特征根法求數(shù)列的遞推公式

1、專題 求遞推數(shù)列通項(xiàng)的特征根法一、形如是常數(shù)）的數(shù)列 形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)，其特征方程為 若有二異根，則可令是待定常數(shù)） 若有二重根，則可令是待定常數(shù)） 再利用可求得，進(jìn)而求得例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，解得，令，由，得， 例2已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，解得，令，由，得， 二、形如的數(shù)列 對于數(shù)列，是常數(shù)且） 其特征方程為，變形為 若有二異根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值。 這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是這樣可求得 若有二重根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值。 這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差

2、數(shù)列，于是這樣可求得例3已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，化簡得，解得，令 由得，可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，例4已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，即，解得，令 由得，求得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列， 淺談特征根法在求遞推數(shù)列通項(xiàng)中的運(yùn)用 高三數(shù)學(xué)組 徐朝生以往浙江每年高考理科數(shù)學(xué)都會考數(shù)列，而且往往以壓軸題出現(xiàn)，難度都比較大， 09年浙江高考理科沒有考數(shù)列大題，文科考了等差數(shù)列，題目相對簡單，但在全國其它省市中（如安徽、山東、廣東、寧夏、海南、天津、江西等）經(jīng)常考數(shù)列大題，題目有難有易，比如廣東和江西的較難。而各種數(shù)列問題在很多情形下，就是對數(shù)列通

3、項(xiàng)公式的求解。特別是在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問題中，數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。如：（08年廣東高考）設(shè)p、q為實(shí)數(shù)，、是方程x2-px+q=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，數(shù)列xn滿足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5) 1）2）求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式。3）若，求數(shù)列xn的前n項(xiàng)的和sn(09年江西高考)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 中，1）當(dāng)。像上述兩道題，如果不能順利求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，就不能繼續(xù)做后面的題，想得高分就難，對于那些有可能上重點(diǎn)大學(xué)的績優(yōu)學(xué)生來說重點(diǎn)大學(xué)之夢就可能是兩個(gè)字遺憾。本文就一、兩種題型進(jìn)行探討，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法之一特征根法

4、的運(yùn)用，希望能對部分同學(xué)有幫助。類型一、遞推公式為（其中p，q均為非零常數(shù)）。先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，其中滿足，顯然是方程的兩個(gè)非零根。1） 如果，則，成等比，很容易求通項(xiàng)公式。2） 如果，則成等比。公比為， 所以，轉(zhuǎn)化成： ，( i )又如果，則等差，公差為，所以，即： 可以整理成通式： ii)如果，則令，,就有，利用待定系數(shù)法可以求出的通項(xiàng)公式所以，化簡整理得： ，小結(jié)特征根法：對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中a，b由決定（即把和，代入，得到關(guān)于a、b的方程組）；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中a，b由決定（即把和，代入，得到關(guān)于a

5、、b的方程組）。簡例應(yīng)用（特征根法）：數(shù)列：， 的特征方程是：,。又由，于是故 下面再看特征根法在08年廣東高考題中的應(yīng)用：設(shè)p、q為實(shí)數(shù)，、是方程x2-px+q=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，數(shù)列xn滿足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5) 1）2）求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式。3）若，求數(shù)列xn的前n項(xiàng)的和sn解：2）顯然xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5)的特征根方程就是x2-px+q=0，而、是方程x2-px+q=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以可以直接假設(shè)：1 當(dāng)=時(shí)，設(shè)，因?yàn)閤1=p,x2=p2-q，所以 解得2 當(dāng)時(shí)，設(shè)，因?yàn)閤1=p,x2=p2-q，所以 解得，+3

6、），時(shí)，由第2）小題的項(xiàng)可以直接得到 ，可以用錯位相減法求和順利拿下第3）小題。本題是08年廣東高考真題，開始前兩問均以字母的形式出現(xiàn)，給考生設(shè)置了接題障礙，如果在考前曾經(jīng)學(xué)過特征根法，記住公式，那本題對這同學(xué)來說無疑是幾分種的事情，或?qū)μ卣鞲ㄓ幸欢ǖ牧私?，也許是多花點(diǎn)時(shí)間的問題，至少是接題思路和方向明確，絕不會象無頭蒼蠅一樣亂撞。知道特征根法的來龍去脈、公式、以及運(yùn)用也是學(xué)生能力拓展的一種表現(xiàn)。特征根法還能應(yīng)用于下面一種數(shù)列題型的解答：類型二、 解法：如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程,當(dāng)特征方程有且僅有一根時(shí),如果則；如果則是

7、等差數(shù)列。當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根、時(shí)，則是等比數(shù)列。（證明方法如同類型一，從略）例：已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于且求的通項(xiàng)公式. 解: 數(shù)列的特征方程為變形得其根為故特征方程有兩個(gè)相異的根，則有 即例：已知數(shù)列滿足：對于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當(dāng)取哪些值時(shí)，無窮數(shù)列不存在？解：作特征方程變形得特征方程有兩個(gè)相同的特征根(1)對于都有(2) 令，得.故數(shù)列從第5項(xiàng)開始都不存在， 當(dāng)4，時(shí)，.(3) 令則對于(4)、顯然當(dāng)時(shí)，數(shù)列從第2項(xiàng)開始便不存在.由本題的第（1）小題的解答過程知，時(shí)，數(shù)列是存在的，當(dāng)時(shí)，則有令則得且2.當(dāng)（其中且n2）時(shí)，數(shù)列從第項(xiàng)開始便不存在。于是知：當(dāng)在集合或且2上取值時(shí)，無窮數(shù)列都不存在。變式:（2005，重慶,文,22,本小題滿分12分）數(shù)列記（）求b1、b2、b3、b4的值；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和解：由已知,得,其特征方程為解之得,或, 下面再欣賞用特征根法解決09年江西高考真題各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 中，1）當(dāng)解：由得化間得，作特征方程，。所以，故形如型方法：不動點(diǎn)法:我們設(shè),由方程求得二根x,y,由有同理,兩式相除有,從而得,再解出即可.例1.