大學(xué)物理第7章靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì)課后習(xí)題及答案

1、第7章 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì) 習(xí)題及答案1. 半徑分別為和的兩個(gè)導(dǎo)體球，相距甚遠(yuǎn)。用細(xì)導(dǎo)線連接兩球并使它帶電，電荷面密度分別為和。忽略兩個(gè)導(dǎo)體球的靜電相互作用和細(xì)導(dǎo)線上電荷對(duì)導(dǎo)體球上電荷分布的影響。試證明： 。證明：因?yàn)閮汕蛳嗑嗌踹h(yuǎn)，半徑為的導(dǎo)體球在半徑為的導(dǎo)體球上產(chǎn)生的電勢(shì)忽略不計(jì)，半徑為的導(dǎo)體球在半徑為的導(dǎo)體球上產(chǎn)生的電勢(shì)忽略不計(jì)，所以半徑為的導(dǎo)體球的電勢(shì)為半徑為的導(dǎo)體球的電勢(shì)為用細(xì)導(dǎo)線連接兩球，有，所以2. 證明：對(duì)于兩個(gè)無(wú)限大的平行平面帶電導(dǎo)體板來(lái)說(shuō)，(1)相向的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號(hào)相反；(2)相背的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號(hào)相同。證明: 如圖所示，設(shè)兩

2、導(dǎo)體、的四個(gè)平面均勻帶電的電荷面密度依次為，（1）取與平面垂直且底面分別在、內(nèi)部的閉合圓柱面為高斯面，由高斯定理得 故 上式說(shuō)明相向兩面上電荷面密度大小相等、符號(hào)相反。（2）在內(nèi)部任取一點(diǎn)，則其場(chǎng)強(qiáng)為零，并且它是由四個(gè)均勻帶電平面產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)疊加而成的，即又 故 3. 半徑為的金屬球離地面很遠(yuǎn)，并用導(dǎo)線與地相聯(lián)，在與球心相距為處有一點(diǎn)電荷+，試求：金屬球上的感應(yīng)電荷的電量。解：如圖所示，設(shè)金屬球表面感應(yīng)電荷為，金屬球接地時(shí)電勢(shì)由電勢(shì)疊加原理，球心電勢(shì)為故 4半徑為的導(dǎo)體球，帶有電量，球外有內(nèi)外半徑分別為、的同心導(dǎo)體球殼，球殼帶有電量。（1）求導(dǎo)體球和球殼的電勢(shì)和；（2）如果將球殼接地，求和；（3

3、）若導(dǎo)體球接地（設(shè)球殼離地面很遠(yuǎn)），求和。解：（1）應(yīng)用均勻帶電球面產(chǎn)生的電勢(shì)公式和電勢(shì)疊加原理求解。半徑為、帶電量為的均勻帶電球面產(chǎn)生的電勢(shì)分布為 導(dǎo)體球外表面均勻帶電；導(dǎo)體球殼內(nèi)表面均勻帶電，外表面均勻帶電，由電勢(shì)疊加原理知，空間任一點(diǎn)的電勢(shì)等于導(dǎo)體球外表面、導(dǎo)體球殼內(nèi)表面和外表面電荷在該點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)的代數(shù)和。導(dǎo)體球是等勢(shì)體，其上任一點(diǎn)電勢(shì)為球殼是等勢(shì)體，其上任一點(diǎn)電勢(shì)為（2）球殼接地，表明球殼外表面電荷入地，球殼外表面不帶電，導(dǎo)體球外表面、球殼內(nèi)表面電量不變，所以（3）導(dǎo)體球接地，設(shè)導(dǎo)體球表面的感應(yīng)電荷為，則球殼內(nèi)表面均勻帶電、外表面均勻帶電，所以解得 5. 兩個(gè)半徑分別為和（)的同心薄

4、金屬球殼，現(xiàn)給內(nèi)球殼帶電+，試求： (1)外球殼上的電荷分布及電勢(shì)大??；(2)先把外球殼接地，然后斷開接地線重新絕緣，此時(shí)外球殼的電荷分布及電勢(shì)；(3)再使內(nèi)球殼接地，此時(shí)內(nèi)球殼上的電量以及外球殼上的電勢(shì)。解：(1)內(nèi)球殼外表面帶電；外球殼內(nèi)表面帶電為,外表面帶電為，且均勻分布，外球殼上電勢(shì)為(2)外球殼接地時(shí)，外表面電荷入地，外表面不帶電，內(nèi)表面電荷仍為。所以球殼電勢(shì)由內(nèi)球與外球殼內(nèi)表面產(chǎn)生，其電勢(shì)為(3)如圖所示，設(shè)此時(shí)內(nèi)球殼帶電量為；則外殼內(nèi)表面帶電量為，外殼外表面帶電量為 (電荷守恒)，此時(shí)內(nèi)球殼電勢(shì)為零，且得 外球殼的電勢(shì)為6. 設(shè)一半徑為的各向同性均勻電介質(zhì)球體均勻帶電，其自由電荷

