三角恒等變換知識(shí)點(diǎn)梳理及經(jīng)典高考例題及解析

1、三角恒等變換【考綱說明】1、 掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.2、 能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明.3、 本部分在高考中約占5-10 分 .【趣味鏈接】1、 cos( )有的時(shí)候蠻無聊的，把人家好好的和 硬是弄得分居，結(jié)果上去調(diào)停的還是她；sin( )也會(huì)做差不多的事，但他比較懶,不變號(hào) .2、 tan 很寂寞很寂寞，于是數(shù)學(xué)家看不下去了，創(chuàng)造了cot 陪陪他 .【知識(shí)梳理】1、兩角和與差的三角函數(shù)sin()sincoscos sin ； cos()coscossinsin；tan()tantan。1tantan2

2、、二倍角公式sin 22 sincos；cos2cos2sin 22 cos211 2 sin 2；tan 22 tan。1tan23、半角公式sin1cosc o s1c o s2222tan1cos（ tansin1 cos1cos1cossin）224、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)三角公式的逆用等。 （ 2）常用方法：直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；切割化弦，異名化同名，異角化同角；化簡(jiǎn)要求：能求出值的應(yīng)求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項(xiàng)數(shù)盡量少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。（ 1）降冪公式sincos1 sin 2； sin 21 cos2； cos21cos2.2 sin 2

3、22 cos2221cos 21cos 2（ 2）輔助角公式22其中b，a.a sin x b cos xabsin x，sina2b2cosa2b2積化和差公式：sincos1sin()sin()cossin1 sin()sin()22coscos1 cos()cos()sin sin1 cos()cos22和差化積公式： sinsin2sincos sinsin2cossin2222 coscos2 coscos coscos2 sinsin22225、三角函數(shù)的求值類型有三類（ 1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊

4、角的三角函數(shù)值問題；（ 2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如(),2()() 等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論；（ 3）給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。6、三角恒等式的證明（ 1）三角恒等式的證明思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡(jiǎn)、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同” ；（ 2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明?！窘?jīng)典例題】【例 1】 求證sin(

5、) sin()tan2sin 2cos21tan2【解析】左邊sincoscossin)(sincoscossin )sin 2cos2sin2cos2cos2sin 21cos2sin 21 tan2右邊sin 2cos2sin 2cos2tan2原式成立 .【例 2】 已知： sin · sin(2 ) ，求證： tan( ) 1m tan .【解析】由 sin m sin(21m )sin( ) m sin( ) sin( )cos cos( )sin msin( )cos cos( )sin (1 m) · sin( )cos (1 m) · cos( )

6、sin tan( ) 1m tan 1m【例 3】求 tan70 ° tan50 °3 tan50 ° tan70 °的值 .【解析】原式 tan(70° 50°)(1 tan70 ° tan50 ° ) 3 tan50 ° tan70 ° 3(1 tan70 ° tan50 °) 3 tan50 ° tan70 °3 3 tan70 ° tan50 °3 tan50 °tan70 °3 原式的值為3 【例 4】若

7、A、 B、 C是 ABC的內(nèi)角， cosB 1 , sinC 3 ,求 cosA 的值 .25【解析】cosB 1 , sinB 3 , 又 sinC 3 , cosC ± 4 ,2255若 cosC 4 ,則角 C 是鈍角 , 角 B 為銳角 , C 為銳角 , 而 sin( C) 3 ,55sinB 3 , 于是 sin( C)< sinB ，2 B> C, BABC【例 5】已知【解析】由已知又 cos4又 sin 5 4由4cos4 C> , 矛盾 , cosC 4 , cosC 4 ,55故： cos A cos(B C) (cos B cos C sin

8、 B sin C) 334 .10， 3，0，且 cos3， sin 512，求 cos444454134， 3，得3，4， 044423 ， sin44； 由0，4，得，25544sin4si n12 sin12 ， cos41341344，得 coscos44cossinsin45312433.4413513565.5131 sincossincos【例 6】 化簡(jiǎn)：22，其中2 .2 2 cos2 cos22 si ncossi ncos【解析】原式222224 cos222coscossinsincoscossin 2cos2cos ·cos2222222222 coscos

