方差分析第四章雙因素方差分析

1、 第四章第四章 雙因素方差分析雙因素方差分析 第一節(jié)第一節(jié) 雙因素無重復方差分析雙因素無重復方差分析一、數(shù)據(jù)描述一、數(shù)據(jù)描述表表4.1 b水平水平 a水平水平 b1 b2 bj bba1y11y12y1jy1ba2y21y22y2jy2baiyi1yi2yijyibaaya1ya2yajyab雙因素無重復實驗的典型數(shù)據(jù)雙因素無重復實驗的典型數(shù)據(jù)二、平方和及自由度的分解二、平方和及自由度的分解airjijtyys112)(總偏差總偏差aiiaibjiayybyys12112)()( 因素因素a偏差平方和偏差平方和aijaibjjbyyayys12112)()( 因素因素b偏差平方和偏差平方和ai

2、bjjiijeyyyys112)(aibjijijeyys112)(試驗偏差試驗偏差?bas 因素因素a與與b交互交互 影響偏差平方和影響偏差平方和aibjjiijjiyyyyyyyy112)(aibjjiijjiyyyyyyyy112)()()(aibjijtyys112)(總差分解總差分解:aibjjiijjaibjjiijiaibjjiaibjaibjjiijjaibjiyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy111111111122112)(2)(2)(2)()()(可以驗證三個的兩兩交叉項的累加和均為零可以驗證三個的兩兩交叉項的累加和均為零=0=0=0aibjjiyyyy11

3、)(aibjjiyyyy11)()(aibjbjjiyyyy111)(aibjbjjiybybyy111)/)(aiiybybyy10)(aibjjiijiyyyyyy11)(aibjjiijiyyyyyy11)()(aibjbjbjbjjiijiyyyyyy11111)(0)(1aiiiiybybbybyyy0)(11aibjjiijjyyyyyy同理同理:0)(11aibjjiijjyyyyyybjaiaiaiaijiijjyyyyyy11111)(bjaijiijjyyyyyy11)()(bjjjjyaayyaayyy10)(aibjaibjjiijjaibjiyyyyyyyy11112

4、2112)()()(aibjijtyys112)(總差分解總差分解:aijaibjjbyyayys12112)()(aiiaibjiayybyys12112)()(aibjjiijeyyyys112)(1 aa11abnt1) 1() 1(1baabbaabbate1bb自由度分析自由度分析) 1)(1() 1() 1(abbbaeaibjjiijeyyyys112)() 1)(1(abe分析分析 se 的自由度的自由度由它的定義式可看出由它的定義式可看出 受到受到 a個個 、b 個個 及一個及一個 的約束，為：的約束，為：ijy iyjyy111byybjj212byybjjabjajbyy

5、1111ayyaiibbjibayy1212ayyaiiyabyaibjij11111byybjj212byybjjabjajbyy1)(2111aaibjijyyybyaiiaibjijyby111yabayabyaiiaibjij/ )(111111byybjj212byybjjabjajbyy1111ayyaiibbjibayy1212ayyaiiaiibaiiaiibjajbjjbjjyyyyyy1121111211)(1121121111bjajbjjaiibaiiaiibjjyyyyyy)(32211abbybybyayayaybyairjijtntys1212nttbsaiia2

6、121nttasbjjb2121aaasveaavvf 比較（與臨界值),eaaff對是否接受對是否接受h0ab1211三、平方和的簡化計算三、平方和的簡化計算batessssbbbsvebbvvf 比較（與臨界值),ebbff方差來源方差來源平方和平方和s自由度自由度均方均方vf值值顯著性顯著性因素因素a因素因素b誤差誤差esasbsea-1b-1(a-1)(b-1)vavbvefafb總和總和stn-1雙因素方差分析表雙因素方差分析表表表4.2四、雙因素方差實例分析四、雙因素方差實例分析例例4.3 為研究三聚磷酸純度與聚合時間與溫度的關系為研究三聚磷酸純度與聚合時間與溫度的關系,經(jīng)試驗得如

7、下表的經(jīng)試驗得如下表的 純度數(shù)據(jù)純度數(shù)據(jù),試在顯著水平試在顯著水平a=0.05下分析聚合時間及溫度對純度的影下分析聚合時間及溫度對純度的影 響。響。純度數(shù)據(jù)表純度數(shù)據(jù)表 純度純度 溫度溫度 時間（小時）時間（小時） 3203403603802282.782.088.5862892.194.59495.03290.2949694.5解解: a表示聚合時間表示聚合時間;b表示溫度表示溫度,則則 a=3 , b=4, n=ab=12（1）建立原假設）建立原假設 個總體均值相等12:0h個總體均值不完全相等12:1h9691667.2651212airjijtntys（ 2）計算統(tǒng)計量）計算統(tǒng)計量50

