全國中考數(shù)學(xué)(100套)壓軸題分類解析匯編專題9：幾何綜合問題

1、全國中考數(shù)學(xué)（100 套）壓軸題分類解析匯編專題 9：幾何綜合問題1. （ 2012 寧夏區(qū) 10 分）在矩形 ABCD 中， AB=2 ， AD=3,P 是 BC 上的任意一點（ P 與 B、 C 不重合），過點 P 作 AP PE，垂足為 P， PE 交 CD 于點 E.(1) 連接 AE ，當(dāng) APE 與 ADE 全等時，求 BP 的長；(2) 若設(shè) BP 為 x，CE 為 y，試確定y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)x 取何值時， y 的值最大？最大值是多少？(3) 若 PE BD ，試求出此時 BP 的長 .【答案】 解：（ 1） APE ADE ， AP=AD=3 。在 Rt ABP 中

2、， AB=2 ， BP= AP2AB 232225 。（ 2） AP PE， Rt ABP Rt PCE。AB BP，即2x 。 y1 x 23 x 。PCCE3xy22 y1231329xx(x)82222當(dāng) x3 時， y 的值最大，最大值是9 。28（ 2）設(shè) BP=x, 由（ 2）得 CE1 x 23 x 。22 PEBD ， CPE CBD 。CPCE3x1 x 23 x，22，CBCD即23化簡得3x 213x120。解得 x14 或 x 23 （不合題意，舍去） 。3當(dāng) BP= 4時， PE BD 。3【考點】 矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次

3、函數(shù)的最值，平行的性質(zhì)，解一元二次方程。【分析】（ 1）由 APE ADE 可得 AP=AD=3 ，在 Rt ABP 中，應(yīng)用勾股定理即可求得BP 的長。（2）由 AP PE，得Rt ABP Rt PCE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可列式得 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式。化為頂點式即可求得當(dāng)x3 時， y 的值最大，最大值是9 。28（ 3）由 PE BD ，得 CPE CBD ，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可列式可求得 BP 的長。2. （ 2012 山西省12 分）問題情境：將一副直角三角板（Rt ABC和 Rt DEF ）按圖1 所示的方式擺放，其中ACB=90° ， CA=CB

4、 ， FDE=90°， O 是AB 的中點，點D 與點 O 重合， DF AC 于點 M ， DE BC 于點 N ，試判斷線段OM 與 ON 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由探究展示：小宇同學(xué)展示出如下正確的解法：解： OM=ON ，證明如下：連接 CO，則 CO 是 AB 邊上中線，CA=CB ， CO 是 ACB 的角平分線 （依據(jù) 1）OM AC ， ON BC ， OM=ON （依據(jù) 2）反思交流：（ 1）上述證明過程中的 “依據(jù) 1”和 “依據(jù) 2”分別是指：依據(jù) 1：依據(jù) 2：（ 2）你有與小宇不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程拓展延伸：（3）將圖 1 中的 Rt DEF 沿著

5、射線BA 的方向平移至如圖2 所示的位置，使點D 落在 BA的延長線上， FD 的延長線與CA 的延長線垂直相交于點M ，BC 的延長線與DE 垂直相交于點 N ，連接 OM 、 ON ，試判斷線段OM 、ON 的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并寫出證明過程【答案】（ 1）解：等腰三角形三線合一（或等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合） ；角平分線上的點到角的兩邊距離相等。（ 2）證明： CA=CB ， A= B 。 O 是 AB 的中點， OA=OB 。 DF AC ， DEBC ， AMO= BNO=90° 。在 OMA 和 ONB 中， A= B ， OA=OB ，

6、AMO= BNO ， OMA ONB （AAS ）。 OM=ON 。（ 3）解： OM=ON ，OM ON。理由如下：連接 CO，則 CO 是 AB 邊上的中線。1 ACB=90° ， OC=AB=OB 。又 CA=CB ， CAB= B=45 ， 1= 2=45°， AOC= BOC=90° 。 2= B。BN DE ， BND=90° 。又 B=45°， 3=45°。 3= B 。 DN=NB 。 ACB=90° ， NCM=90° 。又 BN DE， DNC=90° 。四邊形DMCN 是矩形。 DN

