàn)?，，，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?；解：（Ⅱ）由于平面，如圖建系：于是，則，，設(shè)平面的法向量，，，則，，令，則，，平面的法向量，設(shè)與平面所成角為，則．43．（2022?新高考Ⅱ）如圖