初一數(shù)學競賽系列講座全套

1、初一數(shù)學競賽講座 (三)數(shù)字、數(shù)位及數(shù)謎問題一、一、知識要點1、整數(shù)的十進位數(shù)碼表示一般地，任何一個n 位的自然數(shù)都可以表示成：an 10n 1an 1 10n 2a3102a2 10 a1其中， a i (i=1 ， 2， , ， n)表示數(shù)碼，且0? a i? 9， a n0.對于確定的自然數(shù)N，它的表示是唯一的，常將這個數(shù)記為N= anan 1a2 a12、正整數(shù)指數(shù)冪的末兩位數(shù)字(1)(1) 設(shè) m、 n 都是正整數(shù)， a 是 m 的末位數(shù)字，則 mn 的末位數(shù)字就是an 的末位數(shù)字。(2)(2) 設(shè) p、 q 都是正整數(shù)， m 是任意正整數(shù)，則 m 4p+q的末位數(shù)字與m q 的末位

2、數(shù)字相同。3、在與整數(shù)有關(guān)的數(shù)學問題中，有不少問題涉及到求符合一定條件的整數(shù)是多少的問題，這類問題稱為數(shù)迷問題。這類問題不需要過多的計算，只需要認真細致地分析，有時可以用“湊” 、“猜”的方法求解，是一種有趣的數(shù)學游戲。二、二、例題精講例 1、有一個四位數(shù)，已知其十位數(shù)字減去2 等于個位數(shù)字，其個位數(shù)字加上2 等于其百位數(shù)字，把這個四位數(shù)的四個數(shù)字反著次序排列所成的數(shù)與原數(shù)之和等于9988，求這個四位數(shù)。分析：將這個四位數(shù)用十進位數(shù)碼表示，以便利用它和它的反序數(shù)的關(guān)系列式來解決問題。解：設(shè)所求的四位數(shù)為a 103+b 102+c10+d ，依題意得：(a 103+b 102+c10+d)+(

3、d 103+c102+b 10+a)=9988 (a+d) 103210+ (a+d)=9988+(b+c) 10 +(b+c)比較等式兩邊首、末兩位數(shù)字，得a+d=8，于是 b+c18又 c-2=d ， d+2=b， b-c=0從而解得： a=1， b=9，c=9， d=7故所求的四位數(shù)為1997評注：將整數(shù)用十進位數(shù)碼表示，有助于將已知條件轉(zhuǎn)化為等式，從而解決問題。例 2 一個正整數(shù) N 的各位數(shù)字不全相等，如果將N 的各位數(shù)字重新排列，必可得到一個最大數(shù)和一個最小數(shù)，若最大數(shù)與最小數(shù)的差正好等于原來的數(shù)N ，則稱 N 為“新生數(shù)” ，試求所有的三位“新生數(shù)” 。分析：將所有的三位“新生數(shù)

4、”寫出來，然后設(shè)出最大、最小數(shù)，求差后分析求出所有三位“新生數(shù)”的可能值，再進行篩選確定。解：設(shè) N 是所求的三位“新生數(shù)” ，它的各位數(shù)字分別為a、 b、c(a、b、 c 不全相等 )，將其各位數(shù)字重新排列后，連同原數(shù)共得6 個三位數(shù)： abc, acb, bac,bca,cab, cba ，不妨設(shè)其中的最大數(shù)為abc ，則最小數(shù)為cba 。由“新生數(shù)”的定義，得N= abccba100a10bc100c10ba99 ac由上式知 N 為 99 的整數(shù)倍，這樣的三位數(shù)可能為： 198， 297， 396，495，594， 693，792，891， 990。這 9 個數(shù)中，只有 954-459

5、=495 符合條件。故 495 是唯一的三位“新生數(shù)”評注：本題主要應用“新生數(shù)”的定義和整數(shù)性質(zhì)，先將三位“新生數(shù)”進行預選，然后再從中篩選出符合題意的數(shù)。這也是解答數(shù)學競賽題的一種常用方法。例 3 從 1 到 1999，其中有多少個整數(shù)，它的數(shù)字和被4 整除？將每個數(shù)都看成四位數(shù)(不是四位的，在左面補0)，0000 至 1999 共 2000 個數(shù)。千位數(shù)字是 0 或 1，百位數(shù)字從0 到 9 中選擇，十位數(shù)字從0 到 9 中選擇，各有10 種。在千、百、十位數(shù)字選定后，個位數(shù)字在2 到 9 中選擇，要使數(shù)字和被4 整除，這時有兩種可能：設(shè)千、百、十位數(shù)字和為a，在 2，3， 4， 5 中

