新編基礎(chǔ)物理學(xué)第四章習(xí)題解答和分析

1、習(xí)題四4-1 觀察者a測(cè)得與他相對(duì)靜止的oxy平面上一個(gè)圓的面積是12 cm2，另一觀察者b相對(duì)于a以 0.8 c (c為真空中光速)平行于oxy平面作勻速直線運(yùn)動(dòng)，b測(cè)得這一圖形為一橢圓，其面積是多少？ 分析：本題考察的是長(zhǎng)度收縮效應(yīng)。解：由于b相對(duì)于a以勻速運(yùn)動(dòng)，因此b觀測(cè)此圖形時(shí)與v平行方向上的線度將收縮為，即是橢圓的短軸. 而與v垂直方向上的線度不變，仍為，即是橢圓的長(zhǎng)軸. 所以測(cè)得的面積為(橢圓形面積) =7.2cm2 4-2 長(zhǎng)度為1m的米尺l靜止于中，與軸的夾角系相對(duì)系沿軸運(yùn)動(dòng)，在系中觀察得到的米尺與軸的夾角為，試求：（1）系相對(duì)系的速度是多少？（2）系中測(cè)得的米尺的長(zhǎng)度？分析：

2、本題考察的是長(zhǎng)度收縮效應(yīng)。根據(jù)兩個(gè)參考系下米尺的不同長(zhǎng)度再結(jié)合長(zhǎng)度收縮效應(yīng)我們可以很方便的得到兩個(gè)參考系之間的相對(duì)速度解：（1）米尺相對(duì)系靜止，它在軸的投影分別為：米尺相對(duì)s系沿x方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)速度為v，為s系中的觀察者，米尺在x方向?qū)a(chǎn)生長(zhǎng)度收縮，而y方向的長(zhǎng)度不變，即故米尺與x軸的夾角滿足將與、的值代入可得：（2）在s系中測(cè)得米尺的長(zhǎng)度為：4-3 已知介子在其靜止系中的半衰期為。今有一束介子以的速度離開加速器，試問，從實(shí)驗(yàn)室參考系看來，當(dāng)介子衰變一半時(shí)飛越了多長(zhǎng)的距離？分析：本題考察的是時(shí)間膨脹效應(yīng)。根據(jù)靜止系中的半衰期加上時(shí)間膨脹效應(yīng)我們可以求出在實(shí)驗(yàn)室參考系中的半衰期，然后根據(jù)該半衰

3、期求出飛行距離。解：在介子的靜止系中，半衰期是本征時(shí)間。由時(shí)間膨脹效應(yīng)，實(shí)驗(yàn)室參系中的觀察者測(cè)得的同一過程所經(jīng)歷的時(shí)間為：因而飛行距離為：4-4 在某慣性系k中，兩事件發(fā)生在同一地點(diǎn)而時(shí)間相隔為。已知在另一慣性系中，該兩事件的時(shí)間間隔為，試問它們的空間間隔是多少？分析：本題考察的是時(shí)間膨脹效應(yīng)以及洛倫茲變換。根據(jù)時(shí)間膨脹效應(yīng)我們可以求出兩參考系的相對(duì)速度，繼而根據(jù)洛倫茲變換演化出空間間隔變換的公式求出該兩事件在s系中的空間間隔。解：在k系中，為本征時(shí)間，在系中的時(shí)間間隔為 兩者的關(guān)系為：故兩慣性系的相對(duì)速度為：由洛倫茲變換，系中兩事件的空間間隔為：兩件事在k系中發(fā)生在同一地點(diǎn)，因此有，故4-5

