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1、深圳市高級(jí)中學(xué)2011屆第二套高考模擬試卷理科數(shù)學(xué)一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分。每小題只有一個(gè)正確答案)。1若則a(-2,2) b(-2,-1) c(0,2) d (-2,0)2已知且,則的值為a b c d3已知a、b、c成等差數(shù)列,則直線被曲線截得的弦長(zhǎng)的最小值為a b c d24程序框圖如圖,如果程序運(yùn)行的結(jié)果為s132,那么判斷框中應(yīng)填入a. bcd5.已知為的邊的中點(diǎn),所在平面內(nèi)有一點(diǎn),滿足,設(shè),則的值為 a1 b c2 d6設(shè)x,y滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)的最大值為6,則的最大值為 a9 b6 c3 d 27在直三棱柱abcabc中,分別為棱ac、ab上的動(dòng)點(diǎn)(
2、不包括端點(diǎn)),若則線段de長(zhǎng)度的取值范圍為a b c d8. 設(shè)函數(shù)其中表示不超過(guò)的最大整數(shù),如=-2,=1,=1,若直線y=與函數(shù)y=的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn),則的取值范圍是a b c d 二、填空題(本大題共6小題分,每小題5分,共30分。其中14,15小題為選做題,考生從給出的二道選做題中選擇其中一道作答,若二題全答的只計(jì)算前一題得分)9已知復(fù)數(shù)w滿足 (為虛數(shù)單位),則_10. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_11. 擲兩顆骰子得兩數(shù),則事件“兩數(shù)之和大于”的概率為_(kāi)12. 已知橢圓的左焦點(diǎn)是,右焦點(diǎn)是,點(diǎn)在橢圓上,如果線段的中點(diǎn)在軸上,那么 13. 已知對(duì)于任意實(shí)數(shù),函數(shù)滿足. 若方程有201
3、1個(gè)實(shí)數(shù)解, 則這2011個(gè)實(shí)數(shù)解之和為 14. (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知圓的極坐標(biāo)方程=2cos,直線的極坐標(biāo)方程為cos2sin+7=0,則圓心到直線的距離為_(kāi)15. (幾何證明選講選做題)如圖所示,圓o上一點(diǎn)c在直徑ab上的射影為d,cd=4,bd=8,則圓o的半徑等于_三、解答題(本大題共6小題,共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)16. (本小題滿分12分) 已知向量,.(1)若求向量,的夾角;(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最大值。17.(本小題滿分12分)甲有一個(gè)裝有個(gè)紅球、個(gè)黑球的箱子,乙有一個(gè)裝有個(gè)紅球、個(gè)黑球的箱子,兩人各自從自己的箱子里任取一球,并約定:所取兩球同
4、色時(shí)甲勝,異色時(shí)乙勝(,)()當(dāng),時(shí),求甲獲勝的概率;()當(dāng),時(shí),規(guī)定:甲取紅球獲勝得3分;取黑球獲勝得1分;甲負(fù)得0分求甲的得分期望達(dá)到最大時(shí)的,值;()當(dāng)時(shí),這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由18(本題滿分14分)如圖,=l , a, b,點(diǎn)a在直線l 上的射影為a1, 點(diǎn)b在l的射影為b1,已知ab=2,aa1=1, bb1=, 求: () 直線ab分別與平面,所成角的大小; ()二面角a1abb1的余弦值 19. (本題滿分14分)給定橢圓0,稱(chēng)圓心在原點(diǎn),半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為(1)求橢圓的方程及其“伴隨圓”方程;(2)若傾斜角為的直
5、線與橢圓c只有一個(gè)公共點(diǎn),且與橢圓的伴隨圓相交于m、n兩點(diǎn),求弦mn的長(zhǎng);(3)點(diǎn)是橢圓的伴隨圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線,使得與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn),求證:.20. (本小題滿分14分)已知函數(shù),為常數(shù)(1) 求函數(shù)的定義域;(2) 若時(shí),對(duì)于,比較與的大小;(3) 討論方程解的個(gè)數(shù)21(本小題滿分14分)已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,且滿足a1c,2snan an1r (1)若r6,數(shù)列an能否成為等差數(shù)列?若能,求滿足的條件;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由; (2)設(shè), 若rc4,求證:對(duì)于一切nn*,不等式恒成立理科數(shù)學(xué) 答案一、 d b d a c a c d二、 9. 10. 11