7、=MC 。MC=NB 。 MOC NOB （ SAS）。 OM=ON ， MOC= NOB 。 MOC CON= NOB CON ，即 MON= BOC=90° 。OM ON。【考點】 等腰三角形的性質(zhì)， 角平分線的性質(zhì)， 全等三角形的判定和性質(zhì)， 矩形的判定和性質(zhì)。【分析】（ 1）根據(jù)等腰三角形和角平分線的性質(zhì)直接作答。（ 2）利用 AAS 證明 OMA ONB 即可。（ 3）利用 SAS 證明 MOC NOB 即可得到 OM=ON ， MOC= NOB 。通過角的等量代換即可得 MON= BOC=90° ，而得到 OM ON。3. （ 2012 福建廈門 10 分）已知

8、 ABCD ，對角線 AC 與 BD 相交于點 O，點 P 在邊 AD 上，過點 P分別作 PEAC 、 PF BD ，垂足分別為 E、 F， PEPF（ 1）如圖，若 PE 3， EO 1，求 EPF 的度數(shù)；（ 2）若點 P 是 AD 的中點，點 F 是 DO 的中點， BF BC 3 2 4，求 BC 的長【答案】 解：（ 1）連接 PO , PEPF， PO PO， PE AC 、PF BD， Rt PEO Rt PFO（ HL ）。 EPO FPO。在 Rt PEO 中， tan EPO EO 3， PE 3 EPO 30°。 EPF 60°。（ 2）點 P 是

9、AD 的中點，AP DP。又 PE PF， Rt PEA Rt PFD（ HL ）。 OAD ODA 。 OA OD 。 AC 2OA 2OD BD 。ABCD 是矩形。 點 P 是 AD 的中點，點F 是 DO 的中點，AO PF。 PFBD ， AC BD 。 ABCD 是菱形。 ABCD 是正方形。 BD 2BC 。332 BFBD ， BC 3 2 44BC ，解得， BC 4。4【考點】 平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)， 三角形中位線定理， 全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥浚?1）連接 PO，利用解直角三角形求出 EPO=30° ，再

10、利用 “HL”證明 PEO 和 PFO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得FPO= EPO，從而得解。（2）根據(jù)條件證出ABCD是正方形。根據(jù)正方形的對角線與邊長的關(guān)系列式計算即可得解。4. （ 2012 甘肅白銀 10 分）如圖，點 A ， B ，C， D 在 O 上， AB=AC ， AD 與 BC 相交于點E，AE1 ED ，延長 DB 到點 F，使 FB1 BD ，連接 AF22（ 1）證明： BDE FDA ；（ 2）試判斷直線 AF 與 O 的位置關(guān)系，并給出證明【答案】解（: 1）證明：在 BDE 和 FDA 中， FB 1， 1ED， BDED2 。2BD AE2FDAD3又 B

11、DE FDA ， BDE FDA。（ 2）直線 AF 與 O 相切。證明如下：連接 OA ， OB， OC， AB AC，BO CO， OA OA， OAB OAC（ SSS）。 OAB OAC 。 AO 是等腰三角形 ABC 頂角 BAC 的平分線。 AO BC。BDEFDA，得EBDAFD，F(xiàn)A。BE AO BE，AO FA。直線 AF 與 O 相切。【考點】 相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，切線的判定?！痉治觥浚?1）因為 BDE 公共，夾此角的兩邊BD ： DF=ED ：AD=2 ： 3，由相似三角形的判定，可知 BDE FDA 。（

12、 2）連接 OA 、OB 、OC，證明 OAB OAC ，得出 AO BC 再由 BDE FDA ，得出 EBD= AFD ，則 BE FA ，從而 AO FA，得出直線 AF 與 O 相切。5.201214ABCDAB=5BC=10FAD點， CE AB于 E，設(shè)ABC= （ 60°90°）（1）當(dāng) =60°時，求CE的長；（2）當(dāng)60° 90°時，是否存在正整數(shù)k，使得 EFD=k AEF ？若存在， 求出 k 的值； 若不存在， 請說明理由連接 CF，當(dāng) CE2CF2 取最大值時，求tan DCF 的值CE，即 sin60 °=

