最新有理數的概念知識點歸納及練習題

1、精品文檔有理數的概念知識梳理有理數的概念 一、目標認知學習目標：了解正數、負數、有理數的概念，會用正數和負數表示相反意義的量。掌握一個數的相反 數的求法和性質，學習使用數軸，借助數軸理解相反數的幾何意義，會借助數軸比較有理數的 大小。掌握一個數的絕對值的求法和性質，進一步學習使用數軸，借助數軸理解絕對值的幾何 意義。重點：有理數的概念及其分類， 相反數的概念及求法，絕對值的概念及求法， 數軸的概念及應用； 有理數比較大小難點：絕對值的概念及求法，尤其是用字母表示的時候的意義。運用數軸理解絕對值的幾何意 義。有理數比較大小的方法的掌握。二、知識要點梳理知識點一：負數的引入要點詮釋：正數和負數是根

2、據實際需要而產生的，隨著社會的發(fā)展，小學學過的自然數、分數和小數已不能滿足實際的需要，比如一些有相反意義的量：收入200元和支出100元、零上6C和零下6C等等，它們不但意義相反，而且表示一定的數量，怎樣表示它們呢？我們把一種意義的 量規(guī)定為正的，把另一種和它意義相反的的量規(guī)定為負的，這樣就產生了正數和負數。用正數和負數表示具有相反意義的量時，哪種意義為正，是可以任意選擇的，但習慣把“前進、上升、收入、零上溫度”等規(guī)定為正，而把“后退、下降、支出、零下溫度”等規(guī)定為負。知識點二：正數和負數的概念要點詮釋：(1) 像3、1.5、584等大于0的數，叫做正數，在小學學過的數，除 0以外都是正數，正

3、數比0大。(2) 像一3、-1.5 > 、-584等在正數前面加“一”(讀作負)號的數，叫做負數。負數比 0 小。(3) 零既不是正數也不是負數，零是正數和負數的分界。注意：(1) 為了強調，正數前面有時也可以加上“ + ” (讀作正)號，例如：3、1.5、 也可以寫作+ 3、+1.5、+ 。(2) 對于正數和負數的概念，不能簡單理解為：帶“ + ”號的數是正數，帶“-”號的數是負數。例如：a 定是負數嗎？答案是不一定。因為字母 a可以表示任意的數，若a表示的是正數，則a是負數；若a表示的是0,則a仍是0；當a表示負數時，a就不是負數了(此時a是正數)。知識點三：有理數的有關概念要點詮釋

4、：1>有理數：整數和分數統(tǒng)稱為有理數。注：(1)有時為了研究的需要，整數也可以看作是分母為1的數，這時的分數包括整數。但是本節(jié)中的分數不包括分母是1的分數。(2) 因為分數與有限小數和無限循環(huán)小數可以互化，上述小數都可以用分數來表示，所以我們把有限小數和無限循環(huán)小數都看作分數。(3) “0”即不是正數，也不是負數，但“0”是整數。2、整數包括正整數、零、負整數。例如： 1、2、3、0、一1、一2、一3等等。3、分數包括正分數和負分數，例如： 、0.6、 0.6等等。知識點四：有理數的分類要點詮釋：1>按整數、分數的關系分類：2、按正數、負數與0的關系分類：注：通常把正數和0統(tǒng)稱為非

5、負數，負數和 0統(tǒng)稱為非正數，正整數和 0稱為非負整數(也 叫做自然數)，負整數和 0統(tǒng)稱為非正整數。如果用字母表示數，則a>0表明a是正數；a<0表明a是負數；a 0表明a是非負數；a 0表明a是非正數。知識點五：數軸的概念要點詮釋：精品文檔規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸數軸的定義包含三層含義：（1）數軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；（2）數軸有三要素一一原點、正方向、單位長度，三者缺一不可；（3）原點的選定、正方向的取向、單位長度大小的確定，都是根據實際需要“規(guī)定”的（通常取向右為正方向）。知識點六：數軸的畫法要點詮釋：1、畫一條直線（一般畫成水平的直線）。2、在

6、直線上選取一點為原點，并用這點表示零（在原點下面標上“0”）。3、確定正方向（一般規(guī)定向右為正），用箭頭表示出來。4、選取適當的長度作為單位長度，從原點向右，每隔一個單位長度取一點，依次表示為1, 2,3；從原點向左，每隔一個單位長度取一點，依次表示為1 , - 2, -3注：（1）原點的位置、單位長度的大小可根據實際情況適當選?。唬?）確定單位長度時，根據實際情況，有時也可以每隔兩個（或更多的）單位長度取一點，從原點向右，依次表示為 2, 4, 6,；從原點向左，依次表示為2, -4, - 6,；知識點七：數軸上的點與有理數的關系所有的有理數都可以用數軸上的點表示出來，反過來，不能說數軸上所