8、16667.2151212nttbsaiia0625.351212nttasbjjb405.15batessss7508.10725016667.215aaasv6875.1130625.35bbbsv55209. 45675. 26875.11ebbvvf96721.415675. 27508.107eaavvf(4) 判斷判斷.對對a=0.05, 查查f分布分位數(shù)表得分布分位數(shù)表得:14. 5)6 , 2(),(05. 005. 0 ffea96721.41eaavvf而而).9 , 2(aaff 所以所以推斷因素推斷因素a是顯著的是顯著的,時間對純度有顯著影響時間對純度有顯著影響76.

9、4)6 , 3(),(05. 005. 0 ffeb55209. 45675. 26875.11ebbvvf).6 , 3(abff 所以所以推斷因素推斷因素b是不顯著的是不顯著的,即溫度對純度沒有顯著影響即溫度對純度沒有顯著影響 第二節(jié)第二節(jié) 雙因素等重復方差分析雙因素等重復方差分析一、數(shù)據(jù)描述一、數(shù)據(jù)描述表表4.1 b水平水平 a水平水平 b1 b2 bba1y111， y112 ，y11r y121， y122 ，y12r y1b1， y1b2 ，y1br a2y211， y212 ，y21ry221， y222 ，y22ry2b1， y2b2 ，y2braiyi11， yi12 ，yi

10、1ryi21， yi22 ，yi2ryib1， yib2 ，yibraaya11，ya12 ，ya1rya21，ya22 ，ya2ryab1，yab2 ，yabr雙因素等重復實驗的典型數(shù)據(jù)雙因素等重復實驗的典型數(shù)據(jù)bjjaiiaibjrkijkybyatabryabry111111111記號：記號： it：表示：表示a 取取i條件下的數(shù)據(jù)和條件下的數(shù)據(jù)和bjrkijkiyt11 jt：表示：表示b 取取j條件下的數(shù)據(jù)和條件下的數(shù)據(jù)和airkijkjyt11t：表示所有實驗數(shù)據(jù)的總和：表示所有實驗數(shù)據(jù)的總和aibjrkijkyt111ijy：表示：表示aibj條件下條件下r的數(shù)據(jù)的平均的數(shù)據(jù)的平

11、均rkijkijyry11 iy：表示：表示a i 下的下的br個數(shù)據(jù)的平均個數(shù)據(jù)的平均rkijkbjrkiybry1111ijt：表示：表示aibj條件下的數(shù)據(jù)和條件下的數(shù)據(jù)和rkijkijyt1 jy：表示：表示b i 下的下的ar個數(shù)據(jù)的平均個數(shù)據(jù)的平均airkijkjyary111二、平方和及自由度的分解二、平方和及自由度的分解aibjrkijktyys1112)(aiiaibjrkiayybryys121112)()(總偏差總偏差 因素因素a偏差平方和偏差平方和aijaibjrkjbyyaryys121112)()( 因素因素b偏差平方和偏差平方和aibjrkijijkeyys111

12、2)(試驗偏差試驗偏差?bas 因素因素a與與b交互交互 影響偏差平方和影響偏差平方和平方和分解平方和分解aibjrkijktyys1112)(aibjrkjiijjiijijktyyyyyyyyyys1112()()()(aibjrkjiijaibjrkjaibjrkiaibjrkijijktyyyyyyyyyys1112111211121112)()()()(asbsesbas 其中其中:六個交叉項均為零六個交叉項均為零baebatsssss故雙因素等重復實故雙因素等重復實驗方差分解式為驗方差分解式為:證明交叉項為零證明交叉項為零:)( )(111yyyyyyjiijaibjrkijijk

13、aibjrkijijkjiijyyyyyy111)()(aibjrkijrkijkjiijyyyyyy1111)(aibjijijjiijryryyyyy11)(0自由度分解自由度分解1 abrt1 aa1 bb) 1)(1() 1(babaabbababate) 1(1111rabababrbaabbaabr) 1( rabababre故雙因素等重復實故雙因素等重復實驗自由度分解式為驗自由度分解式為:ebabat三、偏差平方和的簡化計算三、偏差平方和的簡化計算aibjrkijktyys1112)(aibjrkaibjrkijkijkynyyy11121112aibjrkaibjrkijkij

14、kynnynyy1112111/2aibjrkijkynyny111222aibjrkijknty11122nttbryysaiiaibjrkia21211121)(nttaryysbjjaibjrkjb21211121)(aibjijaibjrkijkaibjrkijijketryyys112111211121)(ebatbasssssnttartbrtrsbjjaiiaibjijba21212112111四、雙因素等重復實驗方差分析程序四、雙因素等重復實驗方差分析程序 1. 提出原假設和備擇假設提出原假設和備擇假設h0: abij1211h1: 各總體均值不完全相等各總體均值不完全相等.