13、CE3【答案】 解：（ 1） =60°， BC=10 ， sin =10，解得 CE=5 3。BC2（ 2）存在 k=3 ，使得 EFD=k AEF 。理由如下：連接 CF 并延長交 BA 的延長線于點 G， F 為 AD 的中點， AF=FD 。在平行 四邊形 ABCD 中，AB CD， G= DCF 。在 AFG 和 CFD 中， G= DCF ， G= DCF ， AF=FD ， AFG CFD （ AAS ）。 CF=GF ， AG=CD 。CEAB ， EF=GF 。 AEF= G。AB=5 ， BC=10 ，點 F 是 AD 的中點， AG=5 ， AF= 1 AD= 1

14、 BC=5 。22 AG=AF 。 AFG= G。在 AFG 中， EFC= AEF+ G=2 AEF ，又 CFD= AFG ， CFD= AEF 。 EFD= EFC+ CFD=2 AEF+ AEF=3 AEF ，因此，存在正整數(shù)k=3，使得 EFD=3 AEF 。設(shè) BE=x ， AG=CD=AB=5 ， EG=AE+AG=5 x+5=10 x，在 Rt BCE 中， CE2=BC 2 BE2=100x2。22222。在 Rt CEG 中， CG =EG+CE =（10 x） +100 x =200 20x CF=GF（中已證）， CF2=（ 1 CG） 2= 1 CG2= 1 （200

15、 20x） =50244 5x 。2222（ x5225。CECF=100 x 50+5x= x +5x+50=2） +50+4當(dāng) x= 5，即點 E 是 AB 的中點時， CE 2CF2 取最大值。2此時， EG=10 x=10 5 = 15 ， CE=100 x 2 = 10025= 515，2242CG515152 tan DCF tan G15。EG32【考點】 銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，平行四邊形的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)， 直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)， 等腰三角形的性質(zhì)， 二次函數(shù)的最值，勾股定理?！痉治觥浚?1）利用 60°角的正弦值列式計

16、算即可得解。（2）連接 CF 并延長交BA 的延長線于點G，利用 “角邊角 ”證明 AFG 和 CFD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得 CF=GF ，AG=CD ，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得 EF=GF ，再根據(jù) AB 、BC 的長度可得 AG=AF ，然后利用等邊對等角的性質(zhì)可得 AEF= G= AFG ，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得 EFC=2 G，然后推出 EFD=3 AEF ，從而得解。設(shè) BE=x ，在 Rt BCE 中，利用勾股定理表示出CE 2，表示出EG 的長度，在Rt CEG中，利用勾股定理表示出 CG2，從而得到 CF2，然后相

17、減并整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答。6. （ 2012 廣東肇 慶 10 分）如圖，在 ABC 中， AB=AC ，以 AB 為直徑的 O 交 AC 于點E，交 BC 于點 D ，連結(jié) BE、 AD 交于點 P. 求證：（ 1）D 是 BC 的中點 ；（ 2） BEC ADC ；（ 3）AB CE=2DP AD 【答案】 證明：（ 1） AB 是 O 的直徑， ADB=90° ，即 AD BC 。 AB=AC ， D 是 BC 的中點。（ 2） AB 是 O 的直徑， AEB= ADB=90° ，即 CEB= CDA=90° ， C 是公共角， BEC ADC

18、 。（ 3） BEC ADC ， CBE= CAD 。 AB=AC ， AD=CD ， BAD= CAD 。 BAD= CBE 。 ADB= BEC=90° ， ABD BCE。 AB AD 。AB BC。BC BEADBE BC=2BD ， AB2BD ，即 ABBD 。ADBE2ADBE BDP= BEC=90°，PBD= CBE， BPD BCE 。 DP BD。CE BEABDP ，即 AB?CE=2DP?AD 。2ADCE【考點】 圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥?（ 1）由 AB 是 O 的直徑，可得AD BC，又由 AB=AC ，

19、由三線合一，即可證得D 是 BC 的中點。（ 2）由 AB 是 O 的直徑， AEB= ADB=90° ，又由 C 是公共角，即可證得 BEC ADC 。（ 3）易證得 ABD BCE 與 BPD BCE ，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例與 BC=2BD ，即可證得 AB?CE=2DP?AD 。7. （ 2012 貴州畢節(jié)14 分） 如圖， AB 是 O 的直徑， AC 為弦， D 是 BC 的中點，過點D作 EFAC 的延長線于 E，交 AB 的延長線于 E，交 AB 的延長線于 F。（1）求證： EF 是 O 的切線；（ 2）若 sin F= 1 ， AE=4 ，求 O 的半徑和