9、cos222【例 7】求證：cos· cos2， ， cos0 原式2cos222cos212 si ncx osx1tan xcos2 x si n2 x1tan xsin x1cosxcosxsinx2cos2 x sin2 x【解析】右邊cos xsin x2sin x cos xsin xcosxsin xcos xsin xcos x sin xcos2 xsin 2 x1cosx1 2sinx cos x左邊原命題成立cos 2 xsin 2 x【例 8】平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有點(diǎn)P 1， cosx ， Qxcos ， 1 ， x，.44（ 1）求向量 OP 與 OQ 的夾角

10、的余弦；（ 2）求 cos的最值。【解析】（ 1） OP·OQ2 cosx， OP OQ2xcosOP· OQ2 cosx|1 cos1cos2 x|OPO| Q|（ 2）( )2 cosx2cosfx1cos2x1cosxcosx x4， cosx2， 1又 2cosx13242cosx2 22f ( x)1 ，即2 2cos1 cosmi n22， cosmax1 .333【課堂練習(xí)】1、（ 2007 全國(guó)） 是第四象限角， cos 12，則 sin =（）13A. 5B. -5C.5D.-5131312122、（ 2009 北京）對(duì)任意的銳角 ， ，下列不等關(guān)系中正確

11、的是（）A.sin( + )>sin +sin B.sin( + )>cos +cos C.cos( + )<sin sin D.cos( + )<cos cos 3、（ 2008 北京）若角滿足條件sin2 <0， cossin<0，則 在（）A. 第一象限 B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限4、（ 2009 福建）已知 (,) ， sin= 3 , 則 tan() 等于（）254A. 1B.7C. 1D.7775、 (2008 海南理 )3sin 700=（）2cos2 1001B.2C. 2D.3A.2226、（ 2010 重慶） (cos12sin

12、)(cossin)（）121212A311D3BC22227、 (2008 安徽 ) 若 f(sinx)2 cos2x ，則 f(cosx)（）A.2 sin2xB.2 sin2xC.2cos2xD.2 cos2x8、（ 2010 北京）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(cos80 ,sin 80 ), B(cos 20 , sin 20 ) ，則 |AB| 的值是（）A 1B 2C 3D 12222 倍，則頂角 A 的正切值是（9、（ 2009 遼寧）已知等腰 ABC 的腰為底的）33151587210、 (2007 海南 ) 若cos22 ，則 cossin的值為（）sin247117222

13、211、（ 2009 湖北） tan2010 °的值為.12、（ 2008北京文）若角 的終邊經(jīng)過點(diǎn)(1,-2),則 tan 2 的值為.P13、（ 2010 重慶）已知, 均為銳角，且 cos()sin(),則 tan.14、（ 2007浙江理）已知 sincos1，且 3 ，則 cos 2的值是 _5246sincos15、（ 2010北京） 已知 tan=2，求：（ I ） tan() 的值；（II ）3sin的值242cos15sin()16、（ 2012全國(guó)）已知 為第二象限角，且sin =,求4的值 .4sin 2cos2117、（ 2011福建）已知x0,sin xco

14、s x1 .25（）求 sin xcos x 的值；（）求 sin 2x2 sin 2 x 的值 .1tan x18、（ 2010全國(guó)）已知 cos33求 cos 2的值 .4,225419、 (2008四川 )求函數(shù) y74sin x cosx4cos2 x4cos4 x 的最大值與最小值 .20、（ 2009四川）已知 cos1, cos()13 ,且0<< <,7142( )求 tan 2的值 .（）求 .【課后作業(yè)】1、sin 15ocos15o的值為（）oosin 15cos15A.3B.2626D.334C.42、 1 cos3 sin可化為（）22A.sin6B

15、.sinC.sinD.sin3633、若、0，且 tan4 ， tan1 ，則的值是（）237A.3B.4C.D.864、函數(shù) y8sin x coscxos2x 的周期為 T，最大值為 A，則（）A.T，A4B.T2，A4 C.T，A2D.T，A 21125、已知1，則 sin2的值為（）cossi nA.2 1B.1 2C.222D.2 2 26、已知 tan1 ，則 cos21 sin 2（）3264C.4D.6A.B.55557、設(shè) f (tan)xtan 2x，則 f( 2)（）A. 4B. 4C.2D.45338、 2 sin2 2cos4的值是（）A.sin2B.cos2C.3

