20202021高中數(shù)學(xué)第三章三角函數(shù)3.1蝗制與任意角3.1.1角的概念的推廣學(xué)案湘教版必修2經(jīng)典實用

1、31.1角的概念的推廣學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握正角、負角和零角的概念，理解任意角的意義.2.熟練掌握象限角、終邊相同的角的概念，會用集合符號表示這些角知識鏈接1手表慢了5分鐘，如何校準(zhǔn)？手表快了半小時，又如何校準(zhǔn)？答可將分針順時針方向旋轉(zhuǎn)30°；可將時針逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°.2在初中角是如何定義的？答定義1：有公共端點的兩條射線組成的幾何圖形叫做角定義2：平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形叫做角3初中所學(xué)角的范圍是什么？答角的范圍是0°，360°預(yù)習(xí)導(dǎo)引1角的概念(1)角的定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位

2、置所成的圖形(2)角的表示方法：常用大寫字母a，b，c等表示；也可以用希臘字母，等表示；特別是當(dāng)角作為變量時，常用字母x表示(3)角的分類：一條射線繞著端點以逆時針方向的旋轉(zhuǎn)為正向，所成的角稱為正角，用正的角度來表示；順時針方向旋轉(zhuǎn)所成的角稱為負角，用負的角度來表示；不旋轉(zhuǎn)所成的角稱為零角，用0°表示2象限角角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊(除端點外)在第幾象限，就說這個角是第幾象限角如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限3終邊相同的角設(shè)aob，則所有以oa為始邊，ob為終邊的角都是與整數(shù)個周角的和，組成集合s|k·360

3、°，kz，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和.要點一任意角概念的辨析例1在下列說法中：0°90°的角是第一象限角；第二象限角大于第一象限角；鈍角都是第二象限角；小于90°的角都是銳角其中錯誤說法的序號為_答案解析0°90°的角是指0°90°，0°角不屬于任何象限，所以不正確120°是第二象限角，390°是第一象限角，顯然390°>120°，所以不正確鈍角的范圍是90°180°，顯然是第二象限角，所以正確銳角的范圍是0&#

4、176;90°，小于90°的角也可以是零角或負角，所以不正確規(guī)律方法判斷說法錯誤，只需舉一個反例即可解決本題關(guān)鍵在于正確理解各類角的定義隨著角的概念的推廣，對角的認識不能再停留在初中階段，否則判斷容易錯誤跟蹤演練1設(shè)a小于90°的角，b銳角，c第一象限角，d小于90°而不小于0°的角，那么有()abcabbaccd(ac) dcdb答案d解析銳角、0°90°的角、小于90°的角及第一象限角的范圍，如下表所示.角集合表示銳角b|0°<<90°0°90°的角d|0&#

5、176;<90°小于90°的角a|<90°第一象限角c|k·360°<<k·360°90，kz要點二象限角的判定例2在0°360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角(1)150°；(2)650°；(3)950°15.解(1)因為150°360°210°，所以在0°360°范圍內(nèi)，與150°角終邊相同的角是210°角，它是第三象限角(2)因為650°3

6、60°290°，所以在0°360°范圍內(nèi)，與650°角終邊相同的角是290°角，它是第四象限角(3)因為950°153×360°129°45，所以在0°360°范圍內(nèi)，與950°15角終邊相同的角是129°45角，它是第二象限角規(guī)律方法本題要求在0°360°范圍內(nèi)，找出與已知角終邊相同的角，并判斷其為第幾象限角，這是為以后證明恒等式、化簡及利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)的值打基礎(chǔ)跟蹤演練2給出下列四個說法：75°角是第四象限角；225