4、 慣性系相對(duì)另一慣性系沿x軸作勻速運(yùn)動(dòng)，取兩坐標(biāo)原點(diǎn)重合的時(shí)刻作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。在系中測(cè)得兩事件的時(shí)空坐標(biāo)分別為以及，已知在系中測(cè)得該兩事件同時(shí)發(fā)生。試問：（1）系相對(duì)系的速度是多少？（2）系中測(cè)得的兩事件的空間間隔是多少？分析：本題所考察的是洛倫茲變換的應(yīng)用問題。根據(jù)洛倫茲變換在不同參考系下兩個(gè)事件的時(shí)間變換關(guān)系，我們可以很方便的得到兩個(gè)參考系之間的相對(duì)速度。有了相對(duì)速度以后，再根據(jù)洛倫茲變換的空間變換關(guān)系，我們可以得到兩事件的空間間隔。解：（1）設(shè)系相對(duì)s系的速度為v，由洛倫茲變換，系中測(cè)得兩事件的時(shí)間為：由題意，因此有其中負(fù)號(hào)表示系沿系的方向運(yùn)動(dòng)。（2）由洛倫茲變換，系中測(cè)得的兩事件的空間位

5、置為：故空間間隔為：4-6 （1）火箭a和b分別以的速度相對(duì)于地球向方向飛行，試求由火箭b測(cè)得的a的速度。（2）若火箭a相對(duì)地球以0.8c的速度向方向運(yùn)動(dòng)，火箭b的速度不變，試問a相對(duì)b的速度是多少？分析：本題考察的是洛倫茲速度變換。在火箭b為靜止的參考系中，先求出地面參考系相對(duì)此參考系的運(yùn)動(dòng)速度（此即為兩個(gè)參考系之間的相對(duì)速度），然后由火箭a相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)速度以及洛倫茲速度變換公式求出火箭a相對(duì)火箭b的速度。解：（1）設(shè)火箭b的靜止系為s，則地面參考系相對(duì)s的運(yùn)動(dòng)速度為。在地面參考系中，火箭a的運(yùn)動(dòng)速度為，由洛倫茲速度變換公式可得火箭a相對(duì)火箭b的運(yùn)動(dòng)速度為：（2）由于s系相對(duì)地面參考系以方

6、向飛行，而在地面參考系中火箭a的運(yùn)動(dòng)速度為。則根據(jù)洛倫茲速度變換公式在s系中火箭a的運(yùn)動(dòng)速度為：所以火箭a相對(duì)火箭b的速度為：4-7 靜止在系中的觀察者測(cè)得一光子沿與x 軸成60°角的方向飛行，另一觀察者靜止于系中，系相對(duì)系為的速度沿x軸方向運(yùn)動(dòng)，試問系中的觀察者測(cè)得的光子運(yùn)動(dòng)方向是怎樣的？分析：本題考察的是洛倫茲速度變換。根據(jù)兩個(gè)參考系的相對(duì)速度以及光子在k系的速度，由洛倫速度變換可以求出光子在s系中的運(yùn)動(dòng)速度。解：已知系相對(duì)k系的速度為，光子速度為c，在k系中的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)榕cx軸成60°角，因此該光子在k系中的速度為。所以在系中光子的運(yùn)動(dòng)速度為：令該光子在系中的運(yùn)動(dòng)方向與

7、x軸成角，則有：4-8 子的靜止質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的207倍，靜止時(shí)的平均壽命，若它在實(shí)驗(yàn)室參考系中的平均壽命，試問其質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的多少倍？分析：本題考察的是時(shí)間膨脹效應(yīng)和相對(duì)論質(zhì)量問題。根據(jù)時(shí)間膨脹效應(yīng)我們可以求出該粒子在實(shí)驗(yàn)室參考系中的運(yùn)動(dòng)速度，然后根據(jù)該速度可以求出速度下的相對(duì)論質(zhì)量。解：設(shè)子在實(shí)驗(yàn)室參考系中的速度為、質(zhì)量為，依題意有：將的值代入得：當(dāng)子速度為時(shí)其質(zhì)量為：4-9 一物體的速度使其質(zhì)量增加了10%，試問此物體在運(yùn)動(dòng)方向上縮短了百分之多少？分析：本題涉及的是相對(duì)論質(zhì)量和長(zhǎng)度以收縮問題。根據(jù)質(zhì)量與靜止質(zhì)量之比可以求出該物體的運(yùn)動(dòng)速度，然后根據(jù)速度可以求出該物體在運(yùn)動(dòng)速度方