6、恰好有一個數(shù)b，使 a+b 被 4整除 (a+2、 a+3、a+4、 a+5 除以 4，余數(shù)互不相同，其中恰好有一個余數(shù)是0，即相應的數(shù)被 4 整除 )；在 6，7， 8， 9 中也恰好有一個數(shù)c(=b+4) ，使 a+c 被 4 整除。因而數(shù)字和被4整除的有： 2 10 10 2=400 個再看個位數(shù)字是0 或 1 的數(shù)。千位數(shù)字是0 或 1，百位數(shù)字從0 到 9 中選擇， 在千、百、個位數(shù)字選定后，十位數(shù)字在2 到 9 中選擇。與上面相同，有兩種可能使數(shù)字和被4 整除。因此數(shù)字和被4 整除的又有：2 2 10 2=80 個。在個位數(shù)字、十位數(shù)字、千位數(shù)字均為0 或 1 的數(shù)中，百位數(shù)字在2

7、 到 9 中選擇。有兩種可能使數(shù)字和被4 整除。因此數(shù)字和被4 整除的又有： 2 2 2 2=16 個。最后，千、百、十、個位數(shù)字為0 或 1 的數(shù)中有兩個數(shù)，數(shù)字和被4 整除，即1111 和0000，而 0000 不算。于是 1 到 1999 中共有 400+80+16+1=497 個數(shù)，數(shù)字和被4 整除。例 4 圓上有 9 個數(shù)碼，已知從某一位起把這些數(shù)碼按順時針方向記下，得到的是一個 9 位數(shù)并且能被 27 整除。證明：如果從任何一位起把這些數(shù)碼按順時針方向記下的話，那么所得的一個 9 位數(shù)也能被 27 整除。分析：把從某一位起按順時針方向記下的9 位數(shù)記為： a1a2 a3a9 ，其能

8、被 27 整除。只需證明從其相鄰一位讀起的數(shù)：a2 a3 a9 a1 也能被27 整除即可。證明：設(shè)從某一位起按順時針方向記下的9 位數(shù)為： a1a2 a3a9依題意得： a1 a2 a3a9 = a1 108a210 7a810a9 能被 27 整除。為了證明題目結(jié)論，只要證明從其相鄰一位讀起的數(shù)：a2 a3a9 a1 也能被27 整除即可。a2a3a9 a1 = a2 108a3 107a9 10 a110? a1a2 a3a9 - a2 a3a9 a1=10( a1 108a2 10 7a8 10a9 )-(a2 108a3107a9 10a1 )= a110 9a2108a3 107a

9、9 10 -( a2 108a3 107a9 10 a1 )= a1109a11091 a1 100031 a1 10003110001 10002100019991000210001而 999 能被 27 整除， 10003-1 也能被 27 整除。因此， a2 a3a9 a1 能被 27 整除。從而問題得證。評注：本題中，109-1 難以分解因數(shù)，故將它化為10003 -1 ，使問題得到順利解決。這種想辦法降低次數(shù)的思想，應注意領(lǐng)會掌握。例 5 證明： 111111+112112+113113 能被 10 整除分析：要證明111111+112112+113113 能被 10 整除，只需證明

10、111111+112112+113113 的末位數(shù)字為 0，即證 111111， 112112， 113113 三個數(shù)的末位數(shù)字和為 10。證明： 111111 的末位數(shù)字顯然為1；112112=(1124)28，而 1124 的末位數(shù)字是6，所以 112112 的末位數(shù)字也是6；11311342841，所以 1131133；=(113 )?113， 113 的末位數(shù)字是的末位數(shù)字是 111111，112112， 113113 三個數(shù)的末位數(shù)字和為 1+6+3=10 111111+112112+113113 能被 10 整除評注：本題是將證明被 10 整除轉(zhuǎn)化為求三數(shù)的末位數(shù)字和為 10。解決

11、數(shù)學問題時，常將未知的問題轉(zhuǎn)化為熟知的問題、復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，這是化歸思想。例 6 設(shè) P (m)表示自然數(shù) m 的末位數(shù)， anP n 2P n求 a1a2a1995 的值。解： a1a2a1995 = P 12P1+P22P2+,+ P 19952P 1995= P12P 22P 19952P 1P 2P 1995=P122219952P 1219951995=10 199+5 ，又因為連續(xù) 10 個自然數(shù)的平方和的末位數(shù)都是5 P122219952P 1222324 252P 1995 =5+5=10P 121995P 19951996又2=0 a1a2a1995 =10評注：

