用矩形板材加工圓盤的不同方法數(shù)學(xué)建?？荚囆≌撐拇髮W(xué)開放性作業(yè)

1、數(shù)學(xué)建?？荚嚋S文生產(chǎn)中的數(shù)學(xué)用矩形板材加工圓盤的不同方法作者 05級班級 學(xué)號 目 錄目 錄2摘要3一、引言3二、模型3（一）問題的化簡和假設(shè)3（二）模型的建立3三、分析4（一）方案一4（二）方案二5（三）比較方案一與方案二6（四）方案三7四、結(jié)論8（一）方案一的初等數(shù)學(xué)模型結(jié)論8（二）方案二的初等數(shù)學(xué)模型結(jié)論8（三）方案三的初等數(shù)學(xué)模型結(jié)論8五、進(jìn)一步的探討9六、參考文獻(xiàn)9摘要本文將從如何利用不同形狀的原材料加工出盡可能多的圓盤的分析出發(fā)，研究怎樣合理的利用原材料才能既滿足人們的要求，又能盡可能的節(jié)約能源。經(jīng)調(diào)查，矩形板材是現(xiàn)在市場上供應(yīng)最普遍的原材料。若用矩形板材作原材料，首先考慮圓盤中心

2、按正方形排列從矩形板材上切割加工圓盤的方案，然后再考慮圓盤中心按六角形排列從矩形板材上切割加工圓盤的方案，最后再考慮將兩種方案混合使用從矩形板材上切割加工圓盤，比較在不同的情況下三種方案哪種更節(jié)約。 關(guān)鍵詞：加工圓盤的最優(yōu)方法，初等數(shù)學(xué)模型，圓盤，矩形板材一、引言數(shù)學(xué)作為一門研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，在它產(chǎn)生和發(fā)展的歷史長河中，一直是和人們生活的實際需要密切相關(guān)的。作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步，數(shù)學(xué)建模同樣有著廣泛的應(yīng)用。如果研究對象的機理比較簡單，一般用靜態(tài)、線性、確定性模型就能達(dá)到建模目的時，我們基本上可以用初等數(shù)學(xué)方法來構(gòu)造和求解模型。用很簡單的數(shù)學(xué)方法已經(jīng)可以解決一些

3、饒有興趣的實際問題。衡量一個模型的優(yōu)劣全在于它的應(yīng)用效果，而不是采用了多么高深的數(shù)學(xué)方法。進(jìn)一步說，如果對于某個實際問題我們用初等的方法和所謂高等的方法建立了兩個模型，它們的應(yīng)用效果相差無幾，那么受到人們歡迎并采用的，一定是前者而不是后者。我在現(xiàn)實生活中發(fā)現(xiàn)許多物品的構(gòu)成元素中都有圓盤，于是我想到了怎樣才能用最少的原材料用加工出最多的圓盤，以適應(yīng)當(dāng)今提倡的節(jié)約型社會的需要，達(dá)到物盡其用。二、模型（一）問題的化簡和假設(shè)經(jīng)調(diào)查，矩形板材是現(xiàn)在市場上供應(yīng)最普遍的原材料，所以這個問題可簡化為：用已知尺寸的矩形加工半徑一定的圓盤，為了使問題更易解，設(shè)圓盤半徑單位為1。（二）模型的建立于是可以建立初等數(shù)學(xué)

4、模型。模型可歸納為一道我們中學(xué)時就會解的數(shù)學(xué)題目，即“如何在一個矩形上畫出更多半徑相等的圓?”。我們可以利用幾何學(xué)知識結(jié)合函數(shù)知識來解這道題。為了能在一個矩形上畫出更多半徑相等的圓，我首先想到的是圓盤之間及圓盤與板材之間均可相切。我想到了以下的三種方案：方案一：圓盤中心按正方形排列從矩形板材上切割加工圓盤。方案二：圓盤中心按六角形排列從矩形板材上切割加工圓盤。方案三：將兩種方案混合使用從矩形板材上切割加工圓盤。建立這個初等數(shù)學(xué)模型的目的是比較在不同的情況下這三種方案哪種更節(jié)約。這個初等數(shù)學(xué)模型的主要數(shù)學(xué)符號說明如下： 1、 矩形板材長為a ，寬為b ，取整后長為a，寬為b 。2、 圓盤的行數(shù)為

5、m 。3、 方案一的圓盤的總數(shù)為n1 。4、 方案二的圓盤的總數(shù)為n2 。5、 方案三的圓盤的總數(shù)為n3 。三、分析（一）方案一圓盤中心按正方形排列，像圖1那樣排列，設(shè)圓盤的半徑為1， 按圖1所示計算圓盤的個數(shù)。ba圖1圖1中a=6.03，b=3.58，計算出圓盤總數(shù)n1= 12.7/26.33/218，12.7/2和6.33/2的計算結(jié)果都取整數(shù)。計算結(jié)果符合圖1所示。（二）方案二圓盤中心按六角形排列，像圖2、圖3、圖4那樣排列，設(shè)圓盤半徑為1。（1）當(dāng)圓盤第一行為奇數(shù)時，按圖2計算。ba圖2a=11.11，b=6.33，a取整數(shù)11后為奇數(shù)，計算出圓盤的行數(shù)m=（6.33-2）/+13.4

