第三章 定量數(shù)據(jù)的描述方法

1、 統(tǒng) 計 學(xué) 第3章 定量數(shù)據(jù)的描述方法苑 振 柱159-7534-9211主要內(nèi)容3.1展示數(shù)據(jù)的分布3.2定量數(shù)據(jù)的其他圖形展示3.3分布的集中位置3.4分布的離散程度3.5分布的形態(tài)度量3.6標(biāo)準(zhǔn)得分3.7利用描述方法扭曲事實3.1展示數(shù)據(jù)的分布n3.1.1 n3.1.2 箱線圖n3.1.3 散點圖3.1展示數(shù)據(jù)的分布3.1.1統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分組n2.分配數(shù)列的概念分配數(shù)列的概念 在統(tǒng)計分組的基礎(chǔ)上，將總體中的所有單在統(tǒng)計分組的基礎(chǔ)上，將總體中的所有單位按組歸類整理，并按一定順序排列，形成總位按組歸類整理，并按一定順序排列，形成總體單位數(shù)在各組間的分布，這個數(shù)列稱為體單位數(shù)在各組間的分布，這

2、個數(shù)列稱為分配分配數(shù)列數(shù)列，又稱，又稱分布數(shù)列分布數(shù)列或或次數(shù)分布次數(shù)分布 、頻數(shù)分布頻數(shù)分布。3.1展示數(shù)據(jù)的分布3.1.1統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分組3.1展示數(shù)據(jù)的分布3.1.1統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分組 3.1展示數(shù)據(jù)的分布3.1.1統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分組 3.1展示數(shù)據(jù)的分布3.1.1統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分組 222組距下限組距上限下限上限編制組距變量數(shù)列時，常常使用像“以上”或“以下”這樣不確定組限的組，成為開口組。：（1） 單項式變量數(shù)列的編制單項式變量數(shù)列的編制 編制單項式變量數(shù)列必須具備兩個條件：編制單項式變量數(shù)列必須具備兩個條件：q一是變量是離散型變量；一是變量是離散型變量；q二是變量值的個數(shù)不多。只有同時具備這兩個

3、條二是變量值的個數(shù)不多。只有同時具備這兩個條件才可采用單項變量數(shù)列形式。件才可采用單項變量數(shù)列形式。 第一，將變量值的原始資料按順序排列，一般是由小到第一，將變量值的原始資料按順序排列，一般是由小到大排列。大排列。第二，確定各組的變量值和組數(shù)。一個變量值為一組，第二，確定各組的變量值和組數(shù)。一個變量值為一組，重復(fù)出現(xiàn)的變量值只取一個。重復(fù)出現(xiàn)的變量值只取一個。 第三，整理出變量值出現(xiàn)的次數(shù)，編制單項式變量數(shù)列。第三，整理出變量值出現(xiàn)的次數(shù)，編制單項式變量數(shù)列。（2）q一是適用于連續(xù)型變量；一是適用于連續(xù)型變量；q二是離散型變量的變量值比較多。這種條件下，在編制變二是離散型變量的變量值比較多。這

4、種條件下，在編制變量數(shù)列時多數(shù)情況下采用組距數(shù)列量數(shù)列時多數(shù)情況下采用組距數(shù)列第一，將原始資料的變量值按從小到大的順序排列。第一，將原始資料的變量值按從小到大的順序排列。 第二，計算全距。全距是原始資料中最大值與最小值的差，它是確第二，計算全距。全距是原始資料中最大值與最小值的差，它是確定組數(shù)和組距的依據(jù)。定組數(shù)和組距的依據(jù)。第三，確定組距和組數(shù)。全距一定的情況下，組距和組數(shù)是相互制第三，確定組距和組數(shù)。全距一定的情況下，組距和組數(shù)是相互制約的，成反比關(guān)系。組距越大，組數(shù)越少；組距越小，組數(shù)越多。約的，成反比關(guān)系。組距越大，組數(shù)越少；組距越小，組數(shù)越多。至于是先確定組數(shù)還是先確定組距，這個問題