16、cos2D.3 cos29、在 ABC中，若2 cosB si nAsi n C ，則 ABC的形狀一定是（）A. 等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D. 等邊三角形10、要使斜邊一定的直角三角形周長(zhǎng)最大，它的一個(gè)銳角應(yīng)是（）A.30 °B.45 °C.60 °D. 正弦值為1 的銳角311、已知向量 OB2， 0 ，向量 OC2， 2 ，向量 CA2 cos， 2 sin，則向量 OA 與 OB 的夾角范圍為（）A.0，4B.， 5C.5，D.， 5412122121212、已知： 3cos 25cos0 ，則 t antan的值為（）A.4B. 4C.

17、4D. 113、已知 sincos1 ，則 cos4_.314、函數(shù) y2 sin x cosx2 sin2 x1的最小正周期為 _.15、已知，且、 滿足關(guān)系式3 tantana2 tan3tan0 ，則 tan_.616、已知 f (x)1x 。若，則 f (cos)f (cos) 可化簡(jiǎn)為 _.1x217、求值： tan 70o cos10o · (3 tan20o1)18、已知函數(shù) fx()sin 2 x3 sincx osx12（ 1）求函數(shù) f ( x ) 的最小正周期；（ 2）求函數(shù)的最大值、最小值及取得最大值和最小值時(shí)自變量x 的集合；（ 3）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出

18、在每一個(gè)區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性.19、若已知 cosx3， 17x7，求 sin 2x2sin 2 x 的值 .451241tan x20、已知 、 為銳角，且3sin 22sin21， 3sin 22 si n20 . 求證：22【參考答案】【課堂練習(xí)】1、B2、D3、B4、A5、C6、D7、D8、D9、D10、C11、312、413 、1 14、733252tan22415、解：（ I ）因?yàn)?tan2,所以 tan2，21 tan21432tantantan 1411所以（ I ） tan()431tan4.41tantan17436sincos6tan16 (-4) 17（II ）33si

19、n2cos=2463tan323sin()2 (sincos)2(sincos )16、解：422 cos2.sin 2cos 2 12sin cos4 cos(sincos)當(dāng)為第二象限角，且sin15時(shí) cos1，sincos0，44sin()2所以4=2.sin 2cos214 cos17、解： ( ) 由 sin xcos x1, 得 (sin xcos x)2(1 )2, 得 2sinxcosx=24,5525 (sinx-cosxx)2=1-2sinxcosx=49, 又x 0, sinx<0 ， cosx>0, sinx cosx= 72525241sin 2x2si

20、n 2 x( )tan x12 sin x cos x 2sin 2 x2sin x cos x(sin x cos x)25 524sin x(sin x cos x)717515cos x18、解： cos(2)cos2cossin 2sin42 (cos 2sin 2).442347, cos()0 ,由此知37 ,444244sin(4)1cos2 ()1 (3)24.455從而 cos2sin(2)2sin() cos()2(4 )3242445525sin 2cos(22)1 2 cos2 (4)1 2(3) 27 .525cos(2)2(247 )3124225255019、解：

21、 y74sin xcos x4cos2 x4cos4 x72sin 2x4cos 2 x 1 cos2 x72sin 2x 4cos2 xsin 2 x72sin 2xsin 2 2x12sin 2x6由于函數(shù) zu126 在11， 中的最大值為zmax1261021；最小值為 zmin 1 16 6故當(dāng) sin 2x1時(shí) y 取得最大值10 ，當(dāng) sin 2x1 時(shí) y 取得最小值 6124320、解：（）由 cos，得 sin1211,0cos7772sin43743 ，于是 tan 22 tan24383 tan712cos1tan214347（）由 0<<<，得 02213 ， sin2又 cos1 cos211333141414由得： coscoscos cossinsin1134 33 31 ；所以.71471423【課后作業(yè)】1、D2、A3、B4、D5、C6、D7、D8、C9、A10、B11、D12、C13 、47 14、15、 3 1 a16、281sin17 、解：原式sin 70o· cos10o3 sin 20o13 co