12、本題用到了連續(xù)10 個自然數(shù)的平方和的末位數(shù)都是5 這個結(jié)論。1111111例7？請找出 6 個不同的自然數(shù)， 分別填入6 個問號中， 使這個等式成立。 (第三屆華杯賽口試題)分析：分子為1 分母為自然數(shù)的分數(shù)稱作單位分數(shù)或埃及分數(shù)，它在很多問題中經(jīng)常出現(xiàn)。解決這類問題的一個基本等式是：可以寫成兩個埃及分數(shù)之和。111nn1n n1 ，它表明每一個埃及分數(shù)都11解：首先， 1=22從這個式子出發(fā)，利用上面給出的基本等式，取n=2 可得：1111112361= 236111又利用上面給出的基本等式，取n=3 可得： 34121111 1=24126111再利用上面給出的基本等式，取n=4 可得：

13、 452011111 1=2520126111最后再次利用上面給出的基本等式，取n=6 可得： 6742111111 1=252012742即可找出2， 5， 20， 12，7， 42 六個自然數(shù)分別填入6 個問號中，使等式成立。評注： 1、因為問題要求填入的六個自然數(shù)要互不相同，所以每步取n 時要適當考慮，如：111最后一步就不能取n=5，因為 n=5 將產(chǎn)生 630，而 6 已出現(xiàn)了。2、本題的答案是不唯一的，如最后一步取n=12，就可得：1111111= 2520131566例 8 如圖，在一個正方體的八個頂點處填上1 到 9 這些數(shù)碼中的 8 個，每個頂點處只填一個數(shù)碼，使得每個面上的

14、四個頂點處所填的數(shù)碼之和都相等，并且這個和數(shù)不能被那個未被填上的數(shù)碼整除。求所填入的8 個數(shù)碼的平方和。(第 12 屆“希望杯”數(shù)學競賽培訓題)解：設(shè) a 是未填上的數(shù)碼， s 是每個面上的四個頂點處所填的數(shù)碼之和，由于每個頂點都屬于 3 個面，所以6s=3(1+2+3+4+5+6+7+8+9)-3a即 6s=3?45- 3a，于是 2s=45- a，可以斷定 a 是奇數(shù)而 a 不整除 s，所以 a 只能是 7，則填入的 8 個數(shù)碼是1， 2，3， 4， 5，6， 8， 9，它們的平方和是：12+22+32+42+5 2+62+82+92=236例 9 在右邊的加法算式中，每個表示一個數(shù)字，任

15、意兩個數(shù)字都不同。試求A 和B乘積的最大值。+)A B分析：先通過運算的進位，將能確定的確定下來，再來分析求出A 和 B 乘積的最大值。解：設(shè)算式為：ab c+)d e fg h A B顯然， g=1 ， d=9， h=0a+c+f=10+B， b+c=9+A,A? 62 (A+B)+19=2+3+4+5+6+7+8=35， A+B=8要想 A ?B 最大，A ? 6，取 A=5， B=3。此時大值為 15.評注：本題是通過正整數(shù)的十進制的基本知識先確定得出 A 、B 的關(guān)系，最后求出A ?B 的最大值。b=6,e=8,a=2,c=4,f=7,故 A?B 的最g，d， h，然后再通過分析、觀察

16、例 10 在一種游戲中，魔術(shù)師請一個人隨意想一個三位數(shù)abc。并請這個人算出5 個數(shù)acb 、 bac 、 bca 、 cab 、 cba 的和 N，把 N 告訴魔術(shù)師，于是魔術(shù)師就能說出這個人所想的數(shù) abc?，F(xiàn)在設(shè) N=3194 ，請你做魔術(shù)師，求出數(shù)abc 來。 (第四屆美國數(shù)學奧林匹克試題)解：將 abc 也加到和 N 上，這樣 a、 b、 c 就在每一位上都恰好出現(xiàn)兩次，所以有abc +N=222(a+b+c)從而3194<222(a+b+c)<3194+1000 ，而 a、 b、 c 是整數(shù)所以15? a+b+c? 18因為 22215-3194=136 ，222 16

17、-3194=358 ， 222 17-3194=580， 222 18-3194=802其中只有3+5+8=16 能滿足式，所以abc =358評注：本題將abc 也加到和N 上，目的是使得由a、 b、 c組成的6 個三位數(shù)相加，這樣 a、 b、 c 在每個數(shù)位上出現(xiàn)的次數(shù)相同。這一技巧在解決數(shù)字問題中經(jīng)常使用。三、三、鞏固練習選擇題1、兩個十位數(shù) 1111111111和 9999999999 和乘積的數(shù)字中有奇數(shù)()A、7 個B、8 個C、9 個D、10 個2、若自然數(shù) n 使得作豎式加法 n+(n+1)+(n+2) 時均不產(chǎn)生進位現(xiàn)象， 便稱 n 為“連綿數(shù)”。如因為 12+13+14 不