8、向上的長(zhǎng)度收縮。解：設(shè)物體速度為、質(zhì)量為、長(zhǎng)度為，靜止質(zhì)量和長(zhǎng)度分別為和，依題意有：因此，根據(jù)長(zhǎng)度收縮效應(yīng)有：所以在運(yùn)動(dòng)方向上縮短了：4-10 一電子在電場(chǎng)中從靜止開始加速，試問它應(yīng)通過多大的電位差才能使其質(zhì)量增加0.4%？此時(shí)電子速度是多少？（電子的靜能為0.511mev.）分析：此題考察的是相對(duì)論質(zhì)量與速度之間的關(guān)系。根據(jù)相對(duì)論質(zhì)量公式可以很方便的求出電子的運(yùn)動(dòng)速度，再根據(jù)能量守恒，求出加速所需的電位差。解：設(shè)電子速度為、質(zhì)量為，靜止質(zhì)量為，所加的電位差為u。依題意有：所以此時(shí)電子的速度為：根據(jù)能量守恒，有：4-11 已知一粒子的動(dòng)能等于其靜止能量的n倍，試求該粒子的速率。分析：該題考察的

9、是相對(duì)論的質(zhì)能關(guān)系式。根據(jù)粒子的動(dòng)能和靜能比可以求出該粒子總能量和靜能之比，這個(gè)比值也就是該粒子的質(zhì)量與靜止質(zhì)量之比，根據(jù)相對(duì)論質(zhì)量與速度的關(guān)系式，我們可以求出該粒子的速率，從而求出該粒子的動(dòng)量。解：依題意有：所以其質(zhì)量與靜止質(zhì)量之比為：根據(jù)相對(duì)論質(zhì)量與速度的關(guān)系有：所以該粒子的速度為：4-12 一靜止的粒子（質(zhì)量為），裂變成兩個(gè)粒子，速度分別為。求裂變過程的靜質(zhì)量虧損和釋放出的能量。分析：該題涉及到質(zhì)量虧損的概念和動(dòng)量守恒定律。由于反應(yīng)后的兩個(gè)粒子的質(zhì)量未知，因此我們可以根據(jù)兩個(gè)粒子之間的速度關(guān)系推導(dǎo)出二者的質(zhì)量比，又由于該兩個(gè)粒子的總動(dòng)能來源于該反應(yīng)的靜質(zhì)量虧損，因此結(jié)合反應(yīng)后兩個(gè)粒子的質(zhì)

10、量比以及各自的速度大小，我們可以求出該反應(yīng)的質(zhì)量虧損，從而求出該反應(yīng)所釋放的能量。解：設(shè)反應(yīng)后兩粒子的質(zhì)量分別為、，則根據(jù)動(dòng)量守恒定律有：（1）反應(yīng)前后總的能量守恒，所以有：（2）將（1）式代入（2）式，得：所以反應(yīng)前后的靜質(zhì)量虧損為：釋放出的能量為：4-13 試求靜止質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在恒力f作用下的運(yùn)動(dòng)速度和位移。在時(shí)間很短（）和時(shí)間很長(zhǎng)（）的兩種極限情況下，速度和位移值又各是多少？分析：根據(jù)力和動(dòng)量的關(guān)系，經(jīng)過積分后我們可以求解在恒力作用下的力與速度之間的關(guān)系，經(jīng)過再次積分，可以得到位移和力的關(guān)系。解：由于力代表的是動(dòng)量的變化率，因此有：將上式積分，由于力為恒力與時(shí)間無關(guān)，再代入初始條件（起始