7、有的點都表示有理數。要點詮釋：正有理數可以用原點右邊的點表示，負有理數可以用原點左邊的點表示，零用原點表示。知識點八：利用數軸比較有理數的大小要點詮釋：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。正數都大于0;負數都小于0;正數大于一切負數。知識點九：相反數的概念1、相反數的幾何定義：在數軸上原點的兩旁，到原點距離相等的兩個點所表示的數，叫做互 為相反數。2、相反數的代數定義：只有符號不同的兩個數（除了符號不同以外完全相同），我們說其中 一個是另一個的相反數，0的相反數是0o要點詮釋：(1) “只”字是說僅僅是符號不同，其它部分完全相同；(2)相反數是數，不是量；(3)相反數是成對出現的。知

8、識點十：相反數的表示方法要點詮釋：一般地，數 a的相反數是ao這里a表示任意的一個數，可以是正數、負數、或 者Oo知識點十一：多重符號的化簡把多重符號化成單一符號，如果是正號，則可以省略不寫，實際上，多重符號的化簡是由 的個數來定，若“個數為偶數個時，化簡結果為正，女口.-(-4)=4；若個數為奇數個時，化簡結果為負，女口 -+-(-4)=-4。要點詮釋：1、在一個數的前面添上一個“ + ”號，仍然與原數相同，如+ 5=5, + ( 5) =- 5o2、在一個數的前面添上一個“”號，就成為原數的相反數。如 (3)就是3的相反數， 因此，一(一3) = 3o知識點十二：絕對值的概念要點詮釋：1、

9、絕對值的幾何定義：一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離，數 a的絕對值記作“”2、絕對值的代數定義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是Oo即知識點十三：兩個負數大小的比較要點詮釋：因為兩個負數在數軸上的位置關系是：絕對值較大的負數一定在絕對值較小的負數的左 邊，所以，兩個負數，絕對值大的反而小。比較兩個負數大小的方法是：一、先分別求出這兩 個負數的絕對值；二、比較這兩個絕對值的大小；三、根據“兩個負數，絕對值大的反而小” 做出正確的判斷。精品文檔精品文檔知識點十四：有理數大小的比較法則要點詮釋： 正數都大于0,負數都小于0,正數大于一切負數，兩個

10、負數，絕對值大的反而小。三、規(guī)律方法指導有理數與小學所學的數，主要區(qū)別在于負數。有理數可以用數軸上的點來表示，任何一個 有理數都能在數軸上找到表示它的位置，而是唯一確定的點。數軸上的點可以表示三類數。在 數軸上表示零的點稱做原點，以這個點為界，正有理數（正整數、正分數）用原點右邊的點來 表示；負有理數（負整數、負分數）用原點左邊的點來表示，這就說明，數軸是有方向的。由于數軸規(guī)定了方向，因而在數軸上排列著的數就是有順序的。從左到右一個數比一個數 大。即數軸上表示的數，右邊的總比左邊的大。在數軸上，原點左、右兩邊距離原點等遠的點所表示的有理數，它們只有符號不同，這樣 的一對數稱為互為相反數。如果數

11、軸上的點只考慮它到原點的距離，而不考慮它的正、負方向的數，則表示這個有理 數的絕對值。經典例題透析類型一：有理數分類的問題例仁 請把下列各數填入它所屬于的集合的大括號里。1,0.0708, -700, -3.88, 0,3.14159265,.正整數集合：負整數集合:整數集合：正分數集合:負分數集合:分數集合:思路點撥：這種關于有理數的分類問題，關鍵是要掌握各種數的概念。小學時所學的自然數就是正整數和零，進入中學，出現了負整數，而整數的范圍就擴大到了正整數、零和負整數。有限小數 和無限循環(huán)小數都可以寫成分數的形式，因此，它們都是分數。解析：正整數：1;負整數：-700 ;整數：1 , 0, -

12、700 ;正分數：0.0708, 3.14159265 ,;負分數：-3.88 ,;分數：0.0708 , 3.14159265 , -3.88 ,總結升華：精品文檔有理數包括整數和分數，分數包含有限小數和無限循環(huán)小數，但須注意的是，不是所有的 小數都是分數，比如 兀等。所以，我們也不能說小學學過的所有數都是有理數，還有一部分 數不是有理數，那么這部分數我們將在今后學習研究。舉一反三：【變式1在數-100, 70.8, -7,% , -3.8, 0,中，不是分數的是 ；不是小數的是；不是有理數的是(B)不是正數的數一定是負數(D)0不是最小的有理數【變式2】下列四種說法，正確的是 (A)所有的