5、不能做統(tǒng)一規(guī)定，要至于是先確定組數(shù)還是先確定組距，這個問題不能做統(tǒng)一規(guī)定，要看具體情況?？淳唧w情況。 第四，確定組限和組限的表示方法。第四，確定組限和組限的表示方法。第五，計算各組次數(shù)，編制成組距數(shù)列。第五，計算各組次數(shù)，編制成組距數(shù)列。分配數(shù)列的編制(例題分析)次數(shù)分配表3.1展示數(shù)據(jù)的分布3.1.2直方圖(histogram)用矩形的寬度和高度來表示頻數(shù)分布的圖形，實際上是用矩形的面積面積來表示各組的頻數(shù)分布；在直角坐標(biāo)中，用橫軸表示數(shù)據(jù)分組，縱軸表示頻數(shù)或頻率，各組與相應(yīng)的頻數(shù)就形成了一個矩形，即直方圖；直方圖下的總面積等于1。分組數(shù)據(jù)的圖示(直方圖的繪制) 我一眼就看出我一眼就看出來了

6、，周加工來了，周加工零件在零件在100110之間的人之間的人數(shù)最多數(shù)最多!8090100110120130048123.1展示數(shù)據(jù)的分布3.1.3頻數(shù)折線圖(frequency polygon)頻數(shù)折線圖也稱頻數(shù)多邊形圖、折線圖；是在直方圖的基礎(chǔ)上，把直方圖頂部的中點(組中值)用直線連接起來，再把原來的直方圖抹掉；折線圖的兩個終點要與橫軸相交，具體的做法是：q第一個矩形的頂部中點通過豎邊中點（即該組頻數(shù)一半的位置）連接到橫軸，最后一個矩形頂部中點與其豎邊中點連接到橫軸；q折線圖下所圍成的面積與直方圖的面積相等，二者所表示的頻數(shù)分布是一致的；809010011012013004812分組數(shù)據(jù)的圖

7、示(折線圖的繪制)折線圖與直方圖折線圖與直方圖下的面積相等！下的面積相等！ 次數(shù)分配的類型3.1展示數(shù)據(jù)的分布3.1.4莖葉圖(stem-and-leaf plot)用于顯示未分組的原始數(shù)據(jù)的分布；用于顯示未分組的原始數(shù)據(jù)的分布；由由“莖莖”和和“葉葉”兩部分構(gòu)成，其圖形是由數(shù)字組兩部分構(gòu)成，其圖形是由數(shù)字組成的；成的；以該組數(shù)據(jù)的高位數(shù)值作樹莖，低位數(shù)字作樹葉；以該組數(shù)據(jù)的高位數(shù)值作樹莖，低位數(shù)字作樹葉；樹葉上只保留一位數(shù)字；樹葉上只保留一位數(shù)字；莖葉圖類似于橫置的直方圖，但又有區(qū)別：莖葉圖類似于橫置的直方圖，但又有區(qū)別：q直方圖可觀察一組數(shù)據(jù)的分布狀況，但沒有給出直方圖可觀察一組數(shù)據(jù)的分布

8、狀況，但沒有給出具體的數(shù)值；具體的數(shù)值；q莖葉圖既能給出數(shù)據(jù)的分布狀況，又能給出每一莖葉圖既能給出數(shù)據(jù)的分布狀況，又能給出每一個原始數(shù)值，保留了原始數(shù)據(jù)的信息；個原始數(shù)值，保留了原始數(shù)據(jù)的信息；莖葉圖(例題分析)莖葉圖(擴(kuò)展的莖葉圖)3.1展示數(shù)據(jù)的分布3.1.5累計頻數(shù)分布(cumulative frequency distribution)洛倫茨曲線 20世紀(jì)初美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家、統(tǒng)計學(xué)家洛倫茨(M.E. Lorentz)根據(jù)意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家巴雷特(V. Pareto)提出的收入分配公式繪制而成； 描述收入和財富分配性質(zhì)的曲線分析該國家或地區(qū)分配的平均程度。 AB基尼系數(shù) 1.20世紀(jì)初意大利經(jīng)濟(jì)

