第六章方差分析(3)

1、第三節(jié)第三節(jié) 兩因素完全隨機設(shè)計兩因素完全隨機設(shè)計 試驗資料的方差分析試驗資料的方差分析 設(shè)試驗考察設(shè)試驗考察A、B兩個因素兩個因素 ，A因素分因素分a個水平，個水平，B因素分因素分b個水平。個水平。 所謂所謂交叉分組交叉分組是指是指A因素每個水平與因素每個水平與 B因素的每個水平都要碰到，兩者交叉搭配形因素的每個水平都要碰到，兩者交叉搭配形成成ab個水平組合即處理，試驗因素個水平組合即處理，試驗因素 A、B在在試驗中處于平等地位試驗中處于平等地位 。 一、兩因素交叉分組試驗資料的方差分析一、兩因素交叉分組試驗資料的方差分析 (一一) 兩因素單個觀測值試驗資料的兩因素單個觀測值試驗資料的 方差

2、分析方差分析 對于對于A、B 兩個試驗因素的全部兩個試驗因素的全部ab個水平個水平組合，每個水平組合只有一個觀測值，全試驗組合，每個水平組合只有一個觀測值，全試驗共有共有 ab 個觀測值，其數(shù)據(jù)模式如個觀測值，其數(shù)據(jù)模式如 表表5-17 所所示。示。 表表5-175-17兩因素單個觀測值試驗數(shù)據(jù)模式。兩因素單個觀測值試驗數(shù)據(jù)模式。A因素 B因素 合計 平均B1B2BjBbA1x11x12x1jx1bA2x21x22x2jx2b Aixi1xi2xijxibAaxa1xa2xajxab合計jxjx1x1x2x2xjxjxbxbx1x1xixix2x2xixixaxaxxx11111 ababij

3、ijijijxxxxab111 najijjijiixxxxa111 bbiijiijjjxxxxb兩因素單個觀測值試驗的數(shù)學(xué)模型為：兩因素單個觀測值試驗的數(shù)學(xué)模型為： (1,2, ;1,2, )ijijijxia jb式中式中 為總平均數(shù)；為總平均數(shù)； i，j分別為分別為Ai、Bj的效應(yīng)的效應(yīng): i=i-，j=j- i、j分別為分別為Ai、Bj觀測值總體平均數(shù)，觀測值總體平均數(shù)，且且i=0,j=0; ij 為隨機誤差為隨機誤差 ，相互獨立，相互獨立 ，且服從，且服從N (0，2)。 兩因素交叉分組單個觀測值的試驗資料，兩因素交叉分組單個觀測值的試驗資料，A因素的每個水平有因素的每個水平有b次

4、重復(fù)，次重復(fù)，B 因素的每個因素的每個水平有水平有a次重復(fù)，每個觀測值同時受到次重復(fù)，每個觀測值同時受到A、B 兩因素及隨機誤差的作用兩因素及隨機誤差的作用 。 因此全部因此全部ab 個觀測值的總變異可以分解個觀測值的總變異可以分解為為 A 因素水平間變異、因素水平間變異、B因素水平間變異及試因素水平間變異及試驗誤差三部分。驗誤差三部分。平方和與自由度的分解式平方和與自由度的分解式如下：如下：TABeTABeSSSSSSSSdfdfdfdf221111()ababTijijijijSSxxxC總平方和總平方和各項平方和與自由度的計算公式為各項平方和與自由度的計算公式為矯正數(shù)矯正數(shù)2xCab誤差

5、平方和誤差平方和 SSe=SST-SSA-SSB22111()bbBjjjjSSaxxxCaB因素平方和因素平方和22111()aaAiiiiSSbxxxCbA因素平方和因素平方和總自由度總自由度 dfT=ab-1A因素自由度因素自由度 dfA=a-1B因素自由度因素自由度 dfB=b-1誤差自由度誤差自由度 dfe= dfT - dfA dfB =(a-1)(b-1) 【例【例5-5】 為了研究不同的田間管理為了研究不同的田間管理方法對草莓產(chǎn)量的影響，方法對草莓產(chǎn)量的影響， 選擇了選擇了 6個不同個不同的地塊，每個地塊分成的地塊，每個地塊分成 3 個小區(qū)，隨機安個小區(qū)，隨機安排排3種田間管理

6、方法，所得結(jié)果見種田間管理方法，所得結(jié)果見表表5-185-18，試作方差分析。試作方差分析。 表表5-18 5-18 各品系草莓不同管理措施的產(chǎn)量各品系草莓不同管理措施的產(chǎn)量( (kg/kg/區(qū)區(qū)) ) 地塊（A）田間管理方法（B） 合計 平均B1(化學(xué)控制) B2(集成蟲害管理)B3(改良集成蟲害管理)A171737722173.67A290909227290.67A359708020969.67A475808223779.00A565606719264.00A682868525384.33合計442459483 =1384平均73.6776.5080.5076.89 jxjxxixix 這

7、是個兩因素單個觀測值試驗結(jié)果。這是個兩因素單個觀測值試驗結(jié)果。A因素有因素有 6 個水平，即個水平，即 a = 6；B 因素有因素有3個水個水平，平， 即即b=3；共有共有ab=63=18個觀測值。個觀測值。1 1、計算各項平方和與自由度、計算各項平方和與自由度222211(221272253 ) 106414.222231435.1111AiSSxCb221384106414.22226 3xCab22222(71738685 ) 106414.22221737.7778TijSSxC222211(442459483 ) 106414.22226141.4444BjSSxCa1737.777

