空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)45339教育材料

1、空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)一知識(shí)要點(diǎn)。1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不變性2. 空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）。 ;運(yùn)算律：加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則3. 共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，平行于，記作。（2）共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量、（），/存在實(shí)數(shù)，使。（3）三點(diǎn)共線：a、b

2、、c三點(diǎn)共線<=> <=>（4）與共線的單位向量為4. 共面向量 （1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，與向量共面的條件是存在實(shí)數(shù)使。（3）四點(diǎn)共面：若a、b、c、p四點(diǎn)共面<=> <=>5. 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使。若三向量不共面，我們把叫做空間的一個(gè)基底，叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)，使。6

3、. 空間向量的直角坐標(biāo)系： （1）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)。注：點(diǎn)a（x,y,z）關(guān)于x軸的的對(duì)稱點(diǎn)為(x,-y,-z),關(guān)于xoy平面的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y,-z).即點(diǎn)關(guān)于什么軸/平面對(duì)稱，什么坐標(biāo)不變，其余的分坐標(biāo)均相反。在y軸上的點(diǎn)設(shè)為(0,y,0),在平面yoz中的點(diǎn)設(shè)為(0,y,z)（2）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為，這個(gè)基底叫單位正交基底，用表示。空間中任一向量=（x,y,z）（3）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：若，則， ， 。若，則。

4、一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。定比分點(diǎn)公式：若，則點(diǎn)p坐標(biāo)為。推導(dǎo)：設(shè)p（x,y,z）則,顯然，當(dāng)p為ab中點(diǎn)時(shí)，三角形重心p坐標(biāo)為abc的五心：內(nèi)心p：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點(diǎn)。（單位向量）外心p：外接圓的圓心，中垂線的交點(diǎn)。垂心p：高的交點(diǎn)：（移項(xiàng)，內(nèi)積為0，則垂直）重心p：中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)（中位線比）中心：正三角形的所有心的合一。（4）模長(zhǎng)公式：若，則，（5）夾角公式：。abc中<=>a為銳角<=>a為鈍角，鈍角（6）兩點(diǎn)間的距離公式：若，則，或 7. 空間向量的數(shù)量積。（1）空間向量的夾角及其表示：已知

5、兩非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：。（2）向量的模：設(shè)，則有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模，記作：。（3）向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即。（4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：。（5）空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：。（交換律）。（分配律）。不滿足乘法結(jié)合率：二空間向量與立體幾何1線線平行兩線的方向向量平行1-1線面平行線的方向向量與面的法向量垂直1-2面面平行兩面的法向量平行2線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直2-1線面垂直線與面的法向量平行2-2面面垂直兩面的法向量垂直3線線夾角（共面與異面）兩線的方向向量的夾角或夾角的

6、補(bǔ)角，3-1線面夾角：求線面夾角的步驟：先求線的方向向量與面的法向量的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補(bǔ)角；再求其余角，即是線面的夾角.3-2面面夾角（二面角）：若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角. 4點(diǎn)面距離 ：求點(diǎn)到平面的距離： 在平面上去一點(diǎn)，得向量;； 計(jì)算平面的法向量;.4-1線面距離（線面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離4-2面面距離（面面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離【典型例題】1基本運(yùn)算與基本知識(shí)（）例1. 已知平行六面體abcd，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量。； ； ； 。例2. 對(duì)空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，問滿足

7、向量式： （其中）的四點(diǎn)是否共面？ 例3 已知空間三點(diǎn)a（0，2，3），b（2，1，6），c（1，1，5）。求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積s；若向量分別與向量垂直，且|，求向量的坐標(biāo)。2基底法（如何找，轉(zhuǎn)化為基底運(yùn)算）3坐標(biāo)法（如何建立空間直角坐標(biāo)系，找坐標(biāo)）4幾何法例4. 如圖，在空間四邊形中，求與的夾角的余弦值。說明：由圖形知向量的夾角易出錯(cuò)，如易錯(cuò)寫成，切記！例5. 長(zhǎng)方體中，為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，又，求長(zhǎng)方體的高。 【模擬試題】1. 已知空間四邊形，連結(jié)，設(shè)分別是的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果向量：（1）； （2）； （3）。2. 已知平行四邊形abcd，從平面外一點(diǎn)引向量。（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）平面平面。3. 如圖正方體中，求與所成角的余弦。 5. 已知平行六面體中，求的長(zhǎng)。參考答案1. 解：如圖， （1）；（2）。；（3）。2. 解：（1）證明：四邊形是平行四邊形，共面；（2）