20、AC 的長。3【答案】（ 1）證明：連接OD ， D 是 BC 的中點，BOD= A 。 OD AC 。 EF AC ， E=90°。 ODF=90° 。 EF 是 O 的切線；（ 2）解：在 AEF 中， E=90°， sin F= 1 ， AE=4 ，3AE12 。 AFsinF設(shè) O 的半徑為 R，則 OD=OA=OB=R ， AB=2R 在 ODF 中， ODF=90° ， sin F= 1， OF=3OD=3R 。3 OF+OA=AF ， 3R+R=12 ， R=3。連接 BC，則 ACB=90° 。 E=90°， BC E

21、F。 AC ： AE=AB ：AF 。 AC ：4=2R ： 4R， AC=2 。 O 的半徑為3，AC 的長為 2?！究键c】 弧、圓周角和圓心角的關(guān)系，圓周角定理，平行的判定和性質(zhì)，切線的判定，銳角三角函數(shù)定義，平行線分線段成比例定理?！痉治觥浚?1）連接 OD，根據(jù)圓周角定理， 可得 BOD= A ，則 OD AC ，從而得出 ODF=90° ，即 EF 是 O 的切線。（ 2）先解直角 AEF ，由 sin F= 1 ，得出 AF=3AE=12 ，再在Rt ODF 中，由3sin F=1 ，得出 OF=3OD ，設(shè) O 的半徑為 R，由 AF=12 列出關(guān)于 R 的方程，解方程

22、即可3求出 O 的半徑。連接 BC，證明 BC EF，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出AC ：AE=AB ：8. （ 2012 江蘇泰州 12 分）如圖，已知直線 l 與 O 相離， OA l 于點 A ，OA=5 ，OA 與 O 相交于點P， AB 與 O 相切于點B， BP 的延長線交直線l 于點 C（ 1）試判斷線段 AB 與 AC 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（ 2）若 PC= 2 5 ，求 O 的半徑和線段 PB 的長；（ 3）若在 O 上存在點 Q，使QAC 是以 AC 為底邊的等腰三角形，求 O 的半徑 r 的取值范圍【答案】 解：（ 1） AB=AC 。理由如下：連接 OB。 AB

23、切 O 于 B， OA AC ， OBA= OAC=90° 。 OBP+ ABP=90° ， ACP+ CPB=90° 。 OP=OB ， OBP= OPB。 OPB= APC ， ACP= ABC 。 AB=AC 。（ 2）延長 AP 交 O 于 D，連接 BD，設(shè)圓半徑為r，則由 OA=5 得， OP=OB=r ，PA=5 r。又PC=2 5，2222222222（5 ABOAOB5r ，ACPCPA 25r） 。由（ 1） AB=AC2222r25（5得 5r），解得： r=3。 AB=AC=4 。 PD 是直徑， PBD=90° = PAC。 D

24、PB= CPA ， DPB CPA。 CPAP ，即2 52，解PDBP6BP得PB=6 5。 5（ 3）作線段 AC 的垂直平分線 MN ，作 OE MN ，則OE=1AC=1AB=152r 2 。222又圓 O 要與直線 MN 交點， OE= 1 52r2 r，2 r 5 。又圓 O 與直線 l 相離， r 5。 O 的半徑 r 的取值范圍為 5 r5【考點】 切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】（1）連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)和垂直得出OBA=OAC=90° ，推出 OBP+ ABP=90°

25、 ， ACP+ CPB=90° ，求出 ACP= ABC ，根據(jù)等腰三角形的判定推出即可。（2）延長 AP 交 O 于 D ，連接 BD ，設(shè)圓半徑為r，則 OP=OB=r ， PA=5 r，根據(jù) AB=AC 推出52r222CPAP2 5（5 r），求出 r，證 DPB CPA，得出PD，代入求出 PB 即可。BP（3）根據(jù)已知得出 Q 在 AC 的垂直平分線上，作出線段AC 的垂直平分線MN ，作 OE MN ，求出 OEr，求出 r 范圍，再根據(jù)相離得出r 5，即可得出答案。9. （ 2012 江蘇南京 10 分） 如圖， A 、 B 為 O 上的兩個定點， P 是 O 上的動