8、81435.1111 141.4444161.2223eTABSSSSSSSS1 6 3 1 171 6 1 51 3 1 217 5 2 10TABeTAedfabdfadfbdfdfdfdf 2、列出、列出方差分析表方差分析表，進行，進行F 檢驗檢驗 變異來源 SS df MS F值 A因素（地塊） 1435.1111 5 287.0222 17.80*B因素（田間管理方法） 141.4444 2 70.7222 4.39* 誤 差 161.2223 10 16.1222 總變異 13075.0000 17表表5-19 5-19 表表5-185-18資料的方差分析表資料的方差分析表 F撿驗

9、結(jié)果表明：撿驗結(jié)果表明： 不同地塊和不同田間管理方法對草莓的產(chǎn)量不同地塊和不同田間管理方法對草莓的產(chǎn)量均有顯著或極顯著影響，有必要進一步對均有顯著或極顯著影響，有必要進一步對 A、B 兩因素不同水平的平均產(chǎn)量進行多重比較。兩因素不同水平的平均產(chǎn)量進行多重比較。3、 多重比較多重比較 (1) 不同地塊的草莓平均產(chǎn)量比較不同地塊的草莓平均產(chǎn)量比較 ，采用，采用q法法(見見表表5-20)。 地塊平均數(shù) -64.00 -69.67 -73.67 -79.00 -84.33A290.6726.67*21.00*17.00*11.67*6.34A684.3320.33*14.66*10.66*5.33A4

10、79.0015.00*9.33*5.33A173.679.33*4.00A369.675.67表表5-20 5-20 各地塊草莓平均產(chǎn)量多重比較（各地塊草莓平均產(chǎn)量多重比較（q q法）法） ixixixixixix 在兩因素單個觀測值試驗情況下，在兩因素單個觀測值試驗情況下，A因素因素每一水平的重復(fù)數(shù)恰為每一水平的重復(fù)數(shù)恰為B因素的水平數(shù)因素的水平數(shù)b，故故A因素的標(biāo)準(zhǔn)誤為：因素的標(biāo)準(zhǔn)誤為： 根據(jù)根據(jù)dfe=10，秩次距秩次距k=2,3,4,5,6從從附表附表5中查出中查出=0.05和和=0.01的臨界的臨界q值，與標(biāo)準(zhǔn)誤相乘，計算出最小顯著極差值，與標(biāo)準(zhǔn)誤相乘，計算出最小顯著極差LSR，q值

11、及值及LSR值列于值列于表表5-21。 16.12222.31823iexMSSb表表5-21 5-21 q q值及值及LSRLSR值值 dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR0.01 10 23.154.487.302310.385533.885.278.994612.216944.335.7710.037813.376054.656.1410.779614.233764.916.4311.382414.9060（2）不同田間管理方法的草莓平均產(chǎn)量比較）不同田間管理方法的草莓平均產(chǎn)量比較 B因素各水平平均數(shù)比較表見因素各水平平均數(shù)比較表見表表5-22。 表表5-22 5-22

12、 不同田間管理方法的草莓平均產(chǎn)量多重比較不同田間管理方法的草莓平均產(chǎn)量多重比較( (q q法法) ) 田間管理方法 平均數(shù) -73.67 -76.50B3(改良集成蟲害管理)80.506.83*4.00B2(集成蟲害管理)76.502.83B1(化學(xué)控制)73.67jxjxjx在兩因素單獨觀測值試驗情況下，在兩因素單獨觀測值試驗情況下，B 因素因素(本例為田間管理本例為田間管理方法方法)每一水平的重復(fù)數(shù)恰為每一水平的重復(fù)數(shù)恰為A因素的水平數(shù)因素的水平數(shù)a ， 所以所以B 因因素的標(biāo)準(zhǔn)誤為：素的標(biāo)準(zhǔn)誤為： 根據(jù)根據(jù)dfe=10，秩次距秩次距k=2，3，查臨界查臨界 q 值并與值并與 相乘，相乘，

13、求得求得LSR，見見表表5-23。 6392. 161222.16.aMSSejxjxS表表5-23 5-23 q q值與值與LSRLSR值值 dfe秩次距q0.05q0.01LSR0.05LSR0.01 1023.154.485.16357.343633.885.276.36018.6386 在進行兩因素或多因素的試驗時，除在進行兩因素或多因素的試驗時，除了研究每一因素對試驗指標(biāo)的影響外，往了研究每一因素對試驗指標(biāo)的影響外，往往更希望研究因素之間的交互作用。往更希望研究因素之間的交互作用。 例如，通過對播種期、播種密度、施例如，通過對播種期、播種密度、施氮量、施鉀量、施磷量對作物生長發(fā)育的氮

14、量、施鉀量、施磷量對作物生長發(fā)育的影響有無交互作用的研究，對最終確定有影響有無交互作用的研究，對最終確定有利于作物生產(chǎn)的利于作物生產(chǎn)的最佳栽培技術(shù)最佳栽培技術(shù)體系是有重體系是有重要意義的。要意義的。 前面介紹的兩因素單個觀測值試驗只適前面介紹的兩因素單個觀測值試驗只適用于兩個因素間無交互作用的情況。用于兩個因素間無交互作用的情況。 若兩因素間有交互作用，則每個水平組若兩因素間有交互作用，則每個水平組合中只設(shè)一個試驗單位合中只設(shè)一個試驗單位(觀察單位觀察單位)的試驗設(shè)的試驗設(shè)計是不正確的或不完善的。這是因為：計是不正確的或不完善的。這是因為： (1) 在這種情況下，在這種情況下， SSe， df