9、學(xué)家基尼(G. Gini)根據(jù)洛倫茨曲線給出了衡收入分配平均程度的指標(biāo)；2.A表示實際收入曲線與絕對平均線之間的面積；3.B表示實際收入曲線與絕對不平均線之間的面積；4.如果A=0，則基尼系數(shù)=0，表示收入絕對平均；5.如果B=0，則基尼系數(shù)=1，表示收入絕對不平均；6.基尼系數(shù)在0 和1之間取值；7.一般認(rèn)為，基尼系數(shù)若小于0.2，表明分配平均；基尼系數(shù)在0.2至0.4之間是比較適當(dāng)?shù)模匆粋€社會既有效率又沒有造成極大的分配不公；基尼系數(shù)在0.4被認(rèn)為是收入分配不公平的警戒線，超過了0.4應(yīng)該采取措施縮小這一差距。 AB3.2定量數(shù)據(jù)的其他圖形表示n3.2.1 線圖n3.2.2 箱線圖n3.

10、2.3 散點圖3.2定量數(shù)據(jù)的其他圖形表示3.2.1線圖(line chart)時間序列圖（time series plot）反應(yīng)某些指標(biāo)或變量隨時間的變化趨勢。反應(yīng)某些指標(biāo)或變量隨時間的變化趨勢。3.2定量數(shù)據(jù)的其他圖形表示3.2.2箱線圖(box plot)用于顯示未分組的原始數(shù)據(jù)的分布；箱線圖由一組數(shù)據(jù)的5個特征值繪制而成，它由一個箱子和兩條線段組成；箱線圖的繪制方法：箱線圖的繪制方法：p首先找出一組數(shù)據(jù)的5個特征值，即最最大值大值、最小值最小值、中位數(shù)中位數(shù)Me和兩個四分四分位數(shù)位數(shù)(下四分位數(shù)QL和上四分位數(shù)QU）；p連接兩個四分（位）數(shù)畫出箱子，再將兩個極值點與箱子相連接 。箱線圖

11、(箱線圖的構(gòu)成)(例題分析)30個工人產(chǎn)量排序：84 85 88 91 91 94 95 96 97 99 101 101 103 105 105 105 106 106 106 106 107 107 109 110 111 111 118 119 121 128箱線圖(例題分析)排序后，第8個數(shù)據(jù)排序后，第23個數(shù)據(jù)分布的形狀與箱線圖未分組數(shù)據(jù)多批數(shù)據(jù)箱線圖 (例題分析)11名學(xué)生各科的考試成績數(shù)據(jù)名學(xué)生各科的考試成績數(shù)據(jù)課程名稱課程名稱學(xué)生編號學(xué)生編號1234567891011英語英語經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)西方經(jīng)濟(jì)學(xué)西方經(jīng)濟(jì)學(xué)市場營銷學(xué)市場營銷學(xué)財務(wù)管理財務(wù)管理基礎(chǔ)會計學(xué)基礎(chǔ)會計學(xué)統(tǒng)計學(xué)統(tǒng)計學(xué)

12、計算機(jī)應(yīng)用基礎(chǔ)計算機(jī)應(yīng)用基礎(chǔ)76659374687055859095818775739178975176857092688171748869846573957078669073788470936379806087816786918377769070828382928481706972787578918866948085718674687962818155787075687177未分組數(shù)據(jù)多批數(shù)據(jù)箱線圖(例題分析)min-max25%-75%median value455565758595105學(xué)生1學(xué)生2學(xué)生3學(xué)生4學(xué)生5學(xué)生6學(xué)生7學(xué)生8學(xué)生9學(xué)生10學(xué)生11未分組數(shù)據(jù)多批數(shù)據(jù)箱線圖(例題分

13、析) 3.2定量數(shù)據(jù)的其他圖形表示3.2.3散點圖(scatter plot)描述兩個變量之間的關(guān)系價格銷售量3.3分布的集中趨勢n3.3.1 眾數(shù)n3.3.2 中位數(shù)n3.3.3 均值n3.3.4 眾數(shù)、中位數(shù)、均值之間的關(guān)系n3.3.5 幾何平均數(shù)n3.3.6 切尾均值n3.3.7 分位數(shù)3.3.1眾數(shù)(mode)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值；一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值；適合于數(shù)據(jù)量較多時使用；適合于數(shù)據(jù)量較多時使用；不受極端值的影響；不受極端值的影響；一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個眾數(shù)；一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個眾數(shù)；主要用于分類數(shù)據(jù)，也可用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)主要用于分類數(shù)據(jù)，也可用于