7、°角是第三象限角；475°角是第二象限角；315°是第一象限角，其中正確的有()a1個b2個c3個d4個答案d解析對于：如圖1所示，75°角是第四象限角；對于：如圖2所示，225°角是第三象限角；對于：如圖3所示，475°角是第二象限角；對于：如圖4所示，315°角是第一象限角要點三終邊相同的角的應(yīng)用例3在與角10030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角(1)最大的負角；(2)最小的正角；(3)360°720°的角解(1)與10030°終邊相同的角的一般形式為k·360&#

8、176;10030°(kz)，由360°<k·360°10030°<0°，得10390°<k·360°<10030°，解得k28，故所求的最大負角為50°.(2)由0°<k·360°10030°<360°，得10030°<k·360°<9670°，解得k27，故所求的最小正角為310°.(3)由360°k·360

9、6;10030°<720°，得9670°k·360°<9310°，解得k26，故所求的角為670°.規(guī)律方法求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值跟蹤演練3寫出與1910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式720°<360°的元素寫出來解由終邊相同的角的表示知與角1910°終邊相同的角的集合為：|k·360°1910°，kz720°<360&#

10、176;，即720°k·360°1910°<360°(kz)，3k<6(kz)故取k4,5,6.k4時，4×360°1910°470°；k5時，5×360°1910°110°；k6時，6×360°1910°250°.要點四區(qū)域角的表示例4寫出終邊落在陰影部分的角的集合解設(shè)終邊落在陰影部分的角為，角的集合由兩部分組成|k·360°30°<k·360°105

11、76;，kz|k·360°210°<k·360°285°，kz角的集合應(yīng)當(dāng)是集合與的并集：|k·360°30°<k·360°105°，kz|k·360°210°<k·360°285°，kz|2k·180°30°<2k·180°105°，kz|(2k1)180°30°<(2k1)180°105

12、6;，kz|2k·180°30°<2k·180°105°，或(2k1)·180°30°<(2k1)180°105°，kz|n·180°30°<n·180°105°，nz規(guī)律方法解答此類題目應(yīng)先在0°360°上寫出角的集合，再利用終邊相同的角寫出符合條件的所有角的集合，如果集合能化簡的還要化成最簡本題還要注意實線邊界與虛線邊界的差異跟蹤演練4已知集合a|k·180°30&

13、#176;<<k·180°90°，kz，集合b|k·360°45°<<k·360°45°，kz求：(1)ab；(2)ab.解在直角坐標(biāo)系中，分別畫出集合a，b所包含的區(qū)域，結(jié)合圖形可知，ab|30°k·360°<<45°k·360°，kz，ab|k·360°45<<k·360°90°或k·360°210°<<

14、k·360°270，kz.1361°的終邊落在()a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限答案d2集合a|k·90°36°，kz，b|180°180°，則ab等于()a36°，54°b126°，144°c126°，36°，54°，144°d126°，54°答案c解析令180°k·90°36°180°，則144°k·90°216°

15、，當(dāng)k1,0,1,2時，不等式均成立，所對應(yīng)的角分別為126°，36°，54°，144°，故選c.3若角滿足180°<<360°，角5與有相同的始邊，且又有相同的終邊，那么角_.答案270°解析由于5與的始邊和終邊相同，所以這兩角的差應(yīng)是360°的整數(shù)倍，即54k·360°.又180°<<360°，令k3，得270°.4寫出終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合s.解終邊落在x軸上的角的集合：s1|k·180°，kz；終邊落在y軸上的

16、角的集合：s2|k·180°90°，kz；終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合：ss1s2|k·180°，kz|k·180°90°，kz|2k·90°，kz|(2k1)·90°，kz|n·90°，nz1.對角的理解，初中階段是以“靜止”的眼光看，高中階段應(yīng)用“運動”的觀點下定義，理解這一概念時，要注意“旋轉(zhuǎn)方向”決定角的“正負”，“旋轉(zhuǎn)量”決定角的“絕對值大小”2關(guān)于終邊相同角的認識一般地，若角始邊與x軸非負半軸重合，則所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集