11、時(shí)為靜止，即初速度為零）可得：因此可得速度與力之間的關(guān)系式：將上式再積分，并假定起始時(shí)所處位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，可得位移與力之間的關(guān)系：當(dāng)時(shí)，有：當(dāng)時(shí)，有：4-14 在原子核聚變中，兩個(gè)原子結(jié)合而產(chǎn)生原子。試求：（1）該反應(yīng)中的質(zhì)量虧損為多少？（2）在這一反應(yīng)中釋放的能量是多少？（3）這種反應(yīng)每秒必須發(fā)生多少次才能產(chǎn)生1w的功率？已知原子的靜止質(zhì)量為原子的靜止質(zhì)量為。分析：已知反應(yīng)前后各種反應(yīng)物和生成物的質(zhì)量，我們可以很方便的求出反應(yīng)前后的質(zhì)量虧損，并據(jù)此求出反應(yīng)所釋放的能量。解：反應(yīng)的質(zhì)量虧損為：該反應(yīng)所釋放的能量為：要達(dá)到1w的功率需要每秒鐘反應(yīng)的次數(shù)為：4-15 當(dāng)一個(gè)粒子所具有的動(dòng)能恰好等于

12、它的靜能時(shí)，試問這個(gè)粒子的速度有多大？當(dāng)動(dòng)能為其靜能的400倍時(shí)，速度有多大？分析：粒子的總能量可以用粒子的動(dòng)質(zhì)量與光速的平方的乘積來表示，而粒子的靜能則等于粒子的靜質(zhì)量與光速的平方的乘積，因上我們可以很方便的把粒子的動(dòng)能和靜能之比用粒子的速度表示出來。解：根據(jù)粒子的質(zhì)量和速度之間的關(guān)系可得：所以粒子的總能與靜能之比為：又該粒子的總能等于動(dòng)能與靜能之和，所以該粒子的動(dòng)能與靜能之比為：所以當(dāng)動(dòng)能等于靜能時(shí)，有：當(dāng)動(dòng)能等于靜能的400倍時(shí)，有：4-16同位素核由兩個(gè)質(zhì)子和一個(gè)中子組成，它的靜質(zhì)量為。（1）以為單位，的靜能為多少？（2）取出一個(gè)質(zhì)子使成為（靜質(zhì)量為）加一個(gè)質(zhì)子（靜質(zhì)量為），試問需要多

13、少能量？分析：本題涉及的是靜能以及質(zhì)量虧損的概念。粒子的靜能由粒子的靜質(zhì)量與光速的平方的乘積表示；而反應(yīng)前后總能量守恒的要求指明反應(yīng)進(jìn)行需要的能量由反應(yīng)前后的質(zhì)量虧損所決定。解：靜能為：當(dāng)從同位素氦核中取出一個(gè)質(zhì)子時(shí)，此時(shí)質(zhì)量虧損為：所以反應(yīng)需要能量為：4-17 把一個(gè)靜止質(zhì)量為的粒子由靜止加速到0.1c所需的功是多少？由速率0.89c加速到0.99c所需的功又是多少？分析：此題涉及到的是粒子的總能量與速度之間的關(guān)系。根據(jù)能量守恒定律，通過計(jì)算任一速度下的總能量即可求出從該速度下再增加0.1c的速度所需要做的功。解：粒子的靜能量為：速度為0.1c時(shí)，該粒子的總能量為：因此將粒子由靜止加速到0.1c所需要做的功為：同理粒子在速度為0.89c和0.99c時(shí)的總能量分別為： 所以將粒子由0.89c加事到0.99c時(shí)所需做的功為4-18 兩個(gè)靜止質(zhì)量都是的小球，其中，一個(gè)靜止，另一個(gè)以運(yùn)動(dòng)，在它們做對(duì)心碰撞后粘在一起，求碰后合成小球的靜止