14、順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)。值型數(shù)據(jù)。眾數(shù)n無眾數(shù)無眾數(shù)原始數(shù)據(jù): 10 5 9 12 6 83.3.2中位數(shù)(median)1.排序后處于中間位置上的值；中位數(shù)(位置的確定)數(shù)值型數(shù)據(jù)的中位數(shù) (9個數(shù)據(jù)的算例)n【例】【例】 9個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)n原始數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù): 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630n排排 序序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000n位位 置置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9數(shù)值型數(shù)據(jù)的中位數(shù) (10個數(shù)據(jù)的算例)n【例】：【例】：10個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)n排排 序序: 66

15、0 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000n位位 置置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.3.3均值（mean）1.集中趨勢的最常用測度值；2.一組數(shù)據(jù)的均衡點所在；3.體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的必然性特征；4.易受極端值的影響；5.用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不能用于分類數(shù)據(jù)和順序數(shù)據(jù)。1、簡單均值(simple mean) 3.3.3均值（mean）2、加權(quán)均值(weighted mean)3.3.3均值（mean）加權(quán)均值 (例題分析)n (數(shù)學(xué)性質(zhì))n1. 各變量值與均值的離差之和等于零3.3.3均值（mean）3.3.4眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系眾數(shù)、中位

16、數(shù)、均值的特點和應(yīng)用1.眾數(shù)q不受極端值影響q具有不惟一性q數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時應(yīng)用2.中位數(shù)q不受極端值影響q數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時應(yīng)用3.均值q易受極端值影響q數(shù)學(xué)性質(zhì)優(yōu)良q數(shù)據(jù)對稱分布或接近對稱分布時應(yīng)用1. n 個變量值乘積的個變量值乘積的 n 次方根次方根2.適用于對比率數(shù)據(jù)的平均適用于對比率數(shù)據(jù)的平均3.主要用于計算平均增長率主要用于計算平均增長率4.計算公式為：計算公式為：3.3.5幾何平均數(shù)(geometric mean)幾何均值 (例題分析) 【例】【例】一位投資者購持有一種股票，在2000年、2001年、2002年和2003年收益率分別為4.5%、2.1%、25.5%、1

17、.9%。計算該投資者在這四年內(nèi)的平均收益率 ？3.3.6切尾均值(trimmed Mean)1. 去掉大小兩端的若干數(shù)值后計算中間數(shù)據(jù)的均值；2. 在電視大獎賽、體育比賽及需要人們進(jìn)行綜合評價的比賽項目中已得到廣泛應(yīng)用；3. 計算公式為： (1)(2)(3)(4)(5)(6), , , , , ,9.20, 9.20, 9.22, 9.24, 9.25, 9.25,xxxxxx切尾均值(例題分析)【例】【例】謀次比賽共有11名評委，對某位歌手的給分分別是： 123456, , , , , ,9.22,9.25,9.20,9.30,9.65,9.30,xxxxxx7891011, , , , 9

18、.27,9.20,9.28,9.25,9.24xxxxx(7)(8)(9)(10)(11), , , , 9.27, 9.28, 9.30, 9.30, 9.65xxxxx 3.3.7分位數(shù)（quantile）n上四分位數(shù)（75%分位數(shù)）：意味著有3/4的數(shù)據(jù)值小于它，1/4的數(shù)據(jù)值大于它。n下四分位數(shù)（25%分位數(shù)）意味著有1/4的數(shù)據(jù)值小于它，3/4的數(shù)據(jù)值大于它。n中位數(shù)（0.5分位數(shù)，50%分位數(shù)，50百分位數(shù)）四分位數(shù)(quartile)1.排序后處于25%和75%位置上的值四分位數(shù)(位置的確定)數(shù)值型數(shù)據(jù)的四分位數(shù) (9個數(shù)據(jù)的算例)n【例】【例】：9個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)n原始數(shù)