15、e 實際上是實際上是A、B 兩因素交互作用平方和與自由度兩因素交互作用平方和與自由度 ，所算，所算得的得的MSe是交互作用均方，主要反映由交互作是交互作用均方，主要反映由交互作用引起的變異。用引起的變異。 (2) 這時若仍按【例這時若仍按【例5-5】 所采用的方法所采用的方法進行方差分析，由于誤差均方值大進行方差分析，由于誤差均方值大 (包含交互包含交互作用在內(nèi)作用在內(nèi)) ，有可能掩蓋試驗因素的顯著性，有可能掩蓋試驗因素的顯著性， 從而增大犯從而增大犯型錯誤的概率。型錯誤的概率。 因此，因此，進行兩因素或多因素試驗時，一般進行兩因素或多因素試驗時，一般應(yīng)設(shè)置重復(fù)，以便正確估計試驗誤差，深入研應(yīng)

16、設(shè)置重復(fù)，以便正確估計試驗誤差，深入研究因素間的交互作用究因素間的交互作用。 (3)因為每個水平組合只有一個觀測值，所因為每個水平組合只有一個觀測值，所以無法估計真正的試驗誤差，因而不可能對因以無法估計真正的試驗誤差，因而不可能對因素的交互作用進行研究。素的交互作用進行研究。 ( (二二) ) 兩因素有重復(fù)觀測值試驗資料兩因素有重復(fù)觀測值試驗資料的方差分析的方差分析 對兩因素和多因素有重復(fù)觀測值試驗結(jié)對兩因素和多因素有重復(fù)觀測值試驗結(jié)果的分析，能研究因素的果的分析，能研究因素的簡單效應(yīng)簡單效應(yīng)、主效應(yīng)主效應(yīng)和因素間的和因素間的交互作用交互作用( (互作互作) )效應(yīng)效應(yīng)。 1、簡單效應(yīng)簡單效應(yīng)

17、 在某因素同一水平上，另一因素在某因素同一水平上，另一因素不同水平對試驗指標(biāo)的影響稱為簡單效應(yīng)不同水平對試驗指標(biāo)的影響稱為簡單效應(yīng)。 如在表如在表5-24中：中： A1(不追肥)A2(追肥)A A2 2- -A A1 1平均B1(不除草)4704722 2471B2(除 草)4805123232496B B2 2- -B B1 11010404025平均47549217表表5-24 5-24 追肥與不追肥、除草與不除草的玉米產(chǎn)量追肥與不追肥、除草與不除草的玉米產(chǎn)量( (/666.7/666.7m m2 2) ) 在在A1(不追肥不追肥)上，上， B2- B 1=480-470=10 在在A2

18、(追肥追肥)上，上， B2- B1=512-472=40 在在B1 (不除草不除草)上，上，A2-A1=472-470=2 在在B2 (除草除草)上，上， A2-A1=512-480=32就是就是簡單效應(yīng)簡單效應(yīng)。 簡單效應(yīng)實際上是特殊水平組合間的差數(shù)簡單效應(yīng)實際上是特殊水平組合間的差數(shù)。 2、主效應(yīng)主效應(yīng) 由于因素水平的改變而引起的由于因素水平的改變而引起的平均數(shù)的改變量稱為主效應(yīng)平均數(shù)的改變量稱為主效應(yīng)。如在表。如在表5-24中，中，當(dāng)當(dāng)A因素由因素由A1水平變到水平變到A2水平時，水平時，A因素的主效因素的主效應(yīng)為應(yīng)為A2水平的平均數(shù)減去水平的平均數(shù)減去A1水平的平均數(shù)，即水平的平均數(shù)，

19、即 A因素的主效應(yīng)因素的主效應(yīng)=492-475=17同理同理 B因素的主效應(yīng)因素的主效應(yīng)=496-471=25 主效應(yīng)也就是簡單效應(yīng)的平均主效應(yīng)也就是簡單效應(yīng)的平均，如，如 (32+2)2=17，(40+10)2=25。 3、交互作用交互作用( (互作互作) ) 在在 多因素試驗多因素試驗中，一個因素的作用要受到另一個因素的影中，一個因素的作用要受到另一個因素的影響，表現(xiàn)為某一因素在另一因素的不同水平響，表現(xiàn)為某一因素在另一因素的不同水平上所產(chǎn)生的效應(yīng)不同，這種現(xiàn)象稱為上所產(chǎn)生的效應(yīng)不同，這種現(xiàn)象稱為該兩因該兩因素存在交互作用素存在交互作用。如在表。如在表5-28中：中：A在在B1水平上的效應(yīng)

20、水平上的效應(yīng)=472-470=2 A在在B2水平上的效應(yīng)水平上的效應(yīng)=512-480=32 B在在A1水平上的效應(yīng)水平上的效應(yīng)=480-470=10 B在在A2水平上的效應(yīng)水平上的效應(yīng)=512-472=40 A A的效應(yīng)隨著的效應(yīng)隨著B B因素水平的不同而不同，反因素水平的不同而不同，反之亦然，此時稱之亦然，此時稱A A、B B兩因素間存在交互作用，兩因素間存在交互作用，記為記為A AB B。 或者說，某一因素的簡單效應(yīng)隨著另一因或者說，某一因素的簡單效應(yīng)隨著另一因素水平的變化而變化時，則稱該兩因素間存在素水平的變化而變化時，則稱該兩因素間存在 交互作用。交互作用。 互作效應(yīng)互作效應(yīng)可由可由(