26、點（ P 不與A 、 B 重合），我們稱 APB 為 O 上關(guān)于 A、 B 的滑動角。（ 1）已知 APB 是 O 上關(guān)于點 A 、B 的滑動角。 若 AB 為 O 的直徑，則 APB= 若 O 半徑為 1， AB=2 ，求 APB 的度數(shù)（2）已知 O2 為 O1 外一點，以 O2 為圓心作一個圓與O1 相交于 A 、B 兩點，APB 為 O1上關(guān)于點 A 、B 的滑動角，直線 PA、PB 分別交 O2于點 M、N（點 M 與點 A、點 N 與點B 均不重合），連接 AN ，試探索 APB 與 MAN 、 ANB 之間的數(shù)量關(guān)系。0如圖，連接AB 、OA、OB在 AOB中， OA=OB=1A

27、B=2 ， OA 2+OB 2=AB 2。 AOB=90° 。當(dāng)點P 在優(yōu)弧AB上時（如圖1）， APB=1 AOB=45° ；2當(dāng)點P 在劣弧AB上時（如圖2）， APB= 1 （ 360° AOB ） =135°。2（ 2）根據(jù)點P 在 O1 上的位置分為以下四種情況第一種情況：點P 在 O2 外，且點 A 在點 P 與點 M 之間，點 B 在點 P 與點 N 之間，如圖3， MAN= APB+ ANB ， APB= MAN- ANB 。第二種情況：點 P 在 O2 外，且點 A 在點 P 與點 M 之間，點 N 在點 P 與點 B 之間，如圖 4，

28、 MAN= APB+ ANP= APB+ （ 180° ANB ）， APB= MAN+ ANB 180°。第三種情況：點P 在 O2外，且點 M 在點 P與點 A 之間，點 B 在點P 與點 N 之間，如圖5， APB+ ANB+ MAN=180° ， APB=180° MAN ANB 。第四種情況：點P 在 O2 內(nèi)，如圖6， APB= MAN+ ANB ?！究键c】 圓周角定理，勾股定理逆定理，三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)?！痉治觥浚?1）根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°即可得APB=90 0。根據(jù)勾股定理的逆定理可得AOB=90°

29、，再分點P 在優(yōu)弧AB上；點P 在劣弧AB上兩種情況討論即可。（2）根據(jù)點 P 在 O1 上的位置分為四種情況得到APB 與 MAN 、 ANB 之間的數(shù)量關(guān)系。10. （ 2012 四川宜賓 10 分） 如圖， O1、 O2 相交于 P、 Q 兩點，其中 O1 的半徑 r1=2，O2 的半徑 r2=2 過點 Q 作 CD PQ，分別交 O1 和 O2 于點 C D，連接 CP、DP ，過點 Q 任作一直線 AB 交 O1 和 O2 于點 A B ，連接 AP、 BP、 AC DB ，且 AC 與 DB的延長線交于點E（1）求證： PA2 ；PB（2）若 PQ=2，試求 E 度數(shù)【答案】（ 1

30、）證明： O1 的半徑 r1=2， O2 的半徑 r2=2 ， PC=4， PD=22 。 CD PQ， PQC= PQD=90° 。 PC PD 分別是 O1、 O2 的直徑，在O1 中， PAB= PCD，在 O2中， PBA= PDC， PAB PCD。 PAPBPAPC42。PD2 2PCPD ，即 PB（2）解：在 Rt PCQ 中， PC=2r1=4 ，PQ=2， cos CPQ= PQ1 。 CPQ=60°。PC2在 Rt PDQ 中， PD=2r 2=22 ， PQ=2， sinPDQ=PQ2PD。2 PDQ=45° 。 CAQ= CPQ=60&#

31、176; ， PBQ= PDQ=45° 。又 PD 是 O2 的直徑， PBD=90° 。 ABE=90° PBQ=45° 。在 EAB 中， E=180° CAQ ABE=75° 。答： E 的度數(shù)是 75°。【考點】 相交兩圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理?！痉治觥浚?1）求出 PC、PD，證 PAB PCD，得出 PAPBPAPC4，從而PD2 。PCPDPB2 2（ 2）由 cosCPQ= PQ1 ，求出 CPQ=60°，同理求出 PDQ=