15、2. 計算統(tǒng)計量計算統(tǒng)計量aaasvbbbsvbababasveeesvebaebaessvebbvvf eaavvf ebabavvf 3. 判斷判斷對于給定的顯著水平對于給定的顯著水平a,查查f分布分位數(shù)表分布分位數(shù)表,因素因素a、b、ab的檢驗的檢驗臨界值分別為：臨界值分別為：),(),(),(ebaebeafff當當成立時，拒絕原假設成立時，拒絕原假設h0，認為總體的均值發(fā)生了顯著的變化，認為總體的均值發(fā)生了顯著的變化),(),(),(ebabaebbeaaffffff或或 為了提高對主效應的檢驗精度，應首先對為了提高對主效應的檢驗精度，應首先對ab進行檢驗，當進行檢驗，當 成立時，可

16、將其判為不顯著并與實驗誤成立時，可將其判為不顯著并與實驗誤差合并，記為差合并，記為 e ，用，用 e 去判斷因素去判斷因素a與與 b的主效應的主效應 ),(ebabaff即：即：ebbvvf eaavvf 3. 列方差分析表列方差分析表方差來源方差來源平方和平方和s自由度自由度均方均方v f值值 fa顯著性顯著性因素因素a因素因素b因素因素ab誤差誤差esasbsabsea-1b-1(a-1)(b-1)ab(r-1)vavbvabvefafbfab總和總和st abr-1 交互作用顯著時交互作用顯著時)ebf，（)ebaf，（)eaf，（ 交互作用不顯著時交互作用不顯著時方差方差來源來源平方平

17、方和和s自由度自由度均方均方vf值值顯著性顯著性因素因素a因素因素b因素因素ab誤差誤差e誤差誤差esasbsabsesea-1b-1(a-1)(b-1)ab(r-1)abr-a-bvavbvabvevefafbfab不顯著不顯著總和總和st abr-1)ebf，（)ebaf，（)eaf，（f五、雙因素等重復實驗方差實例分析五、雙因素等重復實驗方差實例分析例例4.3 一位工程師設計研制一種用在某種裝置內(nèi)的電池一位工程師設計研制一種用在某種裝置內(nèi)的電池.工程師決定考察工程師決定考察三種板極材料和三種溫度下對電池有效使用壽命的影響三種板極材料和三種溫度下對電池有效使用壽命的影響.在每種在每種板極材

18、料板極材料和溫度下檢測四個電池和溫度下檢測四個電池,實驗觀察所得電池使用壽命數(shù)據(jù)如表所示實驗觀察所得電池使用壽命數(shù)據(jù)如表所示: 溫度溫度b 材料材料ab1b1b3a1130 15574 18034 4080 7520 7082 58a2150 188159 126126 122106 11525 7058 45a3138 110168 160174 120150 13996 10482 60試在試在a=0.05下下,對實驗數(shù)據(jù)進行方差分析對實驗數(shù)據(jù)進行方差分析解解:a=b=3n=36r=475.7713421112ntysaibjrkijkt167.106331122aiianttbrs167

19、.390831122aijbnttars1:建立假設建立假設:2:計算統(tǒng)計量計算統(tǒng)計量75.1798011121112aibjijaibjrkijketrys6667.9437ebatbasssss3514331 abrt213a213b422) 1)(1() 1(babaabba2742235babate583.195412167.39083bbbsv5833.53162167.10633aaasv4167.235946667.9437bababasv9537.6652775.17980eeesv54291. 39537.6654167.2359ebabavvf98341. 79537.66

20、55833.5316eaavvf3437.29ebbvvf54291. 39537.665583.19541ebbvvf3. 判斷判斷:7277. 2),(54291. 3ebaabaff3541. 3),(9834. 7eaaaff3541. 3),(3437.29ebabffa與與b及及ab均產(chǎn)生顯著差異均產(chǎn)生顯著差異 第二節(jié)第二節(jié) 雙因素不等重復方差分析雙因素不等重復方差分析一、數(shù)據(jù)描述一、數(shù)據(jù)描述表表4.1 b水平水平 a水平水平 b1 b2 bba1y111， y112 ，y11r11y121， y122 ，y12r12 y1b1， y1b2 ，y1br1b a2y211， y212