21、A1B1+A2B2-A1B2-A2B1)/2來估計。來估計。 表表5-24中的互作效應(yīng)為：中的互作效應(yīng)為： (470+512-480-472)/2=15 互作效應(yīng)實際指的就是由于兩個或兩個以互作效應(yīng)實際指的就是由于兩個或兩個以上試驗因素的相互作用而產(chǎn)生的效應(yīng)上試驗因素的相互作用而產(chǎn)生的效應(yīng)。 如在如在表表5-24中：中： A2B1-A1B1=472-470=2，這是追肥單獨這是追肥單獨作用的效應(yīng)；作用的效應(yīng)； A1B2-A1B1=480-470=10，這是除草單獨這是除草單獨作用的效應(yīng)；作用的效應(yīng)； 兩者單獨作用的效應(yīng)總和是兩者單獨作用的效應(yīng)總和是2+10=12。 但是，但是，A2B2-A1B

22、1=512-470=42，而不而不是是12。 這就是說，同時追肥、除草產(chǎn)生的效應(yīng)不這就是說，同時追肥、除草產(chǎn)生的效應(yīng)不是單獨某田間管理措施所產(chǎn)生效應(yīng)的和，而另是單獨某田間管理措施所產(chǎn)生效應(yīng)的和，而另外多增加了外多增加了30 30 ，這個，這個30 30 是兩種田間管理措施是兩種田間管理措施共同作用的結(jié)果。共同作用的結(jié)果。 若將其平均分到每種田間管理措施頭上，若將其平均分到每種田間管理措施頭上，則各為則各為15，即估計的互作效應(yīng)。，即估計的互作效應(yīng)。 設(shè)設(shè)A與與B兩因素分別具有兩因素分別具有a與與b個水平，個水平，共有共有ab個水平組合，每個水平組合有個水平組合，每個水平組合有n次重次重復(fù)，則全

23、試驗共有復(fù)，則全試驗共有abn個觀測值。個觀測值。 這類試驗結(jié)果方差分析的數(shù)據(jù)模式如這類試驗結(jié)果方差分析的數(shù)據(jù)模式如表表5-25所示。所示。 兩因素有重復(fù)觀測值試驗資料的方差分析法：兩因素有重復(fù)觀測值試驗資料的方差分析法：11111111inijijllbnijljlanjijlilabnijlijlxxxxxxxx 11111111nijllijbnijljlianijliljabnijlijlxxnxxbnxxanxxabn 兩因素有重復(fù)觀測值試驗的兩因素有重復(fù)觀測值試驗的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型為為:其中，其中， 為總平均數(shù)；為總平均數(shù)； i為為Ai的效應(yīng)；的效應(yīng)； j為為Bj的效應(yīng)；的效應(yīng)；

24、() ij為為Ai與與Bj的互作效應(yīng)；的互作效應(yīng)； ijl 為隨機誤差，相互獨立，且都服從為隨機誤差，相互獨立，且都服從N(0，2)。() (1,2, ;1,2, ;1,2, )ijlijijijlxia jb ln.,ii.ii.jj 1111110,0,()()()0abnbabijijijijijijijjiijij.)(,ijij()ij為為Ai與與Bj的互作效應(yīng)的互作效應(yīng) 因試驗資料的因試驗資料的總變異總變異可分解為可分解為水平組合間水平組合間變異變異與與水平組合內(nèi)變異水平組合內(nèi)變異 即即 誤差誤差兩部分兩部分 ，若，若 記記A、B 水平組合間的平方和與自由度為水平組合間的平方和與自

25、由度為 SSAB， dfAB，則，則兩因素有重復(fù)觀測值試驗資料方差分兩因素有重復(fù)觀測值試驗資料方差分析平方和與自由度的分解式析平方和與自由度的分解式可表示為可表示為 :eABTeABTdfdfdfSSSSSS 因因 A、B 水平組合間變異水平組合間變異可再分解為可再分解為A 因因素，素，B因素，因素，A因素與因素與B因素交互作用變異因素交互作用變異三部三部分，于是分，于是SSAB、dfAB可再分解可再分解為：為：BABAABBABAABdfdfdfdfSSSSSSSS 其中，其中，SSAB，dfAB為為A因素與因素與B因素交因素交互作用平方和與自由度互作用平方和與自由度。 eBABATeBAB

26、ATdfdfdfdfdfSSSSSSSSSS 兩因素有重復(fù)觀測值試驗結(jié)果方差兩因素有重復(fù)觀測值試驗結(jié)果方差分析分析平方和與自由度的分解式平方和與自由度的分解式為：為： 各項平方和、自由度的計算公式如各項平方和、自由度的計算公式如下下：21TijlTSSxCdfabn，2xCabn211ABijABSSxCdfabn，211AiASSxCdfabn，211BjBSSxCdfban ， 交互作用平方和與自由度交互作用平方和與自由度) 1)(1(,badfSSSSSSSSBABAABBA誤差平方和與自由度誤差平方和與自由度) 1(,nabdfSSSSSSeABTe 【例【例5-6】為了研究不同的為了