13、正數都是整數(C)正有理數包括整數和分數 類型二：正負數的概念例2：若把向北走7km記為7km,則+ 10km表示的含義是()A.向北走10kmB.向西走10kmC.向東走10kmD.向南走10km思路點撥："正"和"負"相對，-7km表示向北走7km,則+ 10km表示向南走10 km. 答案：D丿總結升華：在一對具有相反意義的量中，若先規(guī)定一個為正，則另一個就用負表示；若先規(guī)定一個為負，則另一個就用正表示。舉一反三：【變式】(1)如果收入300元記作+300元，那么支出500元用 表示，0元表示 若購進50本書，用-50本表示，則盈利30元如何表示？

14、類型三：與數軸相關的問題例3:數軸上有一點到原點的距離是5.5 ,那么這個點表示的數是 .思路點撥：到原點的距離等于5.5的點既可以在原點左邊，也可以在原點右邊，因此這樣的點有兩個。 解析：5.5 或-5.5丿總結升華：與數軸相關的問題還有數軸的畫法以及借助數軸來比較有理數的大小。精品文檔例4:如右圖所示，數軸的一部分被墨水污染了，被污染的部分內含有的整數為思路點撥：數軸上的點表示的數右邊的比左邊的大。因此，被污染的部分的數大于-1.3 ,小于2.6 ,再考慮這一范圍內的整數即可。解析：-1,0,1,2丿總結升華：利用數軸解決問題是數形結合數學思想的的一個重要應用，要能由“形”看出“量”的一些

15、關系。舉一反三：【變式11 實數在數軸上表示如圖所示，則下列結論錯誤的是()A.B.C.D.【變式2一個點從數軸的原點開始，先向右移動3個單位長度，再向左移動5個單位長度，則終點表示的 數是.【變式3數軸上點A對應的數為-3,那么與A相距1個長度的點B所對應的數是 .類型四：與相反數相關的問題例5: ( 1) 的相反數是 , 3與互為相反數(2) 的相反數是 ,的相反數是 ，的相反數是 . (3) 0的相反數是(4)已知 那么 的相反數是.已知，則a的相反數是 .思路點撥：(1) 代數意義：只有符號不同的兩個數互為相反數，特別地，O的相反數是0.相反數必須成對出現，不能單獨存在.例如 +5和5

16、互為相反數，或者說+5是5的相反數，5是+5的 相反數，而單獨的一個數不能說是相反數.另外，定義中的“只有”指除符號以外，兩個數完 全相同，注意應與“只要符號不同”區(qū)分開.例如+3與3互為相反數，而+3與2雖然符號不同，但它們不是相反數.(2) 幾何意義：一對相反數在數軸上應分別位于原點兩側，并且到原點的距離相等.這兩 點是關于原點對稱的.(3) 求任意一個數的相反數，只要在這個數的前面添上“一”號即可.一般地，數a的相反數是-a；這里以a表示任意一個數，可以為正數、0、負數，也可以是任意一個代數式.注意a不一定是負數.注意：當a>0時，一a<0(正數的相反數是負數);當a=O時，

17、a=O(0的相反數是0);當avO時，a >0(負數的相反數是正數).(4) 互為相反數的兩個數的和為零，即若 a與b互為相反數，貝U a+b=O,反之，若a+b=O,則 a與b互為相反數.(5) 多重符號的化簡：一個正數前面不管有多少個“ + ”號，都可以全部去掉；一個正數 前面有偶數個“”號，也可以把“”號全部去掉；一個正數前面有奇數個“”號，則化 簡后只保留一個“-”號，既“奇負偶正”(其中“奇偶”是指正數前面的“-”號的個數的 奇偶數，“負正”是指化簡的最后結果的符號)解析：(1), 3;(2) m,-(-m+1),-(m+1); (3) 0 -9, 9丿總結升華：求相反數時，要

18、緊緊抓住“只有符號不同”這一條件，即“符號不同而數字 相同”的兩個數。舉一反三：【變式11(1) 一個數的相反數的倒數是-4,這個數是.(2) 如果 與-3互為相反數，那么 等于()A. 3B. -3C.D.類型五：與絕對值相關的問題 例6: 的絕對值是.思路點撥：(1) 取絕對值也是一種運算，這個運算符號是“”，求一個數的絕對值，就是根據性質去掉絕對值符號(2) 絕對值具有非負性，取絕對值的結果總是正數或0.(3) 任何一個有理數都是由兩部分組成：符號和它的絕對值，女口： -5,符號是負號，絕精品文檔對值是5.解析：總結升華：絕對值符號具有括號的功能，根據絕對值的意義去掉絕對值符號即可舉一反