32、45°。由圓周角定PC2理，得出 CAQ= CPQ=60° ， PBQ= PDQ=45° ，求出 PBD=90° ，求出 ABE=45° 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可。11. （ 2012 四川廣安 9 分）如圖，在 ABC 中， ABC= ACB ，以 AC 為直徑的 O 分別交 AB 、 BC 于點 M 、 N ，點 P 在 AB 的延長線上，且 CAB=2 BCP（1）求證：直線 CP 是 O 的切線（2）若BC=25 ， sin BCP=5，求點B到AC的距離5（3）在第（2）的條件下，求ACP的周長【答案】 解：（ 1） ABC=

33、ACB 且 CAB=2 BCP，在 ABC 中， ABC+ BAC+ BCA=180° ， 2 BCP+2 BCA=180° 。 BCP+ BCA=90° ，即 PCA=90° 。又 AC 是 O 的直徑，直線CP 是 O 的切線。（ 2）如圖，作 BD AC 于點 D，PCAC ， BD PC。 PCB= DBC 。C=255 ， sin BCP=5 sinDCDC5BCP sin DBC2 5，解得： DC=2 。BC5由勾股定理得：BD=4 。點 B 到 AC 的距離為4。（ 3）如圖，連接AN ，在 Rt ACN 中， AC=CN=CN=5=5，

34、sinDBCsinBCP55又 CD=2 ， AD=AC CD=5 2=3 。BD CP， ABD ACP 。 BDAD，即 43。 PC20 。PCACPC532在 Rt ACP 中， APAC2 +PC252 +2025 。33 ACP 的周長為 ACCP AP2025。5+ +2033【考點】 切線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義。【分析】（ 1）根據(jù) ABC= AC 且 CAB=2 BCP，在 ABC 中 ABC+ BAC+ BCA=180° ，得到 2 BCP+2 BCA=180° ，從而得到 B

35、CP+ BCA=90° ，證得直線 CP 是 O 的切線。（ 2）作 BD AC 于點 D，得到 BD PC，從而利用DCDC5求得 DC=2 ，再根據(jù)勾股定理求得點B到AC 的距sin BCP sin DBC2 55BC離為 4。（3）先求出 AC 的長度，然后由BD PC 求得 ABD ACP ，利用比例線段關(guān)系求得 CP 的長度，再由勾股定理求出AP 的長度，從而求得 ACP 的周長。12. （ 2012 四川達(dá)州 7 分）如圖，C 是以 AB 為直徑的 O 上一點，過 O 作 OE AC 于點 E，過點 A作O 的切線交 OE 的延長線于點F，連結(jié) CF 并延長交BA 的延長

36、線于點P.（ 1）求證： PC 是 O 的切線 .（ 2）若 AF=1 ， OA= 2 2 ，求 PC 的長 .【答案】 解：（ 1）證明：連結(jié)OC， OE AC ， AE=CE 。 FA=FC 。 FAC= FCA 。 OA=OC ， OAC= OCA 。 OAC+ FAC= OCA+ FCA ，即 FAO= FCO。 FA 與O 相切，且 AB 是O 的直徑，F(xiàn)AAB。 FCO= FAO=90° 。又 OC 是 O 的半徑， PC 是 O 的切線。（ 2） PC 是 O 的切線，PCO=90° 。而 FPA= OPC， PAF=90°， PAF PCO 。 P

37、AAF 。PCCO CO=OA= 2 2 ， AF=1 ， PC= 2 2 PA 。設(shè) PA=x ，則 PC= 2 2x在 Rt PCO 中，由勾股定理得， (22x) 2(22) 2(x22) 2 ，解得：4 2x 。7 PC 16。 7【考點】 切線的判定和性質(zhì)，垂徑定理， 圓周角定理， 相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。【分析】（1）連接 OC，根據(jù)垂徑定理，利用等角代換可證明FAC= FCA ，然后根據(jù)切線的性質(zhì)得出 FAO=90° ，然后即可證明結(jié)論。（ 2）先證明 PAF PCO，利用相似三角形的性質(zhì)得出PC 與 PA 的關(guān)系，在Rt PCO 中，利用勾股定理可得出x 的