27、研究不同的種植密度種植密度和和商商業(yè)化肥業(yè)化肥對大麥產(chǎn)量的影響，將對大麥產(chǎn)量的影響，將種植密度種植密度(A)設(shè)設(shè)置置3個水平、施用的商業(yè)化肥個水平、施用的商業(yè)化肥 (B) 設(shè)置設(shè)置 5個水個水平，交叉分組，重復(fù)平，交叉分組，重復(fù)4次，完全隨機設(shè)計次，完全隨機設(shè)計。產(chǎn)。產(chǎn)量結(jié)果列于表量結(jié)果列于表5-265-26，試分析種植密度和施用的，試分析種植密度和施用的商業(yè)化肥對大麥產(chǎn)量的影響。商業(yè)化肥對大麥產(chǎn)量的影響。表表5-265-26不同種植密度和商業(yè)化肥的大麥試驗的產(chǎn)量結(jié)果不同種植密度和商業(yè)化肥的大麥試驗的產(chǎn)量結(jié)果( (kgkg/ /小區(qū)小區(qū)) ) B1B2B3B4B5Ai合計 Ai平均 A1x1j

28、l27263130252925303025 555 27.7526243031262629313024 10810412212110027.0026.0030.5030.2525.00A2x2jl3028313228 590 29.50 30273134292826303328292532322711710612413111229.2526.5031.0032.7528.00A3x3jl3333353530 665 33.25 33343334293434373331323535353013213614013712033.0034.0035.0034.2530.00 Bj合計357346386

29、389332 1810 Bj平均29.7528.8332.1732.4227.67 30.171jx1jxixix2 jx2 jx3 jx3 jxjx jx 1 1、計算各項平方和與自由度、計算各項平方和與自由度2222272930628.3333TijlSSxCC22221108104120573.33334ABijSSxCnC22181054601.66673 5 4xCabn 22221357346332207.16663 4BjSSxCanC 22221555590665315.83335 4AiSSxCbnC628.3333573.333355.0000eTABSSSSSS 573.

30、3333 315.8333207.166750.3334A BABABSSSSSSSS1 3 5 4 1 59Tdfabn 13 1215 14(1)(1)(3 1)(5 1)8ABA Bdfadfbdfab (1)3 5 (4 1)45edfab n 13 5 114ABdfab 2 2、列出、列出方差分析表方差分析表，進行，進行F F 檢驗檢驗 變異來源 SS df MS F值 種植密度（A） 315.8333 2 157.9167 129.20* 商業(yè)化肥（B） 207.1667 4 51.7917 42.38* 互作AB 50.3333 8 6.2917 5.15* 誤 差 55.00

31、00 45 1.2222 總 變 異 628.3333 59表表5-27 5-27 不同種植密度和商業(yè)化肥方差試驗資料的分析表不同種植密度和商業(yè)化肥方差試驗資料的分析表 F F檢驗結(jié)果表明：檢驗結(jié)果表明： 種植密度、商業(yè)化肥及其互作對大麥的產(chǎn)種植密度、商業(yè)化肥及其互作對大麥的產(chǎn)量均有極顯著影響。量均有極顯著影響。 應(yīng)進一步進行種植密度各水平平均數(shù)間、應(yīng)進一步進行種植密度各水平平均數(shù)間、商業(yè)化肥各水平平均數(shù)間、種植密度與商業(yè)化商業(yè)化肥各水平平均數(shù)間、種植密度與商業(yè)化肥水平組合平均數(shù)間的多重比較和進行簡單效肥水平組合平均數(shù)間的多重比較和進行簡單效應(yīng)的檢驗。應(yīng)的檢驗。 3 3、多重比較、多重比較 (

32、1)種植密度種植密度(A)各水平平均數(shù)間的比較各水平平均數(shù)間的比較 不同種植不同種植密度平均數(shù)多重比較表見密度平均數(shù)多重比較表見表表5-28。 因為因為 A 因素各水平的重復(fù)數(shù)為因素各水平的重復(fù)數(shù)為bn，故故 A 因素各水因素各水平的標(biāo)準(zhǔn)誤平的標(biāo)準(zhǔn)誤(記為記為 )的計算公式為：的計算公式為：. iexMSSbnixS 由由dfe=45，秩次距秩次距k=2、3，從附表從附表5中查出中查出=0.05與與=0.01的臨界的臨界q值，乘以值，乘以即得各即得各LSR值值 ，所得結(jié)果列于，所得結(jié)果列于表表5-29。 1.22220.247254ixS0.2472ixS此例此例 表表5-28 5-28 不同

33、種植密度平均數(shù)比較表不同種植密度平均數(shù)比較表( (q q法法) )種植密度 平均數(shù) -27.75 -29.50A333.255.50*3.75*A229.501.75*A127.75.ix.ix.ix表表5-29 5-29 q q值與值與LSRLSR值表值表 dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR0.014522.85253.80500.700.9433.43004.34750.851.08 (2)商業(yè)化肥商業(yè)化肥(B)各水平平均數(shù)間的比較各水平平均數(shù)間的比較 不同商不同商業(yè)化肥平均數(shù)多重比較表見業(yè)化肥平均數(shù)多重比較表見表表5-30。 因為因為 A 因素各水平的重復(fù)數(shù)為因素各水