19、據(jù)原始數(shù)據(jù): 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630n排排 序序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000n位位 置置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9數(shù)值型數(shù)據(jù)的四分位數(shù) (10個數(shù)據(jù)的算例)n【例】：【例】：10個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)n排排 序序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000n位位 置置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.3.4分布的離散程度n3.4.1 極差和四分位數(shù)間距n3.4.2 方差和標(biāo)準(zhǔn)差n3.4.3 均值的標(biāo)準(zhǔn)差n3

20、.4.4 變異系數(shù)3.4.1 極差和四分位數(shù)間距n極差(range)1.一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差；一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差；2.離散程度的最簡單測度值；離散程度的最簡單測度值；3.易受極端值影響；易受極端值影響；4.未考慮數(shù)據(jù)的分布；未考慮數(shù)據(jù)的分布；5. 計算公式為：計算公式為：3.4.1 極差和四分位數(shù)間距n四分位數(shù)間距(Inter-Quartile Range,IQR) 1. 也稱四分位（極）差、內(nèi)距；也稱四分位（極）差、內(nèi)距；2. 上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差：上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差：q 內(nèi)內(nèi) 距距= QU QL3. 反映了中間反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度；數(shù)據(jù)的離散程度；

21、4. 不受極端值的影響；不受極端值的影響；5. 可用于衡量中位數(shù)的代表性。可用于衡量中位數(shù)的代表性。去掉最小的25%的數(shù)據(jù)與最大的25%的數(shù)據(jù)，所剩中間部分的極差。3.4.2 方差和標(biāo)準(zhǔn)差n平均差是總體中平均差是總體中各單位標(biāo)志值對其算術(shù)平各單位標(biāo)志值對其算術(shù)平均數(shù)均數(shù)離差離差的絕對值的算術(shù)平均數(shù)，也叫平的絕對值的算術(shù)平均數(shù)，也叫平均離差。均離差。nxxD|補(bǔ)充的概念：例如：某工廠某車間兩個班組工人的每人日產(chǎn)某種零件數(shù)，未例如：某工廠某車間兩個班組工人的每人日產(chǎn)某種零件數(shù)，未 經(jīng)分經(jīng)分組的資料見下表，求平均差。組的資料見下表，求平均差。n平均差計算表平均差計算表第一組（第一組（x=60）第二組

22、（第二組（x=60）日產(chǎn)數(shù)日產(chǎn)數(shù)離差離差離差絕對值離差絕對值日產(chǎn)數(shù)日產(chǎn)數(shù)離差離差離差絕對值離差絕對值xX20-404050-101025-353551-9930-303052-8835-252553-7750-101056-44701010600075151562228525257111119030307212121206060731313合計合計280合計合計76xx xx xx xx 補(bǔ)充的概念：n經(jīng)計算第一組的平均差為：經(jīng)計算第一組的平均差為：nD=28（件）（件）n經(jīng)計算第二組的平均差為：經(jīng)計算第二組的平均差為：nD=7.6（件）（件）n 上述計算結(jié)果表明，第一組和第二組兩組工人的上述

23、計算結(jié)果表明，第一組和第二組兩組工人的平均日產(chǎn)量雖然都是平均日產(chǎn)量雖然都是60件，但是，因為第一組的平均件，但是，因為第一組的平均差（差（28件）比第二組的平均差（件）比第二組的平均差（7.6件）大，所以，第件）大，所以，第一組的平均數(shù)代表性就小于第二組的代表性。一組的平均數(shù)代表性就小于第二組的代表性。補(bǔ)充的概念：方差和標(biāo)準(zhǔn)差(Variance and Standard deviation)n方差是總體各單位標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方的算方差是總體各單位標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)，以術(shù)平均數(shù)，以2表示。表示。n方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差，也稱均方差，以方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差，也稱均