18、產(chǎn)生進位現(xiàn)象，所以12 是“連綿數(shù)” ；但 13+14+15產(chǎn)生進位現(xiàn)象，所以 13 不是“連綿數(shù)” ，則不超過 100的“連綿數(shù)”共有()個A 、 9B、 11C、12D 、153、有一列數(shù)： 2，22，222，2222， , ，把它們的前27 個數(shù)相加，則它們的和的十位數(shù)字是 ()A 、 9B、 7C、 5D、 34、 19932002+1995 2002 的末位數(shù)字是 ()A 、 6B、 4C、 5D、 35、設(shè)有密碼 3?BIDFOR =4 ? FORBID ，其中每個字母表示一個十進制數(shù)字，則將這個密碼破譯成數(shù)字的形式是6、八位數(shù) 141 283 是 99 的倍數(shù)，則 =， =填空題

19、7、若 a babbbb ，其中 a、 b 都是 1 到 9 的數(shù)字，則 a=,b=8、在三位數(shù)中，百位比十位小，并且十位比個位小的數(shù)共有個。9、在六位數(shù) 25 xy52 中 x, y 皆是大于7 的數(shù)碼，這個六位數(shù)被11 整除，那么，四位數(shù)1xy5_ 。10、 4343 的末位數(shù)字是11、 2 m+2000-2 m(m 是自然數(shù) )的末位數(shù)字是11112、要使等式8成立，處填入的適當?shù)淖匀粩?shù)是解答題13、有一個5 位正奇數(shù)x，將 x 中的所有變，得到一個新的五位數(shù)，記作y。若 x 和 y2 都換成滿足等式5，所有的5 都換成y=2 (x+1) ，求 x2，其他數(shù)字不14、有一個若干位的正整數(shù)

20、，它的前兩位數(shù)字相同，且它與它的反序數(shù)之和為10879，求原數(shù)。15、求出所有滿足如下要求的兩位數(shù)：分別乘以2， 3， 4，5， 6， 7， 8， 9 時，它的數(shù)字和不變。16、求22222的末位數(shù)1 +2 +3 +4 +, +12345678917、求符合下面算式的四位數(shù) abcdabcd9dcba18、設(shè)a3a2 a1 是一個三位數(shù)， a，由 a3a2 a1 減去 a1a2 a3得一個三位數(shù) b3b2b1 ，3>a1證明： b3b2b1 + b1b2 b3 =108919、對于自然數(shù)n，如果能找到自然數(shù) a 和 b，使得 n=a+b+ab,那么 n 就稱為“好數(shù)” 。如 3=1+1+

21、11，所以3 是“好數(shù)”。在 1 到 100 這 100 個自然數(shù)中，有多少個“好數(shù)”？20、AOMEN和 MACAO分別是澳門的漢語拼音和英文名字。如果它們分別代表兩個 5位數(shù)， 其中不同的字母代表從1 到 9 中不同的數(shù)字， 相同字母代表相同的數(shù)字， 而且它們的和仍是一個5 位數(shù)，求這個和可能的最大值是多少？初一數(shù)學競賽講座 (二 )特殊的正整數(shù)四、一、知識要點1、 1、 完全平方數(shù)及其性質(zhì)定義 1如果一個數(shù)是一個整數(shù)的平方，則稱這個數(shù)是完全平方數(shù)。 如：1、4、9、,等都是完全平方數(shù)，完全平方數(shù)有下列性質(zhì)：性質(zhì) 1任何完全平方數(shù)的個位數(shù)只能是0，1， 4， 5， 6， 9 中的一個。性質(zhì)

22、 2奇完全平方數(shù)的十位數(shù)一定是偶數(shù)。性質(zhì) 3偶完全平方數(shù)是 4 的倍數(shù)。性質(zhì) 4完全平方數(shù)有奇數(shù)個不同的正約數(shù)。性質(zhì) 5完全平方數(shù)與完全平方數(shù)的積仍是完全平方數(shù)，完全平方數(shù)與非完全平方數(shù)的積是非完全平方數(shù)。2、 2、 質(zhì)數(shù)與合數(shù)定義 2一個大于1 的整數(shù) a,如果只有 1 和 a 這兩個約數(shù)，那么 a 叫做質(zhì)數(shù)。定義 3一個大于1 的整數(shù) a,如果只有 1 和 a 這兩個約數(shù)外， 還有其他正約數(shù)， 那么a 叫做合數(shù)。1 既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。3、 3、 質(zhì)數(shù)與合數(shù)的有關(guān)性質(zhì)(1) (1) 質(zhì)數(shù)有無數(shù)多個(2) (2)2 是唯一的既是質(zhì)數(shù)，又是偶數(shù)的整數(shù)，即是唯一的偶質(zhì)數(shù)。大于2 的質(zhì)數(shù)必為奇數(shù)