38、值，從而也可得出PC 得長。13. （ 2012 四川德陽 14 分） 如圖，已知點 C 是以 AB 為直徑的 O 上一點， CH AB 于點 H ，過點 B 作 O 的切線交直線 AC 于點 D ，點 E 為 CH 的中點，連結(jié)并延交 BD 于點 F，直線 CF 交 AB 的延長線于 G.求證： AE·FD=AF· EC；求證： FC=FB ；若 FB=FE=2 ，求 O 的半徑 r 的長 .【答案】（ 1）證明： BD 是 O 的切線， DBA=90° 。 CH AB ， CH BD 。 AEC AFD 。 AEEC 。 AE?FD=AF?EC 。AFFD（2

39、）證明： CH BD ， AEC AFD ， AHE ABF 。 CEAEEH 。DFAFBF CE=EH （ E 為 CH 中點）， BF=DF 。 AB 為 O 的直徑， ACB= DCB=90° 。 CF=DF=BF ，即 CF=BF 。（ 3）解： BF=CF=DF （已證）， EF=BF=2 ， EF=FC 。 FCE= FEC。 AHE= CHG=90° ， FAH+ AEH=90° ， G+ GCH=90° 。 AEH= CEF， G= FAG 。 AF=FG 。 FB AG ， AB=BG 。連接 OC， BC， BF 切 O 于 B ，

40、 FBC= CAB 。 OC=OA ， CF=BF ， FCB= FBC， OCA= OAC FCB= CAB 。 ACB=90° ， ACO+ BCO=90° 。 FCB+ BCO=90° ，即OC CG。CG 是 O 切線。GBA 是 O 割線， FB=FE=2 ，由切割線定理得： （ 2+FG）2=BG×AG=2BG2，【注，沒學(xué)切割線定理的可由AGC CGB 求得】在 Rt BFG 中，由勾股定理得：2222 4FG12=0。BG =FG BF， FG解得： FG=6 ， FG=2（舍去）。由勾股定理得： AB=BG= 6222=4 2。 O 的

41、半徑 r 是 2 2 。【考點】 切線的判定和性質(zhì)， 等腰三角形判定和的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，切割線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】（1）由 BD 是 O 的切線得出 DBA=90° ，推出 CH BD ，證 AEC AFD ，得出比例式即可。（ 2）證 AEC AFD ， AHE ABF ，推出 BF=DF ，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出 CF=DF=BF 即可。（ 3）求出 EF=FC，求出 G= FAG，推出 AF=FG ，求出 AB=BG ，連接 OC， BC，求出 FCB= CAB 推出 CG 是 O 切線，由切割線定理 （或 A

42、GC CGB ）得出（ 2+FG ）2=BG×AG=2BG 2，在 Rt BFG 中，由勾股定理得出BG2=FG2 BF 2，推出 FG2 4FG 12=0，求出 FG 即可，從而由勾股定理求得AB=BG的長，從而得到O 的半徑 r。14. （ 2012 四川資陽 9 分）如圖，在 ABC 中， AB AC ， A 30°，以 AB 為直徑的 O交 B 于點 D，交 AC 于點 E ，連結(jié) DE ，過點 B 作 BP 平行于 DE ，交 O 于點 P，連結(jié)EP、 CP、 OP（ 1） (3 分)BD DC 嗎？說明理由；（ 2） (3 分)求 BOP 的度數(shù)；（ 3） (3

43、 分)求證： CP 是 O 的切線；如果你解答這個問題有困難，可以參考如下信息：為了解答這個問題，小明和小強做了認(rèn)真的探究，然后分別用不同的思路完成了這個題目在進行小組交流的時候，小明說：“設(shè) OP 交 AC 于點 G，證 AOG CPG” ；小強說： “過點 C 作 CH AB 于點 H，證四邊形CHOP 是矩形 ”【答案】 解：（ 1） BD=DC 。理由如下：連接AD ，AB 是直徑，ADB=90° 。 AB=AC ， BD=DC 。（ 2） AD 是等腰 ABC 底邊上的中線， BAD= CAD。 BDDE 。BD=DE 。BD=DE=DC 。 DEC= DCE 。 ABC 中， AB=AC ， A=30°， DCE= ABC= 1(180 ° 30°)=75 °。 DEC=75°。2 ED