微積分二課后題答案復(fù)旦大學(xué)出版社第九章

1、第9章習(xí)題9-11 判定下列級(jí)數(shù)的收斂性：(1) （a0）； (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) ;(7) ; (8) 解：（1）該級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，公比為,且,故當(dāng),即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)即時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散. （2） 發(fā)散.（3）是調(diào)和級(jí)數(shù)去掉前3項(xiàng)得到的級(jí)數(shù)，而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散.（4）而,是公比分別為的收斂的等比級(jí)數(shù)，所以由數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)知收斂，即原級(jí)數(shù)收斂.（5）于是 故,所以級(jí)數(shù)發(fā)散. （6） 不存在，從而級(jí)數(shù)發(fā)散.（7） 級(jí)數(shù)發(fā)散.（8） ，故級(jí)數(shù)發(fā)散.2 判別下列級(jí)數(shù)的收斂性，若收斂則求其和：(1) ； (2) ;(3) ; (4) 解：（1）都收斂，且其和分別

2、為1和，則收斂，且其和為1+=.（2） 故級(jí)數(shù)收斂，且其和為.（3）,而，故級(jí)數(shù)發(fā)散.（4）,而,故不存在，所以級(jí)數(shù)發(fā)散.3 設(shè) (un0)加括號(hào)后收斂，證明亦收斂證：設(shè)加括號(hào)后級(jí)數(shù)收斂，其和為s.考慮原級(jí)數(shù)的部分和，并注意到，故存在,使又顯然對(duì)一切成立，于是，是單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列，因此，極限存在，即原級(jí)數(shù)亦收斂. 習(xí)題9-21 判定下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性：(1) ; (2) ;(3) ; (4) ；(5) (a0); (6) (a, b0);(7) (a0); (8) ；(9) ； (10) ;(11) ; (12) ；(13) ； (14) ;(15) ; (16) 解：（1）因?yàn)槎諗?/p>

3、，由比較判別法知級(jí)數(shù)收斂. （2）因?yàn)?，故原?jí)數(shù)發(fā)散. （3）因?yàn)?，而發(fā)散，由比較判別法知，級(jí)數(shù)發(fā)散.（4）因?yàn)?而是收斂的級(jí)數(shù),由比較判別法知,級(jí)數(shù)收斂.（5）因?yàn)?而當(dāng)時(shí)，收斂，故收斂; 當(dāng)時(shí)，= 發(fā)散，故發(fā)散; 當(dāng)時(shí)，故發(fā)散;綜上所述，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)時(shí)，收斂. （6）因?yàn)槎?dāng)時(shí), 收斂，故收斂; 當(dāng)時(shí)，發(fā)散，故而由, ,故也發(fā)散; 當(dāng)時(shí)，故發(fā)散;綜上所述知，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)b>1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂. （7）因?yàn)?而發(fā)散，故級(jí)數(shù)發(fā)散. （8）因?yàn)槎諗?，故?jí)數(shù)收斂.（9）因?yàn)橛蛇_(dá)朗貝爾比值判別法知，級(jí)數(shù)發(fā)散.（10）因?yàn)椋蛇_(dá)朗貝爾比值判別法知，級(jí)數(shù)發(fā)散. （11）因?yàn)?,由達(dá)朗貝爾

4、比值判別法知原級(jí)數(shù)收斂.（12）因?yàn)?，由達(dá)朗貝爾比值判別法知，級(jí)數(shù)收斂.（13）因?yàn)橛?知由達(dá)朗貝爾比值判別法知，級(jí)數(shù)收斂.（14）因?yàn)?，由柯西根值判別法知級(jí)數(shù)收斂.（15）因?yàn)槎鞘諗康牡缺燃?jí)數(shù)，它的每項(xiàng)乘以常數(shù)后新得級(jí)數(shù)仍收斂，由比較判別法的極限形式知，級(jí)數(shù)收斂. （16）因?yàn)槎c（12）題類(lèi)似地可證級(jí)數(shù)收斂，由比較判別法知級(jí)數(shù)收斂.2 試在(0，+)內(nèi)討論x在什么區(qū)間取值時(shí)，下列級(jí)數(shù)收斂：(1) ; (2) 解：（1）因?yàn)橛蛇_(dá)朗貝爾比值判別法知，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂;而當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)變?yōu)檎{(diào)，它是發(fā)散的.綜上所述，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂. （2）因?yàn)?由達(dá)朗貝爾比值判別法知，當(dāng)即時(shí)，原

5、級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)即時(shí)，原級(jí)收斂.而當(dāng)即時(shí)，原級(jí)數(shù)變?yōu)椋芍l(fā)散，綜上所述，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂.習(xí)題9-31 判定下列級(jí)數(shù)是否收斂，如果是收斂級(jí)數(shù)，指出其是絕對(duì)收斂還是條件收斂：(1) ; (2) ;(3) ; () ;(5) ； (6) ;(7) ; (8) (0x)解：（1）這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù), , 由萊布尼茨判別法知.又，由,及發(fā)散，知級(jí)數(shù)發(fā)散，所以級(jí)數(shù)條件收斂.（2）因?yàn)?故 而收斂，故亦收斂，由比較判別法知收斂，所以級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.（3）因?yàn)槎?jí)數(shù)收斂，由比較判別法知收斂，因此，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.（4）因?yàn)槎諗?，由比較判別法的極限形式知，級(jí)數(shù)收斂，從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. （5）因?yàn)?而級(jí)數(shù)收斂的等比級(jí)

