長沙市四大名校聯(lián)考試題理科數(shù)學(xué)

1、長沙市四大名校聯(lián)考試題理科數(shù)學(xué)長沙市一中理科數(shù)學(xué)備課組命題人：蔣楚輝 審題人：胡雪文一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，每小題所給的四個選項中只有一項是符合題目要求的）1設(shè)全集u = 1，3，5，7，集合m = 1，|a 5|，mu，um = 5，7，則a的值為（ ）a2或 8b 8或 2c 2或8d2或8【解析】d um = 5，7 m = 1，3 |a 5 | = 3解得a = 2或82若sin2 1 + i (cos+ 1)是純虛數(shù)（其中i是虛數(shù)單位），且 0，2），則的值為（ ）ab c或d或【解析】b 由題意，得= 2k+，kz又 0，2）=，故選b3已知函數(shù)f (x

2、) = lg (2x b) (x1)的值域是0，+)，則（ ）ab1bb1cb = 1db 1【解析】c x1，f (x) lg (2 b)，lg (2 b) = 0，2 b = 1，b = 1，故選c4函數(shù)f (x)在(a，b)上連續(xù)，且f (x) = n，mn0，f (x)0，則f (x)在(a，b)內(nèi)（ ）a沒有實根b至少有一個實根c有兩個實根d有且只有一個實根【解析】d 由題意可知f (x)在(a，b)上連續(xù)且單調(diào)遞增，且mn0，f (x)在(a，b)范圍的圖象與x軸有且只有一個交點，故選d5在 (1 + x)3 + (1 + x)4 + +(1 + x)2004的展開式中x3的系數(shù)等

3、于（ ）abcd【解析】b x3的系數(shù)等于故選b346將1，2，3，9這9個數(shù)填入圖中的9個空格中，要求每一行從左到右，每一列從上到下依次增大；當(dāng)3、4固定在圖中所示的位置時，所填寫空格的方法有（ ）種a6b12c18d2413c24dab9【解析】a 由題意知數(shù)字1，2，9的位置也是固定的，如圖：5，6， 7，8四個數(shù)字在a、b、c、d四個位置上，a、b位置上的填法，c、d位置上的填法，共有·= 6種，故選a7設(shè)雙曲線= 1(a0，b0)右準線與兩條漸近線交于a、b兩點，右焦點為f，且fafb，那么雙曲線的離心率為（ ）abc2d【解析】a 右準線交x軸于m，由可解得y = 即|a

4、m| = ，而|fm| = c = ，a = b 由e = = 得e = ，故選a8如圖是一個由三根細鐵桿pa、pb、pc組成的支架，三根鐵桿兩兩所成夾角都為60°(鐵桿的粗細忽略不計)，一個半徑為1的球放在支架上，則球心o到點p的距離是（ ）ab2cdp【解析】a a、b、c為切點，o為球心，r = 1，o1為過a、b、c外接圓的圓心，半徑為r，apb =bpc =cpa = 60°，pa = pb = pc = a，r = ，sinapo = ，po = ，故選c9一房地產(chǎn)開發(fā)商將他新建的20層商品房的房價按下列方法定價，先定一個基價a元/m2，再根據(jù)樓層的不同上下浮動

5、一層的價格為(a d)元/m2，二層的價格為a元/m2，三層的價格為(a + d)元/m2，第i層(i4)的價格為a + d ()i 3元/m2，其中a0，d0，則該商品房的各層房價的平均價值是（ ）aa元/m2ba + 元/m2c元/m2d元/m2【解析】b 設(shè)平均值為t，依題有t = + + = a + 元/米210已知函數(shù)f (x) = ()x log3x，正實數(shù)a，b，c是公差為負實數(shù)的等差數(shù)列，且滿足f (a)·f (b)·f (c) 0；已知命題p：實數(shù)d是方程f (x) = 0的一個解；則下列四個命題：da；db；dc；dc中是命題p的必要不充分條件的命題個數(shù)

6、為（ ）a1b2c3d4【解析】a 函數(shù)f (x) = 是減函數(shù)，由正實數(shù)a、b、c是公差為負數(shù)的等差數(shù)列，則abc，由f (a) f (b) f (c) 0，則f (a) f (b) f (c) 0或f (a) 0f (b) f (c) ，由f (d) = 0，得f (a) f (b) f (c) f (d)或f (a) f (b) f (c)，則有abcd或adbc故選a二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分；將各小題的結(jié)果填在題中橫線上）11若直線2ax by + 2 = 0 (a、b0)過圓x2 + y2 + 2x 4y + 1 = 0的圓心，則ab的最大值是 【解析】 易知

7、圓心(1，2)，直線過圓心，2a 2b + 2 = 0，即a + b = 1a0，b0，ab()2 = 12在oab中，o為坐標原點，a(1，cos)，b (sin，1)，(0，則當(dāng)= 時，oab的面積取最大值 【解析】， 如圖設(shè)= s = 1×1×sin×1×cos(1 cos)(1 sin) = sincos=sin2=sin2 當(dāng)=時，s取到最大值13f (x)是偶函數(shù)，且f (x)在(0，+)上是增函數(shù)；如果x，1時，不等式f (ax + 1)f (x 2)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 【解析】2，0 由得1 a 1在x上恒成立而此時1 的最大值

