高中數(shù)學(xué)課程中的幾何

1、高中數(shù)學(xué)課程中的幾何高中數(shù)學(xué)課程中的幾何首都師范大學(xué)首都師范大學(xué) 王尚志、胡鳳娟王尚志、胡鳳娟問題問題 不增加學(xué)習(xí)時(shí)間和強(qiáng)度，有什么辦不增加學(xué)習(xí)時(shí)間和強(qiáng)度，有什么辦法提高學(xué)習(xí)、教學(xué)效率？法提高學(xué)習(xí)、教學(xué)效率？ 如何讓學(xué)生喜歡您如何讓學(xué)生喜歡您喜歡數(shù)學(xué)？喜歡數(shù)學(xué)？ 如何把學(xué)生學(xué)習(xí)激情、熱情激發(fā)激如何把學(xué)生學(xué)習(xí)激情、熱情激發(fā)激發(fā)起來？發(fā)起來？ 如何幫助學(xué)生整體把握數(shù)學(xué)？抓住如何幫助學(xué)生整體把握數(shù)學(xué)？抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)？變數(shù)學(xué)的本質(zhì)？變“難難”為為“易易”？數(shù)學(xué)課程內(nèi)容變化趨勢數(shù)學(xué)課程內(nèi)容變化趨勢幾何課程幾何課程 大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的幾何課程：大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的幾何課程： 解析幾何、解析幾何、 射影幾何、射影幾何

2、、 微分幾何、微分幾何、 點(diǎn)集拓?fù)?、點(diǎn)集拓?fù)洹?代數(shù)拓?fù)?、代?shù)拓?fù)洹?微分拓?fù)?、微分拓?fù)洹?微分流形、微分流形、 代數(shù)幾何、等等代數(shù)幾何、等等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容變化趨勢數(shù)學(xué)課程內(nèi)容變化趨勢幾何課程幾何課程 大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的幾何課程：大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的幾何課程： 這些都是研究圖形的課程；這些都是研究圖形的課程； 主要的思想方法：主要的思想方法： 變換思想，變換思想， 代數(shù)的思想方法，代數(shù)的思想方法， 分析（函數(shù)）的思想方法。分析（函數(shù)）的思想方法。數(shù)學(xué)課程內(nèi)容變化趨勢數(shù)學(xué)課程內(nèi)容變化趨勢幾何課程幾何課程 幾何課程的教育價(jià)值：幾何課程的教育價(jià)值： 學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)圖形內(nèi)在規(guī)律思想方法；學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)圖形內(nèi)在規(guī)律思想方法；

3、培養(yǎng)歸納推理和邏輯推理的載體；培養(yǎng)歸納推理和邏輯推理的載體； 培養(yǎng)圖形直觀的能力培養(yǎng)圖形直觀的能力 空間想象力、圖形洞察力；空間想象力、圖形洞察力； 運(yùn)用圖形描述問題；運(yùn)用圖形描述問題； 運(yùn)用圖形發(fā)現(xiàn)解決問題的思路；運(yùn)用圖形發(fā)現(xiàn)解決問題的思路； 運(yùn)用圖形理解和記憶結(jié)果。運(yùn)用圖形理解和記憶結(jié)果。數(shù)學(xué)課程內(nèi)容變化趨勢數(shù)學(xué)課程內(nèi)容變化趨勢幾何課程幾何課程 重新構(gòu)架幾何課程的指導(dǎo)思想：重新構(gòu)架幾何課程的指導(dǎo)思想： 在整個(gè)數(shù)學(xué)課程中，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)幾何直觀、在整個(gè)數(shù)學(xué)課程中，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)幾何直觀、空間想象、圖形洞察空間想象、圖形洞察把抽象與直觀結(jié)合把抽象與直觀結(jié)合起來；起來； 突出突出“變換幾何變換幾何”，淡

