不等式恒成立問題中的參數求解技巧

1、學習必備歡迎下載不等式恒成立問題中的參數求解技巧在不等式中， 有一類問題是求參數在什么范圍內不等式恒成立。恒成立條件下不等式參數的取值范圍問題，涉及的知識面廣，綜合性強，同時數學語言抽象，如何從題目中提取可借用的知識模塊往往捉摸不定，難以尋覓，是同學們學習的一個難點，同時也是高考命題中的一個熱點。其方法大致有：用一元二次方程根的判別式，參數大于最大值或小于最小值，變更主元利用函數與方程的思想求解。本文通過實例，從不同角度用常規(guī)方法歸納，供大家參考。一、用一元二次方程根的判別式有關含有參數的一元二次不等式問題， 若能把不等式轉化成二次函數或二次方程， 通過根的判別式或數形結合思想，可使問題得到順

2、利解決。例 1 對于 x R，不等式恒成立，求實數m 的取值范圍。解：不妨設，其函數圖象是開口向上的拋物線，為了使，只需，即，解得。變形：若對于x R，不等式恒成立，求實數m 的取值范圍。變形：此題需要對m 的取值進行討論，設。當 m=0 時， 3>0 ，顯然成立。當 m>0 時，則 <0。當 m<0 時，顯然不等式不恒成立。由知。關鍵點撥：對于有關二次不等式（或 <0）的問題，可設函數，由a 的符號確定其拋物線的開口方向，再根據圖象與x 軸的交點問題，由判別式進行解決。例 2 已知函數，在時恒有，求實數k 的取值范圍。例 2 解：令，則對一切恒成立，而是開口向上

3、的拋物線。當圖象與x 軸無交點滿足<0，即，解得 2<k<1< span=""> 。 </k<1<>當圖象與x 軸有交點，且在時，只需由知關鍵點撥：為了使在恒成立，構造一個新函數是解題的關鍵，再利學習必備歡迎下載用二次函數的圖象性質進行分類討論，使問題得到圓滿解決。二、參數大于最大值或小于最小值如果能夠將參數分離出來，建立起明確的參數和變量x 的關系，則可以利用函數的單調性求解。恒成立，即大于時大于函數值域的上界。恒成立，即小于時小于函數值域的下界。例 3 已知二次函數，如果 x 0， 1時，求實數a 的取值范圍。解：

4、x 0， 1時，即當 x=0 時， aR當 x時，問題轉化為恒成立由恒成立，即求的最大值。設。因為減函數，所以當x=1 時，可得。由恒成立，即求的最小值。設。因為增函數，所以當x=1 時，可得 a 0。由知。關鍵點撥：在閉區(qū)間0， 1上使分離出 a，然后討論關于的二次函數在上的單調性。例 4 若不等式在 x 1，2時恒成立，試求a 的取值范圍。解：由題設知，得 a>0，可知 a+x>1 ，所以。原不等式變形為。，即。又，可得恒 成 立 。 設， 在x 1 ， 2 上 為 減 函 數， 可 得學習必備歡迎下載，知。綜上知。關鍵點撥：將參數a 從不等式中分離出來是解決問題的關鍵。例 5

5、 是否存在常數c 使得不等式，對任意正數x、 y 恒成立？試證明你的結論。解：首先，欲使恒成立（ x、 y>0），進行換元令。上述不等式變?yōu)?，即恒成立。尋求的最小值，由a>0， b>0，利用基本不等式可得。同理欲使恒成立，令，得上述不等式變?yōu)椋?。尋求的最大值，易得。學習必備歡迎下載綜上知存在使上述不等式恒成立。關鍵點撥：本題是兩邊夾的問題，利用基本不等式，右邊尋找最小值，左邊尋找最大值，可得 c=。三、變更主元在解含參不等式時，有時若能換一個角度，變參數為主元，可以得到意想不到的效果，使問題能更迅速地得到解決。例 6 若不等式，對滿足所有的 x 都成立，求x 的取值范圍。解

6、：原不等式可化為令是關于 m 的一次函數。由題意知解得 x 的取值范圍是關鍵點撥：利用函數思想，變換主元，通過直線方程的性質求解。例 7 已知是定義在 1，1上的奇函數且，若 a、b 1，1，a+b0，有。（ 1）判斷函數在 1，1上是增函數還是減函數。（ 2）解不等式。（ 3）若對所有、 a 1， 1恒成立，求實數m 的取值范圍。解：（ 1）設，則，可知，所以在 1， 1上是增函數。學習必備歡迎下載（ 2）由在 1， 1上是增函數知解得，故不等式的解集（ 3）因為在 1， 1上是增函數，所以，即1 是的最大值。依題意有，對 a 1，1恒成立，即恒成立。令，它的圖象是一條線段，那么。關鍵點撥：

7、對于（1），抽象函數單調性的證明往往借助定義，利用拼湊條件，判斷差的符號。對于（2），后一步解不等式往往是上一步單調性的繼續(xù)，通過單調性、函數值的大小轉化到自變量的大小上來。對于（3），轉換視角變更主元，把看作關于 a 的一次函數，即在 a 1， 1上大于等于0，利用是一條直線這一圖象特征，數形結合得關于m 的不等式組，從而求得m 的范圍。不等式恒成立問題中的參數求解技巧學習必備歡迎下載一、用一元二次方程根的判別式例 1 對于 x R，不等式變形：若對于x R，不等式恒成立，求實數 m 恒成立，求實數的取值范圍。m 的取值范圍。例 2 已知函數，在時恒有，求實數k 的取值范圍。二、參數大于最大值或小于最小值例 3 已知二次函數，如果 x 0， 1時，求實數 a 的取值范圍。例 4 若不等式在 x 1， 2時恒成立，試求a 的取值范圍。例 5是否存在常數c 使得不等式，對任意正數 x、 y 恒成立？試證明你的結論。三、變更主元例 6若不等式，對滿足所有的 x 都成