6、9，m取整數(shù)3圓盤總數(shù)n2=3（11-1）/2=15計算結(jié)果符合圖2所示。（2）當(dāng)圓盤第一行為偶數(shù)時，還要分兩種情況考慮。當(dāng)圓盤的行數(shù)為奇數(shù)時，圓盤像圖3 那樣排列，按圖3計算。ba圖3圖3中a=12.7，b=6.33，a取整數(shù)12后為偶數(shù)圓盤行數(shù)m= （6.33-2）/+13.49，m取整數(shù)3圓盤總數(shù)n2= 3（12-1）/2+1/2=17計算結(jié)果符合圖3所示。當(dāng)圓盤的行數(shù)為偶數(shù)時，圓盤像圖4那樣排列，按圖4計算。ba圖4圖4中a=12.7，b=7.7，a取整數(shù)12后為偶數(shù)圓盤行數(shù)m= （7.7-2）/+14.29，m取整數(shù)4圓盤總數(shù)n2=4（12-1）/2=22計算結(jié)果符合圖4所示。（三）

7、比較方案一與方案二比較不同尺寸的矩形板材用方案一和方案二加工出的圓盤的個數(shù)。計算結(jié)果如表1所示：表1 ba35810142042/24/48/710/914/1320/1973/36/612/1115/1421/2030/29105/510/1020/1825/2335/3350/48157/814/1628/2835/3649/5270/762010/1120/2240/3950/5070/72100/105注：方案一/方案二在實際情況中，可像上表一樣計算出結(jié)果，選用不同的用矩形板材切割圓盤的方案。但當(dāng)矩形的長和寬相等時，這兩種方案都不夠合理，于是我想到了第三種方案，即把方案一和方案二相結(jié)合

8、。（四）方案三當(dāng)矩形的長和寬相等時，將方案一和方案二混合使用從矩形板材上切割加工圓盤。若a=b=20，可采用圓盤中心3行正方形加8行六角形的方法，如圖5所示（圖5：實際圖形=1：2）。按圖5計算。ba圖5圖5中a=b=20前三行的圓盤總數(shù)為：n3= 20/26/2=30后九行的圓盤行數(shù)為：m= （16-2）/+19.08,取整后為9后九行的圓盤總數(shù)為n3= 9（20-1）/2+1/2=86圓盤總數(shù)為n 3=n3+n3-10=30+86-10=106四、結(jié)論（一）方案一的初等數(shù)學(xué)模型結(jié)論圓盤中心按正方形排列，由于本模型已經(jīng)設(shè)圓盤的半徑為1，所以圓盤總數(shù)為：n=a/2b/2 ,a/2和b/2的計算

9、結(jié)果都取整數(shù)（二）方案二的初等數(shù)學(xué)模型結(jié)論圓盤中心按六角形排列，由于本模型已經(jīng)設(shè)圓盤的半徑為1，行數(shù)m滿足2+(m-1)b，于是m=+1。列數(shù)以圖中第一行計數(shù)，a取整數(shù)。（1）若第一行a為奇數(shù)，則各行圓盤數(shù)相同為（a-1）/2，圓盤總數(shù)n2=m（a-1）/2（2）若第一行a為偶數(shù)，則奇數(shù)行原盤數(shù)為a/2，偶數(shù)行圓盤數(shù)為a/2-1。m為偶數(shù)時，圓盤總數(shù)n2=（a/2）(m/2)+(a/2-1)(m/2)= m（a-1）/2m為奇數(shù)時，圓盤總數(shù)為n2= m(a-1)/2+1/2 綜上所述，圓盤總數(shù)n2=m(a-1)/2 m為偶數(shù)，第一行a為奇數(shù)或偶數(shù)m(a-1)/2+1/2 m為奇數(shù)，第一行a為偶

10、數(shù)(（三）方案三的初等數(shù)學(xué)模型結(jié)論設(shè)矩形板材的長和寬都為a，則用圓盤中心按正方形方法排列的寬度b=(3/10)a ，b取整數(shù)則用圓盤中心按正方形方法排列的圓盤總數(shù)n3=a/2b/2= a/2(3/10)a/2按正方形排列的圓盤的最后一行加上按六角形排列的圓盤的行數(shù)的和m=+1=+1 ，m取整數(shù)當(dāng)a取整數(shù)后為偶數(shù)時按正方形排列的圓盤的最后一行加上按六角形排列的圓盤的總數(shù)為n3 = m(a-1)/2+1/2=+1(a-1)/2+1/2當(dāng)a取整數(shù)后為奇數(shù)時按正方形排列的圓盤的最后一行加上按六角形排列的圓盤的總數(shù)為n3 = m(a-1)/2=+1(a-1)/2綜上所述，（1）當(dāng)a取整后為奇數(shù)時圓盤總數(shù)為n 3=n3+n3-a= a/2(3/10)a/2+ +1(a-1)/2-a（2）當(dāng)a取整后為偶數(shù)時當(dāng)a取整后為奇數(shù)時圓盤總數(shù)為n 3=n3+n3-a= a/2(3/10)a/2+ +1(a-1)/2+1/2-a具體選用那種方案，可根據(jù)矩形的長和寬分別計算出方案一、方案二、方案三的結(jié)果而定。五、進(jìn)一步的探討利用這個模型可以用一塊矩形板材裁剪出更多的圓盤，做到最少的浪費原材料。大到工業(yè)生產(chǎn)，小到家庭裝璜，都可以結(jié)合實際情況利