大學物理第7章靜電場中的導體和電介質課后習題及答案

1、第7章 靜電場中的導體和電介質 習題及答案1. 半徑分別為和的兩個導體球，相距甚遠。用細導線連接兩球并使它帶電，電荷面密度分別為和。忽略兩個導體球的靜電相互作用和細導線上電荷對導體球上電荷分布的影響。試證明： 。證明：因為兩球相距甚遠，半徑為的導體球在半徑為的導體球上產生的電勢忽略不計，半徑為的導體球在半徑為的導體球上產生的電勢忽略不計，所以半徑為的導體球的電勢為半徑為的導體球的電勢為用細導線連接兩球，有，所以2. 證明：對于兩個無限大的平行平面帶電導體板來說，(1)相向的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號相反；(2)相背的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號相同。證明: 如圖所示，設兩

2、導體、的四個平面均勻帶電的電荷面密度依次為，（1）取與平面垂直且底面分別在、內部的閉合圓柱面為高斯面，由高斯定理得 故 上式說明相向兩面上電荷面密度大小相等、符號相反。（2）在內部任取一點，則其場強為零，并且它是由四個均勻帶電平面產生的場強疊加而成的，即又 故 3. 半徑為的金屬球離地面很遠，并用導線與地相聯，在與球心相距為處有一點電荷+，試求：金屬球上的感應電荷的電量。解：如圖所示，設金屬球表面感應電荷為，金屬球接地時電勢由電勢疊加原理，球心電勢為故 4半徑為的導體球，帶有電量，球外有內外半徑分別為、的同心導體球殼，球殼帶有電量。（1）求導體球和球殼的電勢和；（2）如果將球殼接地，求和；（3

3、）若導體球接地（設球殼離地面很遠），求和。解：（1）應用均勻帶電球面產生的電勢公式和電勢疊加原理求解。半徑為、帶電量為的均勻帶電球面產生的電勢分布為 導體球外表面均勻帶電；導體球殼內表面均勻帶電，外表面均勻帶電，由電勢疊加原理知，空間任一點的電勢等于導體球外表面、導體球殼內表面和外表面電荷在該點產生的電勢的代數和。導體球是等勢體，其上任一點電勢為球殼是等勢體，其上任一點電勢為（2）球殼接地，表明球殼外表面電荷入地，球殼外表面不帶電，導體球外表面、球殼內表面電量不變，所以（3）導體球接地，設導體球表面的感應電荷為，則球殼內表面均勻帶電、外表面均勻帶電，所以解得 5. 兩個半徑分別為和（)的同心薄

4、金屬球殼，現給內球殼帶電+，試求： (1)外球殼上的電荷分布及電勢大小；(2)先把外球殼接地，然后斷開接地線重新絕緣，此時外球殼的電荷分布及電勢；(3)再使內球殼接地，此時內球殼上的電量以及外球殼上的電勢。解：(1)內球殼外表面帶電；外球殼內表面帶電為,外表面帶電為，且均勻分布，外球殼上電勢為(2)外球殼接地時，外表面電荷入地，外表面不帶電，內表面電荷仍為。所以球殼電勢由內球與外球殼內表面產生，其電勢為(3)如圖所示，設此時內球殼帶電量為；則外殼內表面帶電量為，外殼外表面帶電量為 (電荷守恒)，此時內球殼電勢為零，且得 外球殼的電勢為6. 設一半徑為的各向同性均勻電介質球體均勻帶電，其自由電荷

5、體密度為，球體內的介電常數為，球體外充滿介電常數為的各向同性均勻電介質。求球內外任一點的場強大小和電勢(設無窮遠處為電勢零點)。 解：電場具有球對稱分布，以為半徑作同心球面為高斯面。由介質中的高斯定理得 當時，所以，當時，所以，球內（）電勢為球外（）電勢為7. 如圖所示，一平行板電容器極板面積為，兩極板相距為，其中放有一層厚度為的介質，相對介電常數為，介質兩邊都是空氣。設極板上面電荷密度分別為+和，求：（1）極板間各處的電位移和電場強度大??；（2）兩極板間的電勢差；（3）電容。 解：（1）取閉合圓柱面（圓柱面與極板垂直，兩底面圓與極板平行，左底面圓在極板導體中，右底面圓在兩極板之間）為高斯面，

6、根據介質中的高斯定理，得 （2） （3）8. 如圖所示，在平行板電容器的一半容積內充入相對介電常數為的電介質，設極板面積為，兩極板上分別帶電荷為和，略去邊緣效應。試求：（1）在有電介質部分和無電介質部分極板上自由電荷面密度的比值；（2）兩極板間的電勢差；（3）電容。解：（1）充滿電介質部分場強為，真空部分場強為，有電介質部分和無電介質部分極板上自由電荷面密度分別為和。取閉合圓柱面（圓柱面與極板垂直，兩底面圓與極板平行，上底面圓在極板導體中，下底面圓在兩極板之間）為高斯面，由得， 由、解得（2）由電荷守恒定律知， 由 、 、 解得（3）9. 半徑為的導體球，外套有一同心的導體球殼，殼的內、外半徑

7、分別為和，當內球帶電荷時，求：(1)整個電場儲存的能量；(2)將導體殼接地時整個電場儲存的能量；(3)此電容器的電容值。解：如圖所示，內球表面均勻帶電，外球殼內表面均勻帶電，外表面均勻帶電(1)由高斯定理得當和時，當時，當時，所以，在區(qū)域在區(qū)域總能量為(2)導體殼接地時，只有時,其它區(qū)域，所以 (3)電容器電容為 10. 一個圓柱形電容器，內圓柱面半徑為，外圓柱面半徑為，長為 (，兩圓筒間充有兩層相對介電常量分別為和的各向同性均勻電介質，其分界面半徑為，如圖所示。設內、外圓柱面單位長度上帶電荷(即電荷線密度)分別為和，求： （1）電容器的電容；（2）電容器儲存的能量。解：（1）電場分布具有軸對

8、稱性，取同軸閉合圓柱面為高斯面，圓柱面高為，底面圓半徑為。由介質中的高斯定理得 當時，兩圓筒間場強大小為兩圓筒間的電勢差為 電容器的電容為（2）電容器儲存的能量11如圖所示，一充電量為的平行板空氣電容器，極板面積為，間距為，在保持極板上電量不變的條件下，平行地插入一厚度為，面積，相對電容率為的電介質平板，在插入電介質平板的過程中，外力需作多少功？解：插入電介質平板之前，電容器儲存的能量為插入電介質平板之后，由本章習題7的解法可得到電容器儲存的能量為由能量守恒定律知，在插入電介質平板的過程中，外力作的功為12. 一球形電容器，內球殼半徑為，外球殼半徑為，兩球殼間充有兩層各向同性均勻電介質，其界面半徑為，相對介電常數分別為和，如圖所示。設在兩球殼間加上電勢差，求： (1) 電容器的電容； (2) 電容器儲存的