34、平的重復(fù)數(shù)為an，故故 B 因素各因素各水平的標(biāo)準(zhǔn)誤水平的標(biāo)準(zhǔn)誤(記為記為 )的計算公式為：的計算公式為：. jexMSSan jxS 由由dfe=45，秩次距秩次距k=2,3,4,5，從附表從附表5中查出中查出=0.05與與=0.01的臨界的臨界q值，乘以值，乘以 即得各即得各LSR值值 ，所得結(jié)果列，所得結(jié)果列于于表表5-31。 1.22220.31913 4jxS 0.3191jxS 此例此例 表表5-30 5-30 不同商業(yè)化肥平均數(shù)比較表不同商業(yè)化肥平均數(shù)比較表( (q q法法) )商業(yè)化肥平均數(shù) -27.67 -28.83 -29.75 -32.17B432.424.75*3.59

35、*2.67*0.25B332.174.50*3.34*2.42*B129.752.08*0.92*B228.831.16*B527.67表表5-31 5-31 q q值與值與LSRLSR值表值表 dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR0.014522.85253.80500.911.2133.43004.34751.101.3943.77754.67251.201.4954.02504.90251.281.56jx jx jx jx jx 以上所進行的兩項多重比較，實際上是以上所進行的兩項多重比較，實際上是A、B兩因素主效應(yīng)的檢驗。兩因素主效應(yīng)的檢驗。 結(jié)果表明，結(jié)果表明，種植

36、密度以種植密度以 A3 的產(chǎn)量最高；商的產(chǎn)量最高；商業(yè)化肥以業(yè)化肥以B4 的產(chǎn)量最高的產(chǎn)量最高。若若A、B 因素交互作用因素交互作用不顯著，則可從主效應(yīng)檢驗中分別選出不顯著，則可從主效應(yīng)檢驗中分別選出 A、B 因因素的最優(yōu)水平相組合，素的最優(yōu)水平相組合， 得到最優(yōu)水平組合得到最優(yōu)水平組合； 若若 A、B 因素交互作用顯著，因素交互作用顯著， 則應(yīng)進行水平組合平則應(yīng)進行水平組合平均數(shù)間的多重比較，以選出最優(yōu)水平組合，同時均數(shù)間的多重比較，以選出最優(yōu)水平組合，同時可進行簡單效應(yīng)的檢驗可進行簡單效應(yīng)的檢驗。 (3)各水平組合平均數(shù)間的比較各水平組合平均數(shù)間的比較 一般推薦使用一般推薦使用LSD法來進

37、行各水平組合平法來進行各水平組合平均數(shù)的多重比較和簡單效應(yīng)檢驗。也就是說，均數(shù)的多重比較和簡單效應(yīng)檢驗。也就是說，用相同的檢驗尺度進行各水平組合平均數(shù)間的用相同的檢驗尺度進行各水平組合平均數(shù)間的比較和簡單效應(yīng)檢驗比較和簡單效應(yīng)檢驗。 水平組合的重復(fù)數(shù)為水平組合的重復(fù)數(shù)為n，水平組合平均水平組合平均數(shù)差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤數(shù)差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤 （記為（記為 ）的計算公）的計算公式為：式為： ijijxxS2ijijexxMSSn22 1.22220.78174ijijexxMSSn此例此例 由由dfe=45，從從 附表附表3 中查出中查出 = 0.05、 =0.01的臨界的臨界t值，乘以值，乘以 ，得各得各LSD值

38、，即值，即 以上述以上述LSD值去檢驗各水平組合平均值去檢驗各水平組合平均數(shù)間的差數(shù)，結(jié)果列于表數(shù)間的差數(shù)，結(jié)果列于表5-32。0.7817ijijxxS0.050.05(45)0.010.01(45)2.014 0.7817 1.5742.690 0.78172.103ijijijijxxxxLSDtSLSDtS表表5-325-32各水平組合平均數(shù)比較表各水平組合平均數(shù)比較表( (LSDLSD法法) ) 水平組合均數(shù) -25.0 -26.0 -26.5 -27.0 -28.0 -29.2 -30.0 -30.2 -30.5 -31.0 -32.8 -33.0 -34.0 -34.2A3B33

39、5.010.0*9.0*8.5*8.0*7.0*5.8*5.0*4.8*4.5*4.0*2.2*2.0*1.00.8 A3B434.29.2*8.2*7.7*7.2*6.2*5.0*4.2*4.0*3.7*3.2*1.41.20.2A3B234.09.0*8.0*7.5*7.0*6.0*4.8*4.0*3.8*3.5*3.0*1.21.0A3B133.08.0*7.0*6.5*6.0*5.0*3.8*3.0*2.82.5*2.0*0.2A2B432.87.8*6.8*6.3*5.8*4.8*3.6*2.8*2.6*2.3*1.8A2B331.06.0*5.0*4.5*4.0*3.0*1.8*1

40、.00.80.5A1B330.55.5*4.5*4.0*3.5*2.5*1.30.50.3A1B430.25.2*4.2*3.7*3.2*2.2*1.00.2A3B530.05.0*4.0*3.5*3.0*2.0*0.8A2B129.24.2*3.2*2.7*2.2*1.2A2B528.03.0*2.0*1.51.0A1B127.02.0*1.00.5A2B226.51.50.5A1B226.01.0A1B525.0ijxijxijxijxijxijxijxijxijxijxijxijxijxijxijx 各水平組合平均數(shù)的多重比較結(jié)果表明，各水平組合平均數(shù)的多重比較結(jié)果表明，最優(yōu)水平組合最優(yōu)