23、。(3) (3) 若質(zhì)數(shù) p a?b，則必有 p a 或 p b。(4) (4) 若正整數(shù) a、 b 的積是質(zhì)數(shù) p，則必有 a=p 或 b=p.(5) (5)唯 一 分 解 定 理 ： 任 何 整 數(shù)n(n>1) 可 以 唯 一 地 分 解 為 ：npa1pa2p ak12k ,其中 p1<p 2<, <p k 是質(zhì)數(shù)， a1，a2，, ， a k 是正 整數(shù)。五、二、例題精講例 1 有一個四位數(shù)恰好是個完全平方數(shù)，它的千位數(shù)字比百位數(shù)字多1，比十位數(shù)字少1，比個位數(shù)字少 2，這個四位數(shù)是解 設(shè)所求的四位數(shù)為 m2 ，它的百位數(shù)字為 a，則有m2=1000(a+1)+

24、100a+10(a+2)+(a+3)=1111a+1023=11(101a+93)因為 11 是質(zhì)數(shù)，所以 11 (101a+93) ，而 101a+93=11(9a+8)+(2a+5) ，所以 11 (2a+5)，由題意 a+3? 9，故 a? 6，從而 a=3于是所求的四位數(shù)為4356例 2 一個四位數(shù)有這樣的性質(zhì)：用它的后兩位數(shù)去除這個四位數(shù)得到一個完全平方數(shù)(如果它的十位數(shù)是 0，就只用個位數(shù)去除 )，且這個平方數(shù)正好是前兩位數(shù)加1的平方。例如4802 2=2401=49 2=(48+1) 2，則具有上述性質(zhì)的最小四位數(shù)是（ 1994 年四川省初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題）解 設(shè)具有上述性質(zhì)的

25、四位數(shù)是100c1+c2，其中 10? c1， c2? 99，按題意，得100c1+c2 c11 2 c2c12 c2 2c1c2c2 ， 100c1= c1c2 (c1+2)，c2100c1 2，因而 (c? 99，所以 c即1+2) 100，又1=18， 23， 48， 9810? c1相應地 c2=5， 4， 2，1于是符合題意的四位數(shù)是1805， 2304， 4802， 9801 ，其中最小的是1805評注：本題根據(jù)題意，列出不定方程，然后利用整數(shù)的整除性來求解。例 3 三個質(zhì)數(shù) a、 b、c 的乘積等于這三個質(zhì)數(shù)和的5 倍，則 a2+b 2+c2=(1996 年“希望杯”初二試題 )

26、分析：由題意得出abc=5(a+b+c)，由此顯然得質(zhì)數(shù) a、 b、c 中必有一個是5，不妨設(shè) a=5，代入前式中再設(shè)法求b、 c解 因為 abc=5(a+b+c) ，所以在質(zhì)數(shù) a、 b、 c 中必有一個是5，不妨設(shè) a=5，于是 5bc=5b+5c+25 ，即 (b-1) (c-1)=6 ，而 6=23=1 6，b12b11則 c13 或c16 由得 b=3,c=4 ，不合題意，由得b=2,c=7 ，符合題意。所以所求的三個質(zhì)數(shù)是5， 2，2227。于是 a +b +c =78評注：質(zhì)數(shù)問題常常通過分解質(zhì)因數(shù)來解決。例 4試證：一個整數(shù)的平方的個位數(shù)字為6 時，十位數(shù)字必為奇數(shù)。分析：一個

27、整數(shù)的平方的個位數(shù)字為6，則這個整數(shù)的個位數(shù)字必為4 或 6，從而可設(shè)此數(shù)為 a=10g+4 或 a=10g+6 (g 為整數(shù) )。證明：設(shè)一個整數(shù)為 a，則由一個整數(shù)的平方的個位數(shù)字為6 知，此數(shù)可設(shè)為a=10g+4 或 a=10g+6 (g 為整數(shù) )當 a=10g+4 時， a2=(10g+4) 2=100g2+80g+16=10(10g 2+8g+1)+6當 a=10g+6 時， a2=(10g+6) 2=100g2+120g+36=10(10g 2+12g+3)+622十位數(shù)字必為10g +8g+1 和 10g +12g+3 的個位數(shù)字，顯然是奇數(shù)。評注： 類似地， 可以證明： 一個

28、整數(shù)的個位數(shù)字和十位數(shù)字都是奇數(shù)，則這個整數(shù)不是完全平方數(shù)。例 4三人分糖，每人都得整數(shù)塊，乙比丙多得13塊，甲所得是乙的 2 倍，已知糖的總塊數(shù)是一個小于 50 的質(zhì)數(shù)，且它的各位數(shù)字之和為11，試求每人得糖的塊數(shù)。 （安徽省初中數(shù)學聯(lián)賽試題）分析：設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)題意，列出方程和不等式組，再通過質(zhì)數(shù)的性質(zhì)來求解。解 設(shè)甲、乙、丙分別得糖x、 y、z 塊，依題意得x2yyz13xyz50，且 xyz為質(zhì)數(shù) 11 2+9 3+8 4+7 5+6 ，故小于50 且數(shù)字和為11 的質(zhì)數(shù)只可能是29 和 47若 x+y+z 29，則可得 4y=42 ， y 不是整數(shù)，舍去。若 x+y+z 47，則可