5、體密度為，球體內(nèi)的介電常數(shù)為，球體外充滿介電常數(shù)為的各向同性均勻電介質(zhì)。求球內(nèi)外任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小和電勢(shì)(設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn))。 解：電場(chǎng)具有球?qū)ΨQ分布，以為半徑作同心球面為高斯面。由介質(zhì)中的高斯定理得 當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，所以，球內(nèi)（）電勢(shì)為球外（）電勢(shì)為7. 如圖所示，一平行板電容器極板面積為，兩極板相距為，其中放有一層厚度為的介質(zhì)，相對(duì)介電常數(shù)為，介質(zhì)兩邊都是空氣。設(shè)極板上面電荷密度分別為+和，求：（1）極板間各處的電位移和電場(chǎng)強(qiáng)度大??；（2）兩極板間的電勢(shì)差；（3）電容。 解：（1）取閉合圓柱面（圓柱面與極板垂直，兩底面圓與極板平行，左底面圓在極板導(dǎo)體中，右底面圓在兩極板之間）為高斯面，

6、根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理，得 （2） （3）8. 如圖所示，在平行板電容器的一半容積內(nèi)充入相對(duì)介電常數(shù)為的電介質(zhì)，設(shè)極板面積為，兩極板上分別帶電荷為和，略去邊緣效應(yīng)。試求：（1）在有電介質(zhì)部分和無(wú)電介質(zhì)部分極板上自由電荷面密度的比值；（2）兩極板間的電勢(shì)差；（3）電容。解：（1）充滿電介質(zhì)部分場(chǎng)強(qiáng)為，真空部分場(chǎng)強(qiáng)為，有電介質(zhì)部分和無(wú)電介質(zhì)部分極板上自由電荷面密度分別為和。取閉合圓柱面（圓柱面與極板垂直，兩底面圓與極板平行，上底面圓在極板導(dǎo)體中，下底面圓在兩極板之間）為高斯面，由得， 由、解得（2）由電荷守恒定律知， 由 、 、 解得（3）9. 半徑為的導(dǎo)體球，外套有一同心的導(dǎo)體球殼，殼的內(nèi)、外半徑

7、分別為和，當(dāng)內(nèi)球帶電荷時(shí)，求：(1)整個(gè)電場(chǎng)儲(chǔ)存的能量；(2)將導(dǎo)體殼接地時(shí)整個(gè)電場(chǎng)儲(chǔ)存的能量；(3)此電容器的電容值。解：如圖所示，內(nèi)球表面均勻帶電，外球殼內(nèi)表面均勻帶電，外表面均勻帶電(1)由高斯定理得當(dāng)和時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，在區(qū)域在區(qū)域總能量為(2)導(dǎo)體殼接地時(shí)，只有時(shí),其它區(qū)域，所以 (3)電容器電容為 10. 一個(gè)圓柱形電容器，內(nèi)圓柱面半徑為，外圓柱面半徑為，長(zhǎng)為 (，兩圓筒間充有兩層相對(duì)介電常量分別為和的各向同性均勻電介質(zhì)，其分界面半徑為，如圖所示。設(shè)內(nèi)、外圓柱面單位長(zhǎng)度上帶電荷(即電荷線密度)分別為和，求： （1）電容器的電容；（2）電容器儲(chǔ)存的能量。解：（1）電場(chǎng)分布具有軸對(duì)

8、稱性，取同軸閉合圓柱面為高斯面，圓柱面高為，底面圓半徑為。由介質(zhì)中的高斯定理得 當(dāng)時(shí)，兩圓筒間場(chǎng)強(qiáng)大小為兩圓筒間的電勢(shì)差為 電容器的電容為（2）電容器儲(chǔ)存的能量11如圖所示，一充電量為的平行板空氣電容器，極板面積為，間距為，在保持極板上電量不變的條件下，平行地插入一厚度為，面積，相對(duì)電容率為的電介質(zhì)平板，在插入電介質(zhì)平板的過(guò)程中，外力需作多少功？解：插入電介質(zhì)平板之前，電容器儲(chǔ)存的能量為插入電介質(zhì)平板之后，由本章習(xí)題7的解法可得到電容器儲(chǔ)存的能量為由能量守恒定律知，在插入電介質(zhì)平板的過(guò)程中，外力作的功為12. 一球形電容器，內(nèi)球殼半徑為，外球殼半徑為，兩球殼間充有兩層各向同性均勻電介質(zhì)，其界面半徑為，相對(duì)介電常數(shù)分別為和，如圖所示。設(shè)在兩球殼間加上電勢(shì)差，求： (1) 電容器的電容； (2) 電容器儲(chǔ)存的