41、水平組合(即產(chǎn)量最高的組合即產(chǎn)量最高的組合) 是是A3B3。 當(dāng)當(dāng)A、B 因素的交互作用顯著時，一般不因素的交互作用顯著時，一般不必進行兩個因素主效應(yīng)的顯著性檢驗必進行兩個因素主效應(yīng)的顯著性檢驗(因為這因為這時主效應(yīng)的顯著性在實用意義上并不重要時主效應(yīng)的顯著性在實用意義上并不重要)，而直接進行各水平組合平均數(shù)的多重比較，選而直接進行各水平組合平均數(shù)的多重比較，選出最優(yōu)水平組合。出最優(yōu)水平組合。 (4)(4)簡單效應(yīng)的檢驗簡單效應(yīng)的檢驗 簡單效應(yīng)實際上是特定水平組合平均數(shù)間簡單效應(yīng)實際上是特定水平組合平均數(shù)間的差數(shù)，檢驗尺度仍為的差數(shù)，檢驗尺度仍為 LSD0.05=1.574 LSD0.01=2

42、.103 A因素各水平上因素各水平上B因素各水平平均數(shù)間的比較因素各水平平均數(shù)間的比較 1 jx1 jx1 jx1 jx1 jxA1水平平均數(shù) B因素-25.0-26.0-27.0-30.2B330.55.5*4.5*3.5*0.3B430.25.2*4.2*3.2*B127.02.0*1.0B226.01.0B525.01jx1jx1jx1jx1jx2jx2jx2jx2jx2jxA2水平平均數(shù) B因素-26.5-28.0-29.2-31.0B432.86.3*4.8*3.6*1.8*B331.04.5*3.0*1.8*B129.22.7*1.2B528.01.5B226.52 jx2 jx2

43、 jx2 jx2 jx3 jx3 jx3 jx3 jx3 jxA3水平平均數(shù) B因素-30.0-33.0-34.0-34.2B335.05.0*2.0*1.00.8B434.24.2*1.20.2B234.04.0*1.0B133.03.0*B530.03 jx3 jx3 jx3 jx3 jxB因素各水平上因素各水平上A因素各水平平均數(shù)間的比較因素各水平平均數(shù)間的比較1ix1ix1ix A因素因素-27.0-29.2A333.06.0*3.8*A229.22.2*A127.02ix2ix2ix平均數(shù)平均數(shù) A因素因素-26.0-26.5A334.08.0*7.5*A226.50.5A126.0

44、B2水平水平B1水平水平平均數(shù)平均數(shù)1 ix1 ix1 ix2ix2ix2ix3ix3ix3ix平均數(shù)平均數(shù)A因素因素-30.5-31.0A335.04.5*4.0*A231.00.5A130.54ix平均數(shù)平均數(shù)A因素因素-30.2-32.8A334.24.0*1.4A232.82.6*A130.23ixB3水平水平B4水平水平4ix3ix3ix4ix4ix5ix5ix5ixB5水平水平平均數(shù)平均數(shù)A因素因素-25.0-28.0A330.05.0*2.0*A228.03.0*A125.05ix5ix5ix簡單效應(yīng)簡單效應(yīng)檢驗結(jié)果表明：檢驗結(jié)果表明： 當(dāng)種植密度為當(dāng)種植密度為A1時，施用商業(yè)化

45、肥時，施用商業(yè)化肥B3、B4的產(chǎn)量極顯著或顯著高于施用的產(chǎn)量極顯著或顯著高于施用B1、B2、B5的產(chǎn)量，施用商業(yè)化肥的產(chǎn)量，施用商業(yè)化肥B1的產(chǎn)量顯著高于施的產(chǎn)量顯著高于施用用B5的產(chǎn)量；的產(chǎn)量； 當(dāng)種植密度為當(dāng)種植密度為A2時，施用商業(yè)化肥時，施用商業(yè)化肥B4的的產(chǎn)量極顯著或顯著高于施用產(chǎn)量極顯著或顯著高于施用B3、B1、B5、B2的產(chǎn)量，施用商業(yè)化肥的產(chǎn)量，施用商業(yè)化肥B3的產(chǎn)量極顯著或顯的產(chǎn)量極顯著或顯著高于施用著高于施用B5、B2、B1的產(chǎn)量，施用商業(yè)化的產(chǎn)量，施用商業(yè)化肥肥B1的產(chǎn)量極顯著高于施用的產(chǎn)量極顯著高于施用B2的產(chǎn)量；的產(chǎn)量； 當(dāng)種植密度為當(dāng)種植密度為A3時，施用商業(yè)化肥時

46、，施用商業(yè)化肥B3、B4、B2、B1 的產(chǎn)量極顯著高于施用的產(chǎn)量極顯著高于施用 B5 的產(chǎn)的產(chǎn)量，施用商業(yè)化肥量，施用商業(yè)化肥B3的產(chǎn)量顯著高于施用的產(chǎn)量顯著高于施用B1的產(chǎn)量；的產(chǎn)量； 無論施用哪種商業(yè)化肥，都以種植密度無論施用哪種商業(yè)化肥，都以種植密度A3的產(chǎn)量最高。的產(chǎn)量最高。 綜觀全試驗，以水平組合綜觀全試驗，以水平組合A A3 3B B3 3的大麥產(chǎn)的大麥產(chǎn)量最高。量最高。 三、系統(tǒng)分組資料的方差分析 在安排多因素試驗方案時，將在安排多因素試驗方案時，將A因素分為因素分為a個水平，在個水平，在A因素每個水平下又將因素每個水平下又將B因素分成因素分成b個水平，再在個水平，再在B因素每個