8、是2，的最小值是0；從而2a014已知點a(0，)，b (0，)，c (4 + ，0)，其中n為正整數(shù)，設(shè)sn表示abc外接圓的面積，則= 【解析】4 設(shè)aco = ，tan=，sin= = ，在abc中， = 2rr = = 15有兩個向量e1 = (1，0)，e2 = (0，1)，今有動點p，從p0 (1，2)開始沿著與向量e1 + e2相同的方向作勻速直線運動，速度為| e1 + e2|；另一動點q，從q0 (2，1)開始沿著與向量3 e1 + 2e2相同的方向作勻速直線運動，速度為|3 e1 + 2e2|設(shè)p、q在時刻t = 0秒時分別在p0、q0處，則當(dāng)時，t = 秒 【解析】2 (

9、1，2) + (e1 + e2)t = (1，2) + (t，t) = (1 + t，2 + t)；= (2，1) + (3 e1 + 2 e2)t = (2，1) + (3，2)t = (2 + 3t，1 + 2t) ，= = (1 + 2t，3 + t) = (1，3) ，即(1 + 2t)·(1) + (3 + t)·(3) = 0，解之得t = 2三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16（本小題滿分12分）已知銳角abc的三內(nèi)角a、b、c的對邊分別是a、b、c，且(b2 + c2 a2) tana = bc（）求角a的大小；

10、（）求sin (a + 10°) ·1 tan(a 10°)的值【解析】（）由已知及余弦定理tana = ，又a(0，)，則sin = 故a = 5分 （）sin (a + 10°) 1 tan (a 10°) = sin70°(1 ) = sin70°· = 2sin70° = = 1 12分17（本小題滿分12分）袋子a和b中分別裝有若干個質(zhì)地均勻相同大小的紅球和白球，從a中摸出一個球，得到紅球的概率是，從b中摸出一個球，得到紅球的概率為p（1）若a、b兩個袋子中的球數(shù)之比為1 : 3，將a、b中的球

11、混裝在一起后，從中摸出一個球，得到紅球的概率是，求p的值（2）從a中有放回地摸球，每次摸出一個，若累計3次摸到紅球即停止最多摸球5次，5次之內(nèi)（含5次）不論是否有3次摸到紅球都停止摸球；記5次之內(nèi)（含5次）摸到紅球的次數(shù)為隨機變量，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望【解析】（1）a、b兩個袋子中的球數(shù)之比為1 : 3，設(shè)袋子a中有m個球，則袋b中有3m個球由于從a中摸出一個紅球的概率是，從b中摸出一個紅球的概率為p袋子a中有m個紅球，袋子b中有3mp個紅球a、b中的球裝在一起后，共有紅球m +3mp個，得p = 4分（2）隨機變量的取值為0，1，2，3則p (= 0) = ，p (= 1) = p

12、(= 2) = ， 8分p (= 3) = + 11分隨機變量的分布列是0123p的數(shù)學(xué)期望為：e = ×0 + ×1 + ×2 + ×3 = 12分18（本小題滿分12分）已知斜三棱柱abca1b1c1，acbc，ac = bc = 2，a1在底面abc上的射影恰為ac的中點d，又知ba1ac1（1）求證：ac1a1c；（2）求cc1到平面a1ab的距離；（3）求二面角aa1bc的大小【解析】解法一：（1）a1d平面abc，平面aa1c1c平面abc，又bcac，bc平面aa1c1c，bcac1，又ba1ac1，ba1bc = b，ac1平面a1bc，

13、ac1a1c（也可應(yīng)用三垂線定理的逆定理證明） 3分（2）因為ac1a1c，所以四邊形aa1c1c為菱形，故aa1 = ac = 2，cc1平面a1ab，又d為ac的中點，知a1ac = 60°取aa1的中點f，則aa1平面bcf，從而平面a1ab平面bcf，過c作chbf于h，則ch平面a1ab，在rtbcf中，bc = 2，cf = ，故ch = ，即cc1到平面a1ab的距離為ch = 8分（3）過h作hga1b于g，連結(jié)cg，則cga1b，從而cgh為二面角aa1bc的平面角，在rta1bc中，a1c = bc = 2，所以cg = ，在rtcgh中，sincgh = ，故二

14、面角aa1bc的大小為arcsin 12分解法二 （1）如圖，取ab的中點e，連結(jié)de，則debc，因為bcac，所以deac，又a1d平面abc，以de，dc，da1為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則a(0，1，0)，c (0，1，0)，b (2，1，0)，a1 (0，0，t)，c1 (0，2，t) (t0)，= (0，3，t)，= (2，1，t)，= (2，0，0)，由= 0，知ac1cb，又ba1ac1，從而ac1平面a1bc所以ac1a1c 5分（2）由= 3 + t2 = 0，得t = 設(shè)平面a1ab的一個法向量為n = (x，y，z)，= (0，1，)，(2，2，0)，所以設(shè)z