6、. 12. 5:3 13. 0 14. 15. 5三、解:(1)當(dāng)x = 時(shí),cos = = = -cosx=-cos = cos。 0,=; 6分(2) f(x)=2a·b+1=2(-cos2x+sinxcosx)+1=2sinxcosx-(2cos2x-1)=sin2x-cos2x=sin(2x-)。 9分 x,2x - ,2,故sin(2x-)-1, ,當(dāng)2x-= ,即x=時(shí),取得最大值,且f(x)max=1。 12分17.解:()由題意,甲、乙都取紅球的概率, 甲、乙都取黑球的概率,甲獲勝的概 3分()令表示甲的分?jǐn)?shù),則的取值為0,1,3, , , 013得的分布列如下:于是
7、; 又且,且 故當(dāng)時(shí),的最大值為 7分()由題意,兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色共有 種不同情形,每種情形都是等可能的,記甲獲勝為事件a,乙獲勝為事件b,則, 當(dāng)時(shí),甲、乙獲勝的概率相等,這個(gè)游戲規(guī)則是公平的;當(dāng)時(shí),甲獲勝的概率大于乙獲勝的概率,這個(gè)游戲規(guī)則不公平,有利于甲 12分18解法一: ()如圖, 連接a1b,ab1, , =l ,aa1l, bb1l, aa1, bb1 則bab1,aba1分別是ab與和所成的角rtbb1a中, bb1= , ab=2, sinbab1 = = bab1=45°rtaa1b中, aa1=1,ab=2, sinaba1= = , aba
8、1= 30°故ab與平面,所成的角分別是45°,30° 6分() bb1, 平面abb1在平面內(nèi)過(guò)a1作a1eab1交ab1于e,則a1e平面ab1b過(guò)e作efab交ab于f,連接a1f,則由三垂線定理得a1fab, a1fe就是所求二面角的平面角在rtabb1中,bab1=45°,ab1=b1b= rtaa1b中,a1b= = 由aa1·a1b=a1f·ab得 a1f= = ,在rta1ef中,sina1fe = = , 二面角a1abb1的余弦值解法二: ()同解法一() 如圖,建立坐標(biāo)系, 則a1(0,0,0),a(0,0,1)
9、,b1(0,1,0),b(,1,0)在ab上取一點(diǎn)f(x,y,z),則存在tr,使得=t , 即(x,y,z1)=t(,1,1), 點(diǎn)f的坐標(biāo)為(t, t,1t)要使,須·=0, 即(t, t,1t) ·(,1,1)=0, 2t+t(1t)=0,解得t= , 點(diǎn)f的坐標(biāo)為(, ), =(, ) 設(shè)e為ab1的中點(diǎn),則點(diǎn)e的坐標(biāo)為(0, ) =(,)又·=(,)·(,1,1)= =0, , a1fe為所求二面角的平面角又cosa1fe= = = = = ,二面角a1abb1的余弦值 14分19. 解:(1)因?yàn)?,所以,所以橢圓的方程為,伴隨圓的方程為. 4
10、分(2)設(shè)直線的方程,由得 由得,圓心到直線的距離為 所以。 8分(3)當(dāng)中有一條無(wú)斜率時(shí),不妨設(shè)無(wú)斜率,因?yàn)榕c橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),則其方程為或,當(dāng)方程為時(shí),此時(shí)與伴隨圓交于點(diǎn)此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(或且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的另一條直線是(或,即為(或,顯然直線垂直; 同理可證方程為時(shí),直線垂直. 10分當(dāng)都有斜率時(shí),設(shè)點(diǎn)其中,設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為,由,消去得到,即, ,經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到:, 因?yàn)?,所以有,設(shè)的斜率分別為,因?yàn)榕c橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn),所以是關(guān)于的方程:的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,因而,即. 14分20. 解:(1)由,得:, 函數(shù)的定義域 3分(2)令,則時(shí),。又(僅在時(shí),)在內(nèi)是增函數(shù),
11、6分當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), ,; 當(dāng)時(shí), 8分(3)討論方程解的個(gè)數(shù),即討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)因?yàn)椋援?dāng)時(shí),所以(僅在時(shí),)在內(nèi)是增函數(shù),又,所以有唯一零點(diǎn); 9分當(dāng)時(shí),由(2)知有唯一零點(diǎn); 10分當(dāng)時(shí),(僅在時(shí),)所以在內(nèi)是增函數(shù),又,所以有唯一零點(diǎn); 11分當(dāng)時(shí),或時(shí),遞增,時(shí),遞減 , ;時(shí), ; 時(shí), ,在區(qū)間,及內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn) 13分綜上,當(dāng)時(shí),方程有唯一解;當(dāng)時(shí),方程有三個(gè)解 14分21解:(1)n1時(shí),2a1a1 a2r,a1c0,2cca2r,n2時(shí),2snan an1r, 2sn1an1 anr,得2anan(an1an1)an0,an1an12 則a1,a3,a5,a2n1, 成公差為2的等差數(shù)列,a2n1a12(n1)a2,a4,a6,a2n, 成公差為2的等差數(shù)列,
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