內(nèi)積空間和希爾伯特空間PPT課件

1、教學(xué)目標(biāo):1、掌握內(nèi)積空間和希爾伯特空間的定義,運(yùn)用定義能夠證明;2、掌握施瓦茨不等式與極化恒等式,并能熟練運(yùn)用;3、培養(yǎng)學(xué)生抽象、理解、概括、歸納能力和遷移能力;教學(xué)重點(diǎn):理解內(nèi)積空間和希爾伯特空間的定義.教學(xué)難點(diǎn):證明過程及運(yùn)用.第1頁/共11頁 在復(fù)歐氏空間中,向量除了有長度的概念外,還定義了兩個(gè)向量的內(nèi)積的運(yùn)算,即若則a與b的內(nèi)積定義為: 其中 表示 的復(fù)共軛,并且內(nèi)積與向量a的長度有以下關(guān)系 由內(nèi)積定義,可知兩個(gè)向量a與b正交等價(jià)于 .顯然,在有限維復(fù)歐氏空間 中,由(1)定義的內(nèi)積具有下述性質(zhì): 1. 2. 3.在復(fù)歐氏空間 的歐幾里得幾何學(xué)中所用到內(nèi)積的性質(zhì)主要是上面三條,因此利

2、用這三條性質(zhì),我們也在一般的線性空間中引入內(nèi)積的的概念. ),(),(2121nnba aaa, ii0,banE ; 00, 0,aaaaa等價(jià)于且 ;,為復(fù)數(shù)其中nEcbacacacba .,nEbab,abanE (1) ,2211nnba 第2頁/共11頁 定義1設(shè) 是復(fù)線性空間,如果對(duì) 中任何在兩個(gè)向量 有一復(fù)數(shù) 與之對(duì)應(yīng),并且滿足下列條件: 1. 2. 3.則稱 為 與 的內(nèi)積,稱 為內(nèi)積空間. 如果 是實(shí)的線性空間,則條件3就改為從內(nèi)積的定義,立即可以得到下面的等式XXyx, ;,為復(fù)數(shù)其中Xzyxzyzxzyx ;, 00, 0,Xxxxxxx等價(jià)于且 .,Xyxy,xyxyx

3、,Xx (2) .,zxyxzyxyx,yX .,xyyx第3頁/共11頁 設(shè) 是內(nèi)積空間,令那么 是 上的范數(shù).事實(shí)上,由內(nèi)積定義(2)式,不難證明為了證明范數(shù)不等式 ,我們首先證明施瓦茨(Schwarz)不等式: 引理1(Schwarz不等式) 設(shè) 按內(nèi)積 成為內(nèi)積空間,則對(duì)于 中任意向量 成立不等式當(dāng)且僅當(dāng) 與 線性相關(guān)時(shí),不等式(4)中等號(hào)才成立. 證明: 如果 ,易知對(duì)一切 因而(4)式成立.若 ,則對(duì)每個(gè)復(fù)數(shù) ,由內(nèi)積條件1,有令 那么上式方括號(hào)中式子為0,所以X(3) ,xxxxX. )(; 00, 0 )(xxbxxxa等價(jià)于且yxyxXyx,Xyx,(4) .,yxyxxy0

4、y, 00 ,xXx0y ,0yyxyyxxxyxyx ,/,yyxy第4頁/共11頁兩邊乘以 ,并且開方,即可得到要證的Schwarz不等式 若 與 線性相關(guān),通過直接計(jì)算,易知(4)式中等號(hào)成立,反之,若(4)式中等號(hào)成立,假定 ,則 與 自然線性相關(guān),若 ,令由Schwarz不等式推導(dǎo)過程,易知 ,即 .所以 與 線性相關(guān).證畢.由Schwarz不等式,立即可知 滿足范數(shù)不等式.事實(shí)上 222,0yyxxyxyyxyxx2y .,yxyxxxxyyy0y0y ,/,yyyx02 yxyxx,)(2 , ,222222yxyyxxyxyyxxyyyxxyxxyxyxyx第5頁/共11頁所以

5、 .稱由(3)式定義的范數(shù) 為由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù),所以內(nèi)積空間是一種特殊的賦范空間.若 按(3)式中范數(shù)完備,則稱為Hilbert空間. 設(shè) 是由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù),通過計(jì)算,不難證明對(duì) 中任何兩個(gè)向量 ,成立平行四邊形公式它是平面上平行四邊形公式在內(nèi)積空間中的推廣.反之可以證明,若是賦范線性空間,其中范數(shù)對(duì)中任何向量,滿足平行四邊形公式(5),那么一定可在中定義內(nèi)積,使就是由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù).因此,(5)式是內(nèi)積空間中范數(shù)的特征性質(zhì).下面舉一些內(nèi)積空間的例子例對(duì)中任意向量,定義易知 按(6)中內(nèi)積成為內(nèi)積空間,又由內(nèi)積(6)導(dǎo)出的范數(shù)yxyxxXxXXyx,(5) ).(22222yxyxyxXXx

6、Xyx,Xyx,xyx,.,2baL,2baLyx,(6) .)()(,dttytxyxba,2baL ,)(212dttxxba第6頁/共11頁即為第七章第節(jié)例中當(dāng) 時(shí)所定義的范數(shù),因此由第七章第節(jié)定理知, 成為Hilbert空間.例.設(shè) 定義則 按(7)中內(nèi)積也成為Hilbert空間.例當(dāng) 時(shí), 不成為內(nèi)積空間事實(shí)上,令 則 且 但 ,所以不滿足平行四邊形公式(5),這說明 中范數(shù)不能由內(nèi)積導(dǎo)出,因而不是內(nèi)積空間. 例 按 不成為內(nèi)積空間. 事實(shí)上,令則 且 ,但因?yàn)?2p,2baL2l ),(),(321, 321 yx(7) ,1iiiyx ), 0 , 1, 1 (), 0 , 1

7、, 1 ( yx2l2ppl,pplylx,21pyx2yxyx)2(plp,baC)(maxtxxbtaabattytx)(, 1)(,baCyx1 yx第7頁/共11頁所以 因此不滿足平行四邊形公式,這就證明了 不是內(nèi)積空間.設(shè)為內(nèi)積空間,由(3)給出了 上的范數(shù),反之,通過直接計(jì)算可以證明,內(nèi)積與范數(shù)之間成立如下不等式 ,1)()(,1)()(abattytxabattytx, 1, 2yxyx, baCXX第8頁/共11頁(8)式稱為極化恒等式,它表示內(nèi)積可以用它所導(dǎo)出的范數(shù)來表示.當(dāng) 為實(shí)內(nèi)積空間時(shí),極化恒等式變?yōu)橛蒘chwarz不等式,立即可知內(nèi)積是兩個(gè)變?cè)倪B續(xù)函數(shù),即當(dāng) 時(shí),有 .事實(shí)上,因?yàn)?因 收斂,故 有界,所以當(dāng) 時(shí),上面不等式右端趨于,因而(8) ).(41,2222iyxiiyxiyxyxyxX(9) ).(41,22yxyxyxyyxxnn ,)(,nyxyxnnnnnnnnnnyxxyyxyx