21、 ，y21r21y221， y222 ，y22ry2b1， y2b2 ，y2br2baiyi11， yi12 ，yi1ri1yi21， yi22 ，yi2ryib1， yib2 ，yibribaaya11，ya12 ，ya1ra1ya21，ya22 ，ya2ryab1，yab2 ，yabrab雙因素不等重復實驗的典型數(shù)據(jù)雙因素不等重復實驗的典型數(shù)據(jù)bjjaiiaibjijaibjijaibjrkijkybyartryyij11111111111記號：記號： it：表示：表示a 取取i條件下的數(shù)據(jù)和條件下的數(shù)據(jù)和bjrkijkiijyt11 jt：表示：表示b 取取j條件下的數(shù)據(jù)和條件下的數(shù)據(jù)和

22、airkijkjijyt11t：表示所有實驗數(shù)據(jù)的總和：表示所有實驗數(shù)據(jù)的總和aibjrkijkijyt111ijy：表示：表示aibj條件下條件下r的數(shù)據(jù)的平均的數(shù)據(jù)的平均ijrkijkijijyry11ijt：表示：表示aibj條件下的數(shù)據(jù)和條件下的數(shù)據(jù)和ijrkijkijyt1 jy：表示：表示b i 下的下的ar個數(shù)據(jù)的平均個數(shù)據(jù)的平均airkijkjyary111 iy：表示：表示a i 下個數(shù)據(jù)的平均下個數(shù)據(jù)的平均bjijbjrkijkiryyij111 jy：表示：表示b j下數(shù)據(jù)的平均下數(shù)據(jù)的平均aiijairkijkjryyij111二、平方和及自由度的分解二、平方和及自由度

23、的分解aibjrkijktijyys1112)(aibjrkiaijyys1112)(aibjrkjbijyys1112)(總偏差總偏差 因素因素a偏差平方和偏差平方和 因素因素b偏差平方和偏差平方和aibjrkijijkeijyys1112)(試驗偏差試驗偏差 因素因素a與與b交互交互 影響偏差平方和影響偏差平方和平方和分解平方和分解aibjrkjiijijyyyy1112)(自由度分解自由度分解1 bb故雙因素等重復實故雙因素等重復實驗自由度分解式為驗自由度分解式為:ebabat1111nraibjijt1 aa) 1)(1() 1(babaabbaabnabraibjije11三、偏差平

24、方和的簡化計算三、偏差平方和的簡化計算aibjrkijktijyys1112)(aibjrkaibjrkijkijkijijynyyy11121112aibjrkaibjrkijkijkijijynnynyy1112111/2aibjrkijkijynyny111222aibjrkijkijnty11122ntrtyysaiiiaibjrkiaij2121112)(ntrtyysbjjjaibjrkjbij2121112)(aibjijijaibjrkijkaibjrkijijkertyyysijij11211121112)(ebatbasssssntrtrtrtrsbjjjaiiiaibji

25、jijba212121121四、雙因素不等重復實驗方差實例分析四、雙因素不等重復實驗方差實例分析例例4.4 某產(chǎn)品在兩種工藝條件下某產(chǎn)品在兩種工藝條件下,來自三個產(chǎn)地的原料來自三個產(chǎn)地的原料,測定所得的產(chǎn)品熔測定所得的產(chǎn)品熔點（點（）數(shù)據(jù)，）數(shù)據(jù)，如表所示如表所示:試對其進行方差分析（試對其進行方差分析（a=0.05） 原料產(chǎn)地原料產(chǎn)地b 工藝工藝ab1b1b3a1122，125，121123，126，125119，121a2128，126，125128，129125，123試在試在a=0.05下下,對實驗數(shù)據(jù)進行方差分析對實驗數(shù)據(jù)進行方差分析解解:a=2n=15b=36 .1154 .232

26、13023224621112ntysaibjrkijktij07.464 .23213007.232177212ntrtsaiiia1:建立假設建立假設:2:計算統(tǒng)計量計算統(tǒng)計量3211211rrr2232213rrr3 .394 .2321307 .232169212ntrtsbjjjb5 .225 .2322232322461121112aibjijijaibjrkijkertysij14115111aibjijtr112a2) 1)(1() 1(babaabba9321511abraibjije2131bb12. 751.223 .3967.466 .115bas56. 3212. 7bababasv5 . 2951.22eeesv42. 15 . 256. 3ebabavvf26. 4)9 , 2(),(42. 15 . 256. 305. 0ffvvfebaebaba即判斷即判斷ab很不顯著很不顯著,合并合并eebasss為與63.29ebaesss11ebae35.1769. 267.46eaavvf69. 21163.29eeesv30. 769. 265.19ebbvvf35.1769. 267