17、合s|k·360°，kz，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和注意：(1)為任意角；(2)k·360°與之間是“”號，k·360°可理解為k·360°()；(3)相等的角終邊一定相同；終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360°的整數(shù)倍；(4)kz這一條件不能少一、基礎(chǔ)達標(biāo)1設(shè)a|為銳角，b|為小于90°的角，c|為第一象限的角，d|為小于90°的正角，則下列等式中成立的是()aabbbccacdad答案d2與405°角終邊相同的角是()

18、ak·360°45°，kzbk·180°45°，kzck·360°45°，kzdk·180°45°，kz答案c3.如圖，終邊落在直線y±x上的角的集合是()a|k·360°45°，kzb|k·180°45°，kzc|k·180°45°，kzd|k·90°45°，kz答案d4若是第四象限角，則180°是()a第一象限角b第二象限角c第三象限

19、角d第四象限角答案c解析可以給賦一特殊值60°，則180°240°，故180°是第三象限角5已知0°360°，的終邊與60°角的終邊關(guān)于x軸對稱，則_.答案60°6下列說法中，正確的是_(填序號)終邊落在第一象限的角為銳角；銳角是第一象限的角；第二象限的角為鈍角；小于90°的角一定為銳角；角與的終邊關(guān)于x軸對稱答案解析終邊落在第一象限的角不一定是銳角，如400°的角是第一象限的角，但不是銳角，故的說法是錯誤的；同理第二象限的角也不一定是鈍角，故的說法也是錯誤的；小于90°的角不一定為銳

20、角，比如負角，故的說法是錯誤的7在與角2013°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角(1)最小的正角；(2)最大的負角；(3)720°720°內(nèi)的角解(1)2013°6×360°147°，與角2013°終邊相同的最小正角是147°.(2)2013°5×360°(213°)，與角2013°終邊相同的最大負角是213°.(3)2013°6×360°147°，與2013°終邊相同也就是與147°

21、終邊相同由720°k·360°147°<720°，kz，解得：k2，1,0,1.代入k·360°147°依次得：573°，213°，147°，507°.二、能力提升8集合|k·180°45°k·180°90°，kz中，角所表示的范圍(陰影部分)正確的是()答案c9在180°360°范圍內(nèi)，與2000°角終邊相同的角為_答案160°，200°解析2000°

22、;200°5×360°，2000°160°6×360°，在180°360°范圍內(nèi)與2000°角終邊相同的角有160°，200°兩個10角，的終邊關(guān)于y軸對稱，若30°，則_.答案150°k·360°，kz解析30°與150°的終邊關(guān)于y軸對稱，的終邊與150°角的終邊相同150°k·360°，kz.11已知角x的終邊落在圖示陰影部分區(qū)域，寫出角x組成的集合解(1)x|k

23、3;360°135°xk·360°135°，kz(2)x|k·360°30°xk·360°60°，kzx|k·360°210°xk·360°240°，kzx|2k·180°30°x2k·180°60°，或(2k1)·180°30°x(2k1)·180°60°，kzx|n·180°30

24、76;xn·180°60°，nz12已知角的終邊在直線xy0上(1)寫出角的集合s；(2)寫出s中適合不等式360°<<720°的元素解(1)如圖，直線xy0過原點，傾斜角為60°，在0°360°范圍內(nèi)，終邊落在射線oa上的角是60°，終邊落在射線ob上的角是240°，所以以射線oa、ob為終邊的角的集合為：s1|60°k·360°，kz，s2|240°k·360°，kz，所以，角的集合ss1s2|60°k

25、3;360°，kz|60°180°k·360°，kz|60°2k·180°，kz|60°(2k1)·180°，kz|60°n·180°，nz(2)由于360°<<720°，即360°<60°n·180°<720°，nz.解得<n<，nz，所以n2，1,0,1,2,3.所以s中適合不等式360°<<720°的元素為：60°2×180°300°；60°1×180°120°；60°0×