29、得 4y=60 ， y15，從而 x=30， z=2甲、乙、丙分別得糖30、 15、 2 塊.評注：本題的關(guān)鍵是分析出小于50 且數(shù)字和為11 的質(zhì)數(shù)只可能是29 和47。這類問題是常利用質(zhì)數(shù)的性質(zhì)來分析求得所有的可能值，再設(shè)法檢驗求得所要的解。例 5 如果 p 與 p+2 都是大于 3 的質(zhì)數(shù)，那么 6 是 p+1 的因數(shù)。 (第五屆加拿大數(shù)學奧林匹克試題 )分析 任何一個大于3 整數(shù)都可以表示成6n-2,6n-1,6n,6n+1,6n+2,6n+3(n 是大于 0 的整數(shù) )中的一種，顯然6n-2,6n, 6n+2,6n+3 都是合數(shù)，所以大于3 的質(zhì)數(shù)均可以寫成6n+1或 6n-1 的形

30、式，問題即證明p 不能寫成 6n+1 的形式。解 因為 p 是大于 3 的質(zhì)數(shù)，所以可設(shè)p=6n+1(n 是大于 0 的整數(shù) )，那么p+2=6n+1+2=6n+3=3(2n+1)與 p+2 是大于 3 的質(zhì)數(shù)矛盾。于是 p 6n+1，所以 p=6n-1(n 是大于 0 的整數(shù) )，從而 p+1=6n ，即 6 是 p+1 的因數(shù)。評注：對大于 3 整數(shù)合理分類是解決這個問題的關(guān)鍵。 對無限多個整數(shù)進行討論時， 將其轉(zhuǎn)化為有限的幾類是一種常用的處理方法。例 6 證明有無窮多個n，使多項式 n2+3n+7 表示合數(shù)。分析：要使多項式 n2+3n+7 表示合數(shù)， 只要能將多項式n2+3n+7 表示

31、成兩個因式的積的形式。證明 當 n 為 7 的倍數(shù)時，即 n=7k(k 是大于等于 1 的整數(shù) )時n2+3n+7=(7k) 2 +37k+7=7(7k 2+3k+1)為 7 的倍數(shù)，所以它顯然是一個合數(shù)。評注：本題也可將 7 換成其他數(shù)，比如：3、 5、 11 等等。例7求證：22001+3 是合數(shù)分析：22001+3 不能分解， 22001 次數(shù)又太高，無法計算。我們可以探索2 n 的末位數(shù)字的規(guī)律，從而得出 22001+3 的末位數(shù)字，由此來證明22001+3 是合數(shù)。證明： 21 2， 22 4， 238， 24 16， 25 32， 26 64， 27 128， 29 256，,4k

32、+14k+24k+3的末位數(shù)字是 8， 24k+4的末2 的末位數(shù)字是 2，2的末位數(shù)字是 4， 2位數(shù)字是6（ k 為非負整數(shù)）而 200142001的末位數(shù)字是 2，22001的末位數(shù)字是 5250+1 2+35 22001+3，顯然 22001+3 5所以 22001+3是合數(shù)評注：本題另辟蹊徑，通過探索2n 的末位數(shù)字的規(guī)律來得出22001+3 的末位數(shù)字，從而證明 22001+3是合數(shù)。解數(shù)學競賽題，思路要開闊。例 8 求證大于 11 的整數(shù)一定可以表示成兩個合數(shù)之和。證明 設(shè)大于 11 的整數(shù)為 N若 N=3k(k ? 4,且 k 為整數(shù) )，則 N=6+3(k-2) ，顯然 6

33、和 3(k-2) 都是合數(shù)若 N=3k+1(k ? 4,且 k 為整數(shù) )，則 N=4+3(k-1) ，顯然 4 和 3(k-1) 都是合數(shù)若 N=3k+2(k ? 4,且 k 為整數(shù) )，則 N=8+3(k-2) ，顯然 8 和 3(k-2) 都是合數(shù)于是對任意正整數(shù) N(N>11) ，一定可以表示成兩個合數(shù)之和。評注：本題是通過對整數(shù)的合理分類來幫助解題，這是解決整數(shù)問題的一種常用方法。但要注意對整數(shù)的分類要不重復不遺漏。例 9 證明： n (n+1)+1(n 是自然數(shù) )不能是某個整數(shù)的平方。分析：注意到 n (n+1)+1=n 2+n+1 ， n 是自然數(shù)， n2<n2+n