15、= 1，則n = ()，所以點c1到平面a1ab距離d = 8分（3）設(shè)平面a1bc的法向量為m = (x，y，z)，= (0，1，)，= (2，0，0)，所以設(shè)z = 1，則m = (0，1)，故cos<m，n> = ，根據(jù)法向量的方向，可知二面角aa1bc的大小為arccos 12分19（本小題滿分13分）已知兩定點a (1，0)、b (1，0)，動點p在y軸上的射影為q，若= 0（）求動點p的軌跡e的方程（）直線l交y軸于點c (0，m)，交軌跡e于m，n兩點，且滿足，求實數(shù)m的取值范圍【解析】（）設(shè)動點p的坐標為(x，y)，則點q的坐標為(0，y)，= (x，0)， = (

16、1 x，y) = (1 x，y)，由·+2= 0得x2 1 + y2 + x2 = 0，即2x2 + y2 = 1 故軌跡e的方程為2x2 + y2 = 1 5分（）設(shè)l與軌跡e的交點m (x1，y1)，n (x2，y2)，直線的斜率為k則由得 (k2 + 2)x2 + 2kmx + (m2 1) = 0，則= (2km)2 4 (k2 + 2) (m2 1) = 4 (k2 2m2 + 2)0 （*） 且x1 + x2 = x1x2 = 8分 x1 = 3x2 10分從而3 (x1 + x2)2 + 4x1x2 = 03+ 4 = 0，整理得4k2m2 + 2m2 k2 2 = 0

17、，若m2 = ，上式不成立，則m2k2 = 代入（*）得，即解得1m或m1，即m的取值范圍為(1，)(，1) 13分20（本小題滿分13分）廣東某品牌玩具企業(yè)的產(chǎn)品以往專銷歐美市場，在全球金融風(fēng)暴的影響下，歐美市場的銷量受到嚴重影響，該企業(yè)在政府的大力扶助下積極開拓國內(nèi)市場，主動投入內(nèi)銷產(chǎn)品的研制開發(fā)，并基本形成了市場規(guī)模，自2008年9月以來的第n個月（2008年9月為第一個月）產(chǎn)品的內(nèi)銷量、出口量和銷售總量（內(nèi)銷量與出口量的和）分別為bn、cn和an(單位萬件)，分析銷售統(tǒng)計數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)形成如下營銷趨勢：bn + 1 = a an，cn + 1 = an + b an2 （其中a、b為常數(shù)），

18、且a1 = 1萬件，a2 = 1.5萬件，a3 = 1.875萬件 （1）求a，b的值，并寫出an + 1與an滿足的關(guān)系式 （2）如果該企業(yè)產(chǎn)品銷售總量an呈現(xiàn)遞增趨勢，且控制在2萬件以內(nèi)，企業(yè)的運行正常且不會出現(xiàn)資金危機；試證明anan + 12 （3）試求從2008年9月份以來的第n個月的銷售總量an關(guān)于n的表達式 【解析】（1）依題意：an + 1 = bn + 1 + cn + 1 = a an + an + b an2，又a2 = a a1 + a1 + b a12 a + 1 + b = 又a3 = a a2 + a2 + b a22 解得a = 1，b = 從而an + 1 =

19、 2an an2 (nn*) 4分（2）證法（）由于an + 1 = 2an an2 = (an 2)2 + 22但an + 12，否則可推得a 1= 2與a1 = 1矛盾故an + 12 于是an2又an + 1 an= an2 + 2an an = an (an 2) 0，所以an + 1an 從而anan + 12 9分方法（）由數(shù)學(xué)歸納法（i）當(dāng)n = 1時，a1 = 1，a2 = 1.5，顯然a1a22成立（ii）假設(shè)n = k時， akak + 12成立由于函數(shù)f (x) = x2 + 2x = (x 2)2 + 2在0，2上為增函數(shù)，則f (ak) f (ak + 1) f (2

20、)即ak (4 ak) ak + 1(4 ak + 1) ×2×(4 2) 即 ak + 1ak + 22成立 綜上可得nn*有anan + 12 9分（3）由an + 1 = 2an an2得2 (an + 1 2) = (an 2)2 即(2 an + 1) = (2 an)2又由（2）anan + 12可知2 an + 10，2 an0 則lg (2 an + 1) = 2 lg (2 an) lg 2 lg (2 an +1) lg2 = 2lg (2 an) lg2即lg (2 an + 1) lg2為等比數(shù)列，公比為2，首項為lg (2 a1) lg 2 = lg 2故lg (2 an) lg 2 = (lg 2)·2n 1 an = 2 (nn*)為所求 13分21（本小題滿分13分）已知函數(shù)f (x) = 2 lnx，g (x) = ax2 + 3x（）設(shè)直線x = 1與曲線y = f (x)和y = g (x)分別相交于點p、q，且曲線y = f (x)和y = g (x)在點p、q處的切線平行，求實數(shù)a（）在（）的條件下，若方程f (x2 + 1) + g (x) = +3x + k有四個不同的實根，求實數(shù)k的取值范圍（）設(shè)函數(shù)f (x)滿足f (x) + x f (x) g(x)= 3x2 (a + 6 ) x +