6、數(shù);由比值判別法，易知級(jí)數(shù)收斂，因而收斂，由比較判別法知級(jí)數(shù)收斂，所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. （6）當(dāng)x為負(fù)整數(shù)時(shí)，級(jí)數(shù)顯然無(wú)意義；當(dāng)x不為負(fù)整數(shù)時(shí)，此交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足萊布尼茨判別法的條件，故它是收斂的，但因發(fā)散，故原級(jí)數(shù)當(dāng)x不為負(fù)整數(shù)時(shí)僅為條件收斂. （7）因?yàn)橛杀戎蹬袆e法知收斂()，從而由比較判別法知收斂，所以級(jí)數(shù)，絕對(duì)收斂. （8）因?yàn)閱握{(diào)下降趨于零，且部分和有界，故由迪里黑里判別法知級(jí)數(shù)收斂.又,由于發(fā)散，因單調(diào)趨于零，且有界，故由迪里黑里判別法知收斂,從而發(fā)散,由比較判別法知,發(fā)散，所以，原級(jí)數(shù) 條件收斂.注：迪里黑里判別法，若級(jí)數(shù)滿足條件：（1）部分和是有界的;（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)地趨于零;則級(jí)

7、數(shù)收斂.2 討論級(jí)數(shù)的收斂性(p0)解：當(dāng)時(shí)，由于收斂，故級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.當(dāng)時(shí)，由于 ,由萊布尼茨判別法知交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，然而，當(dāng)時(shí)，發(fā)散，故此時(shí)，級(jí)數(shù)條件收斂. 綜上所述，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)條件收斂;當(dāng)p>1時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.3 設(shè)級(jí)數(shù)及都收斂，證明級(jí)數(shù)及也都收斂證：因?yàn)?而由已知及都收斂，故收斂，從而收斂，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知也收斂，從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.又由及,以及收斂，利用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)知，收劍，亦即收斂.習(xí)題9-41 指出下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間：(1) (0!=1)； (2) ；(3) ； (4) (5) ； (6) 解：（1）因?yàn)?，所以收斂半徑，冪?jí)數(shù)的收斂區(qū)間為.（2）因?yàn)?，所?/p>

8、收斂半徑.當(dāng)x=e時(shí)，級(jí)數(shù)，此時(shí)，因?yàn)槭菃握{(diào)遞增數(shù)列，且<e所以>1,從而，于是級(jí)數(shù)當(dāng)x=e時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散. 類(lèi)似地，可證當(dāng)x=-e時(shí)，原級(jí)數(shù)也發(fā)散(可證),綜上所述，級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為(-e,e).（3）因?yàn)?所以收斂半徑為r=2.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)是收斂的p一級(jí)數(shù)（p=2>1）;當(dāng)x=-2時(shí)，級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，它滿足萊布尼茨判別法的條件，故它收斂.綜上所述，級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為-2,2.（4）此級(jí)數(shù)缺少偶次冪的項(xiàng)，不能直接運(yùn)用定理2求收斂半徑，改用達(dá)朗貝爾比值判別法求收斂區(qū)間.令，則.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，從而發(fā)散，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)變?yōu)?當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)變?yōu)?它們都是交錯(cuò)

9、級(jí)數(shù)，且滿足萊布尼茨判別法的條件，故它們都收斂.綜上所述，級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為-1,1.（5）此級(jí)數(shù)為（x+2）的冪級(jí)數(shù).因?yàn)?所以收斂半徑，即時(shí)，也即時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.當(dāng)即或時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)變?yōu)槭鞘諗康慕诲e(cuò)級(jí)數(shù)，當(dāng)x=0時(shí)，級(jí)數(shù)變?yōu)檎{(diào)和級(jí)數(shù),它是發(fā)散的.綜上所述，原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為-4,0).（6）此級(jí)數(shù)（x-1）的冪級(jí)數(shù)故收斂半徑.于是當(dāng)即時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 當(dāng)即或時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散. 當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)變?yōu)槭钦{(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散. 當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)變?yōu)?，是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù).綜上所述，原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為.2 求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 解：（1）可求得所給冪級(jí)數(shù)的收斂半

10、徑r=1.設(shè),則 又當(dāng)x=1時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂，且在x=1處連續(xù). （2）所給級(jí)數(shù)的收斂半經(jīng)r=1，設(shè),當(dāng)時(shí)，有 于是又當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散.故 （3）可求所給級(jí)數(shù)的收斂半徑為1. 令 令,則 所以;所以且.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為和,它們都收斂.且顯然有.故.（4）可求得所給級(jí)數(shù)的收斂半徑為r=1且時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，設(shè),則于是,即.所以 3 求下列級(jí)數(shù)的和：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 解：（1）考察冪級(jí)數(shù)，可求得其收斂半徑 ，且當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，因而，故當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，故冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為（-1，1）.設(shè)，則令,則.再令,則.故，從而有.于是 取，則.（2）考察冪級(jí)數(shù)，可求得收斂半徑r=1，設(shè)令,則.即 .于是 ，從而取則 （3）考察冪級(jí)數(shù)，可求得其級(jí)數(shù)半經(jīng)為r=1,因?yàn)?令，則.所以,于是 取，得. （4）考察冪級(jí)數(shù)，可求得其收斂半徑r=1. 設(shè) 則.又設(shè)則.從而,取，則習(xí)題9-51 將下列函數(shù)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)：(1) ; (2) ； (3) ; (4) ； (5)解：（1） （2） （3） （4） （5） 2 將下列函數(shù)在指定點(diǎn)處展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，并求其收斂區(qū)間：(1) 在x0； (2) cosx在x0=;(3) 在x0=1; (4) 在x0解：（1）因?yàn)?而即).所以.收斂區(qū)間為：（-1，3）. （2） 收斂區(qū)間為. （3）