4、化綜合幾何；，淡化綜合幾何； 進(jìn)一步突出用代數(shù)方法研究圖形的思想，合進(jìn)一步突出用代數(shù)方法研究圖形的思想，合理、科學(xué)安排理、科學(xué)安排“解析幾何解析幾何”和和“向量幾何向量幾何”的內(nèi)容。的內(nèi)容。數(shù)學(xué)課程內(nèi)容變化趨勢數(shù)學(xué)課程內(nèi)容變化趨勢幾何課程幾何課程 重新構(gòu)架幾何課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)：重新構(gòu)架幾何課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)： 從整體到局部；從特殊到一般。從整體到局部；從特殊到一般。 在課程中，突顯以下主線：在課程中，突顯以下主線： 圖形分類；圖形分類； 圖形變換；圖形變換； 解析幾何；解析幾何； 向量幾何。向量幾何。數(shù)學(xué)課程內(nèi)容變化趨勢數(shù)學(xué)課程內(nèi)容變化趨勢幾何課程幾何課程 幾何課程主要變化：幾何課程主要變化： 在課程中

5、，關(guān)注以下變化：在課程中，關(guān)注以下變化： 全面理解幾何教育價(jià)值全面理解幾何教育價(jià)值幾何直觀；幾何直觀； 重新構(gòu)架幾何課程的理念、內(nèi)容結(jié)構(gòu)。重新構(gòu)架幾何課程的理念、內(nèi)容結(jié)構(gòu)。 不斷提升向量的作用，進(jìn)一步融合不斷提升向量的作用，進(jìn)一步融合“初等數(shù)學(xué)初等數(shù)學(xué)”與與“高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)”； 幾何課程不是幾何課程不是“唯一唯一”培養(yǎng)邏輯推理能力載體；培養(yǎng)邏輯推理能力載體；幾何基本幾何圖形研究圖形的問題研究圖形的方法一維（線）二維（面）三維（體）直線、直線型曲線二次曲線函數(shù)曲線平面球面、柱面、錐面柱、錐、臺(tái)、球圖形的刻畫圖形的性質(zhì)和判定圖形間的關(guān)系距離角度綜合幾何法解析幾何法向量幾何法分析法1. 幾何的教育

6、功能幾何的教育功能 高中數(shù)學(xué)課程中，幾何的作用主要在于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和推理論證能力。在高中數(shù)學(xué)課程中，幾何是“圖”“文”并茂的內(nèi)容，它把數(shù)學(xué)所特有的邏輯思維和形象思維有機(jī)地結(jié)合起來。幾何思想主要體現(xiàn)在幾何直觀能力，即把握圖形的能力。幾何直觀能力主要包括空間想象力、直觀洞察力、用圖形語言來思考問題的能力。借助幾何這個(gè)載體，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。但僅僅把幾何作為培養(yǎng)形式推理能力載體的認(rèn)識(shí)是片面的。2中學(xué)幾何研究的對象中學(xué)幾何研究的對象中學(xué)幾何主要是研究圖形的位置關(guān)系和度量。中學(xué)幾何研究的圖形可分為兩類：一類是直邊或直面圖形，例如，直線，由直線圍成的三角形，由平面圍成的四面體、長方體等

7、；另一類是曲邊或曲面圖形，例如，圓，球等。在中學(xué)幾何中，基本幾何圖形點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系：主要有平行、垂直、包含（如點(diǎn)在直線上，線在平面內(nèi)，線與線、面與面重合等），由基本圖形圍成的平面圖形之間的關(guān)系主要有全等、相似、位似等。圖像之間的度量關(guān)系：主要有夾角、長度、面積、體積等。3研究圖形的方法研究圖形的方法中學(xué)研究圖形的方法主要有：綜合幾何的方法，解析法，向量幾何的方法，函數(shù)的方法等。例如，綜合幾何的方法：把兩條線段相等問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形全等關(guān)系或一個(gè)三角形內(nèi)兩邊的相等關(guān)系；空間兩直線的垂直問題轉(zhuǎn)化為平面上兩直線的垂直（如，三垂線定理）；利用三視圖研究空間幾何體等。在綜合幾何方法中，平移、