34、+1<(n+1) 2，這為我們證題提供了出發(fā)點。證明： n (n+1)+1=n 2+n+1 ， n 是自然數(shù)， n2<n2+n+1<( n+1) 2，而 n、 n+1 是兩個相鄰的自然數(shù)， n (n+1)+1(n 是自然數(shù) )不能是某個整數(shù)的平方。評注：本題應用了在兩個相鄰正整數(shù)的平方數(shù)之間不可能還存在一個完全平方數(shù)這個結(jié)論。例 10 如果一個自然數(shù)是質(zhì)數(shù)，且它的數(shù)字位置經(jīng)過任意交換后仍然是質(zhì)數(shù)，則稱這個數(shù)為絕對質(zhì)數(shù)。證明：絕對質(zhì)數(shù)不能有多于三個不同的數(shù)字。分析：絕對質(zhì)數(shù)中出現(xiàn)的數(shù)字不會有偶數(shù)，也不會有5，因為有偶數(shù)和5 它就一定不是絕對質(zhì)數(shù)，則絕對質(zhì)數(shù)中出現(xiàn)的數(shù)字只可能是1

35、，3，7， 9。接下來用反證法來證明這個問題。證明：因為絕對質(zhì)數(shù)的數(shù)字位置經(jīng)過任意交換后仍然是質(zhì)數(shù)，所以絕對質(zhì)數(shù)中出現(xiàn)的數(shù)字不會有偶數(shù)，也不會有5，即絕對質(zhì)數(shù)中出現(xiàn)的數(shù)字只可能是1， 3， 7，9。假設(shè)有一個絕對質(zhì)數(shù)M 中出現(xiàn)的數(shù)字超過了3 個，也即這個絕對質(zhì)數(shù)中出現(xiàn)的數(shù)字包含了1， 3， 7， 9，則M 1 a1a2an1379M 1379 ， M 2=M+9137 ， M 3=M+7913 ，M 4 =M+3791 ，M 5=M+1397 ， M 6=M+3197 ， M 7=M+7139 都是質(zhì)數(shù)?？沈炞C，這七個數(shù)中每兩個數(shù)的差都不能被7 整除，說明 M 1、M2、 M3、M4、M 5、

36、 M 6、M 7 被 7 除所得余數(shù)互不相同。因而必有一個是0，即能被 7 整除，這與此數(shù)是質(zhì)數(shù)矛盾。 所以假設(shè)不成立， 所以絕對質(zhì)數(shù)不能有多于三個不同的數(shù)字。評注：本題是用反證法來證明，對于題目中出現(xiàn)“不”的字眼，常常用反證法來證明。六、三、鞏固練習選擇題1、在整數(shù)0、 1、2、 3、 4、5、 6、 7、 8、 9 中，設(shè)質(zhì)數(shù)的個數(shù)為x，偶數(shù)的個數(shù)為y，完全平方數(shù)的個數(shù)為z，合數(shù)的個數(shù)為u，則 x+y+z+u 的值是 ()A、17B、 15C、13D、112、設(shè) n 為大于 1 的自然數(shù)， 則下列四個式子的代數(shù)值一定不是完全平方數(shù)的是（）A 、 3n2-3n+3B、 5n2-5n-5C、

37、9n2-9n+9D 、 11n2-11n-113、有 3 個數(shù)，一個是最小的奇質(zhì)數(shù)，一個是小于50 的的最大質(zhì)數(shù)，一個是大于60 的最小質(zhì)數(shù)，則這3 個數(shù)的和是 ()A 、 101B 、110C、 111D、 1134、兩個質(zhì)數(shù)的和是49，則這兩個質(zhì)數(shù)的倒數(shù)和是()94498645A、 49B、 94C、 45D、 865、 a、b 為正整數(shù)，且 56a+392b 為完全平方數(shù)，則a+b 的最小值等于 ()A 、 6B 、7C、 8D、 96、 3 個質(zhì)數(shù) p、q、 r 滿足等式 p+q=r ，且 p<q<r ，則 p 的值是 ()A 、 2B、 3C、 5D、 7填空題7、使得

38、m2+m+7 是完全平方數(shù)的所有整數(shù)m 的積是8、如果一個正整數(shù)減去54，是一個完全平方數(shù)，這個正整數(shù)加上35后，是另外一個完全平方數(shù)，那么這個正整數(shù)是9、一個質(zhì)數(shù)的平方與一個正奇數(shù)的和等于125，則這兩個數(shù)和積是10、 p 是質(zhì)數(shù)， p2+2 也是質(zhì)數(shù)，則 1997+p4=11、若 n 為自然數(shù)， n+3 ， n+7 都是質(zhì)數(shù)，則n 除以 3 所得的余數(shù)是12、設(shè)自然數(shù) n1>n2，且n2n2 79，則 n1=，n2=12解答題13、證明：不存在這樣的三位數(shù)abc ，使 abcbcacab 成為完全平方數(shù)。14、試求四位數(shù) xxyy ，使它是一個完全平方數(shù)。15、a、b、c、d 都是質(zhì)