47、水平下將因素每個水平下將C因素分因素分c個個水平水平，這樣得到各因素水平組合的方式稱，這樣得到各因素水平組合的方式稱為為系統(tǒng)分組系統(tǒng)分組。 由系統(tǒng)分組方式安排的多因素試驗而得到由系統(tǒng)分組方式安排的多因素試驗而得到的資料稱為的資料稱為系統(tǒng)分組資料系統(tǒng)分組資料。 例如土樣分析，隨機取若干地塊，每例如土樣分析，隨機取若干地塊，每地塊取若干個樣點，每一樣點的土樣又作地塊取若干個樣點，每一樣點的土樣又作了數(shù)次分析的所獲得的資料；了數(shù)次分析的所獲得的資料； 又如調(diào)查某種果樹病害，隨機取若干又如調(diào)查某種果樹病害，隨機取若干株，每株取不同部位枝條，每枝條取若干株，每株取不同部位枝條，每枝條取若干葉片，查各葉片

48、病斑數(shù)所獲得的資料等都葉片，查各葉片病斑數(shù)所獲得的資料等都屬于系統(tǒng)分組資料。屬于系統(tǒng)分組資料。 在系統(tǒng)分組中，首先劃分水平的因素在系統(tǒng)分組中，首先劃分水平的因素(如如上述的地塊、果樹上述的地塊、果樹)叫叫一級因素一級因素，其次劃分水，其次劃分水平的因素平的因素(如上述的樣點、枝條如上述的樣點、枝條)叫叫二級因素二級因素，類此有三級因素類此有三級因素。 在系統(tǒng)分組中，二級因素的各水平套在一在系統(tǒng)分組中，二級因素的各水平套在一級因素的每個水平下，它們之間是從屬關(guān)系而級因素的每個水平下，它們之間是從屬關(guān)系而不是平等關(guān)系，不是平等關(guān)系，分析側(cè)重于一級因素。分析側(cè)重于一級因素。 最簡單的系統(tǒng)分組資料是二

49、級系統(tǒng)分最簡單的系統(tǒng)分組資料是二級系統(tǒng)分組資料。組資料。 如果如果A因素有因素有a個水平；個水平；A因素每個水因素每個水平平Ai下下B因素分因素分b個水平；個水平；B因素每個水平因素每個水平有有n個觀測值，則共有個觀測值，則共有abn 個觀測值，其個觀測值，其數(shù)據(jù)模式如數(shù)據(jù)模式如表表5-33所示。所示。 表表5-33 5-33 兩因素系統(tǒng)分組資料數(shù)據(jù)模式兩因素系統(tǒng)分組資料數(shù)據(jù)模式 數(shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)模型：iiiijijijiiijijl其中，其中，為全部觀測值的總體平均數(shù)為全部觀測值的總體平均數(shù)；為為Ai的效應(yīng)，的效應(yīng)，；為為Ai內(nèi)內(nèi)Bij的效應(yīng)，的效應(yīng)，；、分別為分別為Ai、Bij觀測值總體平均

50、數(shù)；觀測值總體平均數(shù)；為隨機誤差、相互獨立、且都服從為隨機誤差、相互獨立、且都服從 N(0,2)。iijijl(1,2, ;1,2, ;1,2, )ijliijijlxiajb ln 表表5-33資料的資料的總變異總變異可分解為可分解為A A因素各水因素各水平平( (A Ai i) )間的變異間的變異 ，A A因素各水平因素各水平( (A Ai i) )內(nèi)內(nèi)B B因素各因素各水平水平( (B Bijij) )間的變異間的變異 和和試驗誤差試驗誤差 三部分。三部分。平方和與自由度的分解式平方和與自由度的分解式為為 eABATeABATdfdfdfdfSSSSSSSS)()( 其中其中SSB(A)

51、、dfB(A)表示表示A因素內(nèi)因素內(nèi)B因素的平因素的平方和與自由度。方和與自由度。 2111abnTijkijkS SxC 各項平方和與自由度計算公式如下：各項平方和與自由度計算公式如下：2xCabn1Tdfabn22111111abnabeijkijijkijSSxxn22()11111abaB AijiijiSSxxnbn1Adfa( )(1)B Adfa b211aAiiSSxCbn(1)edfab n各項均方如下：各項均方如下：AAAdfSSMS/)()()(/ABABABdfSSMSeeedfSSMS/誤差均方誤差均方 A因素內(nèi)因素內(nèi)B因素的均方因素的均方 A因素的均方因素的均方 F F 檢驗時檢驗時 F F 值的計算：值的計算： 檢驗檢驗A因素時因素時: 檢驗檢驗A因素內(nèi)因素內(nèi)B因素時因素時: )(/ABAMSMSF eABMSMSF/)( 【例【例5-7】 隨機選取隨機選取3株植物，在每一株內(nèi)株植物，在每一株內(nèi)隨機選取兩片葉子，用取樣器從每一片葉子上隨機選取兩片葉子，用取樣器從每一片葉子上選取同樣面積的兩個樣本，稱取濕重（選取同樣面積的兩個樣本，稱取濕重（g），），結(jié)果見結(jié)果見表表5-34。分析不同植株和同一植株上的。分析不同植株和同一植株上的不同葉片間濕重差異是否顯著不同葉片間濕重差異是否顯著。 表表