19、三：【變式1】已知I x I =4 , I y I =6,求代數式I x+y I的值. 有理數的概念課后練習、選擇題：C正整數和負整數統(tǒng)稱為整數；9、下面兩個數互為相反數的是()丄1A 2 和 0.2B、3 和0.333D、整數和分數統(tǒng)稱為有理數2-2.75 和 410、一個數的絕對值大于它本身，那么這個數是()A、正有理數B、負有理數D、9 和一(一9)C、零D、不可能11、a是一個有理數，那么-a ()1 .若一個數的絕對值大于零，這個數一定是()(A)正數 (B)任意有理數(C非零數 (D負數2 在有理數中，下面說法正確的是()(A)有最小的數(B)有最大的數A、負數；B、正數；C、零;

20、12、已知數軸上表示一D、以上都可能2和一101的兩個點分別為A，B,那么A，B兩點間的距離等于(C)沒有最小的數，也沒有最大的數(D以上答案都不對3下面四句話中錯誤的是()(A)負分數一定是負有理數(B)分數中除正分數就是負分數(C) a的相反數是-a( D)有理數中除了正數就是負數4 下列說法正確的是()(A)帶有“-”的數是負數(B)任何數的絕對值都是正(C)任何負數都小于它的相反數(D) 一個數的相反數一定是負數5.一個數的絕對值一定是()(A)正數 (E)負數 (C)非正數 (D)非負數6有理數a，b，c在數軸上的位置如圖，下列結論錯誤的是()(A) cv b v a ( B) a-

21、b> 0 (C) bv 0，cv 0 ( D) c> b(A) 99( B) 100( C) 102( D) 10313、數軸上原點及左邊的點表示的數是()A、負數； B、正數；C、非負數；D 、非正數；14、互為相反數”是指()A、一個正數，一個負數； B 、一個數前面添加上-”號所得的數；C數軸上原點兩旁的兩個點所表示的兩個數；D、只有符號不同的兩個數，且0的相反數是0;15、如果a+b=0，那么一定有()A a=0且 b=0 ； B、a=0或 b=0 ； C、a、b異號；D、a、b互為相反數；16、以下四個推理中，正確的是()A、如果 |a|=|b| ，那么 a=b； B 、

22、如果 |a|=b， 那么 a=b；C 如果 a=-b，那么 |a|=|b| ； D 、如果 |a|=b，那么 a=-b ；二.填空題：1. -2.5的相反數是 ，絕對值是 。2最小的正整數是 ，最大的負整數是 ，絕對值最小的數是7、下列說法中，正確的是(A、一個數不是正數就是負數；C、零是最小的有理數；D8、下列說法中，正確的是(A、非負有理數就是正有理數；)B 、正有理數和負有理數組成全體有理數;、零既不是正數，也不是負數，但零是整數)B 、零表示沒有，不是有理數；3在有理數-3, 0，3.1416，- (-7)，中，屬于負數集的是 屬于正分數集的是 ，屬于整數集的是 4卜7|=，| |=

23、on5.化簡-卜(-2002) =，- (-3.14) =，精品文檔精品文檔負分數集合：非負數集合：非正數集合：2.把下列各數表示在數軸上，并比較他們-3 ， 1/2，0.，3，. -2.56. a的相反數是-11,那么 。若3是x的相反數，那么x=3 X (-x) =o5的大小7 相反數大于-4的正整數是，絕對值不大于2的整數是8 一個數的絕對值與它的相反數相等，這個數為 ，一個數的相反數大于它的本身，這個數為o9 若兩個數的絕對值相等，這兩個數可能是 o10.若一個數的相反數不小于零，那么這個數為o10 .若 |-m|=- (-0.3)，那么 m=。11、 在數軸上點B表示數-3,那么與B點相距4個單位長度的點表示的數是 o3、( 1)寫出絕對值大于3而小于8的所有有理數。12、儀表的指針順時針方向旋轉 90°己作-90 °那么逆時針旋轉180°應記作 .13、 說明下面一段話的意義：汽車先前進+50米，再前進-30米，即 o14、 數軸上表示互為相反數的兩個點之間的距離是6,則這兩個數為 4、計算：(1) |-15|-|-6|(2