39、數(shù)，且 10<c<d<20 ，c-a 是大于 2 的質(zhì)數(shù)， d 2-c 2=a3b(a+b)，求 a、b、 c、 d 的值m ab cd 21 a 2b 2c 2d 216、設(shè) a、b、c、d 是四個整數(shù)， 且4是非零整數(shù)，求證： m 是合數(shù)。17、求一個三位數(shù)，使它等于n2，并且各位數(shù)字之積為n-1.、n是任意兩個大于3 的質(zhì)數(shù)， M= n121 ，N= n221 ，M 與 N 的最大公約數(shù)18、設(shè) n1 2至少為多少？19、證明有無窮多個n，使多項式n2+n+41 表示合數(shù)。20、已知 p 和 8p2+1 都是質(zhì)數(shù)，求證：8p2 -p+2 也是質(zhì)數(shù)。初一數(shù)學競賽講座 (一

40、 )自然數(shù)的有關(guān)性質(zhì)七、一、知識要點1、 1、 最大公約數(shù)定義 1 如果 a1,a2 ,an 和 d 都是正整數(shù)，且 d a1,d a2, d an ，那么 d 叫做 a1 ,a2, ,an的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的叫做a1,a2 , ,an 的最大公約數(shù)，記作(a1,a2, ,an).如對于 4、 8、12 這一組數(shù)，顯然1、 2、 4 都是它們的公約數(shù)，但4 是這些公約數(shù)中最大的，所以 4 是它們的最大公約數(shù)，記作(4,8,12)=4.2、 2、 最小公倍數(shù)n 和 m 都是正整數(shù)，且a1 m, a2 m, , an m，那么 m 叫做定義 2 如果 a1 2,a ,aa1,a2, ,an 的

41、公倍數(shù)。公倍數(shù)中最小的數(shù)叫做a1,a2, ,an 的最小公倍數(shù)，記作a1,a2, ,an.如對于 4、 8、12 這一組數(shù)，顯然24、 48、 96 都是它們的公倍數(shù)，但24 是這些公倍數(shù)中最小的，所以24 是它們的最小公倍數(shù)，記作 4,8,12=24.3、 3、 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的性質(zhì)性質(zhì) 1 若 a b, 則(a,b)=a.性質(zhì) 2 若 (a,b)=d, 且 n 為正整數(shù)，則 (na,nb)=nd.a ba, b,性質(zhì) 3 若 n a, n b, 則 n nn.性質(zhì) 4 若 a=bq+r (0 ? r<b), 則 (a,b)= (b,r) .性質(zhì) 4 實質(zhì)上是求最大公約數(shù)的一種

42、方法，這種方法叫做輾轉(zhuǎn)相除法。性質(zhì) 5 若 b a, 則 a,b=a.性質(zhì) 6 若 a,b=m, 且 n 為正整數(shù)，則 na,nb=nm.a , ba, b性質(zhì) 7 若 n a, n b, 則 n nn.4、 4、 數(shù)的整除性定義 3 對于整數(shù) a 和不為零的整數(shù)b，如果存在整數(shù)q，使得 a=bq成立，則就稱b 整除 a 或 a 被 b 整除，記作b a，若b a，我們也稱a 是 b 倍數(shù)；若b 不能整除 a，記作 ba5、 5、數(shù)的整除性的性質(zhì)性質(zhì) 1 若 a b，b c，則 a c性質(zhì) 2 若 c a，c b，則 c(a ±b)性質(zhì) 3 若 b a, n 為整數(shù)，則b na6、 6、 同余定義 4設(shè) m是大于 1 的整數(shù)，如果整數(shù)a， b 的差被 m整除，我們就說a，b 關(guān)于模 m同余，記作 ab(mod m) 7、 7、 同余的性質(zhì)性質(zhì) 1 如果 ab(mod m)，cd(mod m)，那么 a±cb±d(mod m)，acbd(mod m)性質(zhì) 2如果 ab(mod m)，那么對任意整數(shù)k 有 kakb(mod m)性質(zhì) 3如果 ab(mod m)，那么對任意正整數(shù)kkk 有 ab(mod m)abm性質(zhì) 4 如果 ab(mod m)， d 是 a， b 的公約數(shù)，那么 dmoddm, d八、二、例題精講例 1 設(shè) m 和 n