24、方差，以表示。表示。標(biāo)準(zhǔn)差的計算步驟是：標(biāo)準(zhǔn)差的計算步驟是： 第一，計算各單位標(biāo)志值對算術(shù)平均數(shù)的離差；第一，計算各單位標(biāo)志值對算術(shù)平均數(shù)的離差； 第二，把各個離差值加以平方；第二，把各個離差值加以平方； 第三，計算這些離差平方的算術(shù)平均數(shù)即方差；第三，計算這些離差平方的算術(shù)平均數(shù)即方差； 第四，再把這個方差開平方，即得標(biāo)準(zhǔn)差。第四，再把這個方差開平方，即得標(biāo)準(zhǔn)差。其計算公式依據(jù)掌握資料的實際情況不同也分為簡單式標(biāo)準(zhǔn)其計算公式依據(jù)掌握資料的實際情況不同也分為簡單式標(biāo)準(zhǔn)差（未分組）與加權(quán)式標(biāo)準(zhǔn)差（分組）兩種。差（未分組）與加權(quán)式標(biāo)準(zhǔn)差（分組）兩種。方差和標(biāo)準(zhǔn)差(Variance and Stan

25、dard deviation)1. 離散程度的測度值之一；2. 最常用的測度值；3. 反映了數(shù)據(jù)的分布；4.反映了各變量值與均值的平均差異； 根據(jù)總體數(shù)據(jù)計算的，稱為總體方差或標(biāo)準(zhǔn)差；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的，稱為樣本方差或標(biāo)準(zhǔn)差。總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差 (Population variance and Standard deviation)未分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差 (simple variance and standard deviation)未分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：未

26、分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：注意：注意：樣本方差用自樣本方差用自由度由度n-1去除去除!樣本方差自由度(degree of freedom)1.一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的數(shù)據(jù)的個數(shù)；一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的數(shù)據(jù)的個數(shù)；2.當(dāng)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)的個數(shù)為樣本數(shù)據(jù)的個數(shù)為 n 時，若樣本均值時，若樣本均值 x 確定后確定后,只有只有n-1個數(shù)據(jù)可以自由取值，其中必有一個數(shù)據(jù)則不能自個數(shù)據(jù)可以自由取值，其中必有一個數(shù)據(jù)則不能自由取值；由取值；3.例例如，樣本有如，樣本有3個數(shù)值，即個數(shù)值，即x1=2，x2=4，x3=9，則則 x = 5。當(dāng)當(dāng) x = 5 確定后，確定后，x1，x2和和x3有兩個數(shù)據(jù)可

27、以自由取值，有兩個數(shù)據(jù)可以自由取值，另一個則不能自由取值，比如另一個則不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么，那么x3則必則必然取然取2，而不能取其他值；而不能取其他值；4.樣樣本方差用自由度去除，其原因可從多方面解釋，從實本方差用自由度去除，其原因可從多方面解釋，從實際應(yīng)用角度看，在抽樣估計中，當(dāng)用樣本方差去估計總際應(yīng)用角度看，在抽樣估計中，當(dāng)用樣本方差去估計總體方差體方差2時，它是時，它是2的無偏估計量。的無偏估計量。3.4.3均值的標(biāo)準(zhǔn)差（standard error of mean）n多個樣本的多個均值的標(biāo)準(zhǔn)差;n也稱標(biāo)準(zhǔn)誤差,(standard error, s.e.);標(biāo)準(zhǔn)差和

28、標(biāo)準(zhǔn)誤差的區(qū)別：標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)誤差的區(qū)別：標(biāo)準(zhǔn)差僅需要一個樣本的數(shù)據(jù)；標(biāo)準(zhǔn)誤差需要多個樣本。標(biāo)準(zhǔn)差僅需要一個樣本的數(shù)據(jù)；標(biāo)準(zhǔn)誤差需要多個樣本?？梢詮囊粋€樣本的數(shù)據(jù)估計標(biāo)準(zhǔn)誤差：可以從一個樣本的數(shù)據(jù)估計標(biāo)準(zhǔn)誤差：樣本容量為n3.4.4變異系數(shù)(coefficient of variation)n1. 標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比；n2.對數(shù)據(jù)相對離散程度的測度；n3.消除了數(shù)據(jù)水平高低和計量單位的影響；n4. 用于對不同組別數(shù)據(jù)離散程度的比較；n5. 計算公式為：CV=兩種情況3.4.4變異系數(shù)(coefficient of variation)n標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值的大小，不僅受標(biāo)志值離散程標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值的大小，不僅受標(biāo)志值離散程度大小的影響，而且還受標(biāo)志值水平高低度大小的影響，而且還受標(biāo)志值水平高低的影響。的影響。n因此，為了對比分析不同水平的兩