8、旋轉(zhuǎn)、對稱等是研究綜合圖形性質(zhì)的基本方法。3研究圖形的方法研究圖形的方法解析幾何的方法：利用代數(shù)的方法研究幾何圖形的性質(zhì)。幾何問題代數(shù)問題代數(shù)結(jié)果幾何結(jié)果建立坐標(biāo)系代數(shù)方法分析幾何意義3研究圖形的方法研究圖形的方法向量幾何的方法：用向量及其運(yùn)算來研究幾何圖形的位置關(guān)系和度量問題。例如，用向量表示點(diǎn)，用兩個(gè)不共線向量的線性組合表示平面，用向量的數(shù)量積表示由一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)法向量確定的平面等。用向量的運(yùn)算可以研究幾何圖形的位置關(guān)系和度量。利用向量的數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算可以刻畫線線、線面、面面的平行與垂直關(guān)系，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可以度量角度、長度、面積、體積等。用向量法研究幾何圖形有時(shí)比解析幾何方法中

9、的坐標(biāo)法更具有優(yōu)越性。用向量表示幾何對象確定其中一個(gè)對象的法向量用向量建立兩個(gè)幾何對象之間的聯(lián)系，即確定向量 ，其中，為兩個(gè)對象上任意點(diǎn)做向量在法向量上的投影：求距離，即求投影的絕對值nabn ab n用向量解決距離問題的一般步驟：4幾何內(nèi)容的設(shè)計(jì)幾何內(nèi)容的設(shè)計(jì)高中數(shù)學(xué)課程中的幾何內(nèi)容是分層設(shè)計(jì)的，大體上包括三大部分：一部分在必修課程中，一部分在選修1、2課程中，一部分在選修3、4的課程中。必修課程的幾何內(nèi)容由三塊內(nèi)容組成：立體幾何初步，解析幾何初步，平面向量。立體幾何初步，解析幾何初步安排在必修課程數(shù)學(xué)2中，平面向量安排在必修課程數(shù)學(xué)4中；選修1、2課程的幾何內(nèi)容也由三塊內(nèi)容組成，圓錐曲線及

10、其方程，空間向量，立體幾何。圓錐曲線及其方程分別安排在選修1-1和選修2-1中，空間向量，立體幾何安排在選修2-1中；在選修3、4課程中，也設(shè)置了幾何的專題內(nèi)容。整體把握課程 抓住基本脈絡(luò)幾何立體幾何教學(xué)中的一些問題為什么立體幾何設(shè)計(jì)成兩部分？（1）需要跳出歐氏幾何的框架，對高中幾何課程有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)（2）全面的認(rèn)識(shí)立體幾何的教育價(jià)值（3）在立體幾何初步中重點(diǎn)培養(yǎng)所有學(xué)生的空間想象能力和直觀能力（4）用向量解決立體幾何問題在立體幾何的教學(xué)中，為什么長方體是貫穿始終的基本圖形？（1）長方體是學(xué)生最熟悉的幾何圖形（2）長方體是幫助學(xué)生掌握立體幾何概念和公理的載體（3）長方體可以幫助我們發(fā)現(xiàn)證明線

11、線、線面判定和性質(zhì)定理的思路（4）長方體可以幫助我們發(fā)現(xiàn)立體幾何問題解決的思路（5）長方體為后繼學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)在立體幾何位置關(guān)系中，為什么強(qiáng)調(diào)平行與垂直？（1 1）平行和垂直是幾何中最基本的位置關(guān)系平行和垂直是幾何中最基本的位置關(guān)系平行和垂直是幾何中最基本的位置關(guān)系。直角坐標(biāo)系的建立就是基于這一點(diǎn)。在物理中，力的分解、向量的分解，最常見的也是垂直、平行方向上的分解。（2 2）在度量中，求距離主要用到平行和垂直）在度量中，求距離主要用到平行和垂直在幾何學(xué)習(xí)中，主要研究圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系。在度量關(guān)系中，主要研究距離（長度）和角度。為什么判定定理不證明？（1）認(rèn)識(shí)對不同定理的證明要求（2）證明與直觀的關(guān)系（3）學(xué)生認(rèn)識(shí)綜合幾何的證明有困難解析