第五章定積分廣義積分

1、第五章定積分、廣義積分一、基本概念及結(jié)論一、基本概念及結(jié)論1.定義：定義：表示一個(gè)數(shù)的取法無(wú)關(guān)，分法和極限存在應(yīng)與bainiiibadxxfbaxfdxxf)(,)(lim)(102.可積可積(充分充分)條件：條件：存在；上單調(diào)有界，則在若可積；有限區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) badxxfbaxf)(,)()2()1(第五章第五章: : 定積分與廣義積分定積分與廣義積分第五章定積分、廣義積分存在。則一類(lèi)間斷點(diǎn)個(gè)第上分段連續(xù)但只有有限在若 badxxfbaxf)(,)()3(上有界；在存在若注：可積的必要條件：,)()(baxfdxxfba (4)定積分的幾何意義定積分的幾何意義:.;.)(的面積取負(fù)號(hào)軸

2、下方在軸上方面積取正號(hào)在面積的代數(shù)和軸上各曲邊梯形表示底邊在定積分xxxdxxfba 第五章定積分、廣義積分 basdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 basdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值的負(fù)值, 0)( xf, 0)( xfabxyooyabxabab0 1s2s3s321)(sssdxxfba 第五章定積分、廣義積分3.3.定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì): : bababababaabbababadxxfkdxxkfdxxgdxxfdxxgxfdxxfdxxfdttfdxxf)()(,)()()()()(3(;)()().2(,)()()1(線(xiàn)性性質(zhì))(0)(; 0)()4

3、(連續(xù)xfdxxfdxddxxfbaaa 第五章定積分、廣義積分);,()()()()5(述積分存在的位置不一定，只要上cbadxxfdxxfdxxfbccaba babababadxxfdxxfdxxgdxxfbaxxgxf)()(,)()(,),()()6( 比較性質(zhì)：反之不然反之不然)0(0)(,)( xfbaxf上連續(xù)，上連續(xù)，在在特別地，若特別地，若, 0)(0)( xfdxxfba第五章定積分、廣義積分)()()(,)()7(abmdxxfabmbaxmxfmba 有有估估值值定定理理： 4121 dx)x(例例1.估計(jì)積分值估計(jì)積分值:,x)x(f12 解解在在1,4上的最小值、

4、最大值分別為：上的最小值、最大值分別為： 2,m .m1714 2 )(142 4121 dx)x()(1417 651 4121 dx)x(所以所以第五章定積分、廣義積分如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)，則在上連續(xù)，則在a,b上至上至少存在一點(diǎn)少存在一點(diǎn)使,)()(abfdxxfba(8)積分中值定理：積分中值定理：) ()(1)()2(,)1(平均值內(nèi)取得；可在定理中的 badxxfabfba 注注第五章定積分、廣義積分4.4.定積分的計(jì)算方法定積分的計(jì)算方法（1）newtonleibniz公式：公式：)()()()(afbfxfdxxfbaba上的任一原函數(shù)在為其中,)(

5、)(baxfxf注注1：badxxfafbf)()()()()()()()()()()()()4()()()(xbxbfxgdttfxgdttfxgdtxgtfdxdxbaxbaxba 第五章定積分、廣義積分注注2 newtonleibniz公式表明：公式表明： (1) 一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分等等于于它它的的任任意意一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的增增量量. (3)當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)時(shí)，)()()(afbfdxxfba 仍仍成成立立. (2)求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)不定積分求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)不定積分的問(wèn)題的問(wèn)題.(2)(2)定積分的換元

6、積分定積分的換元積分00 x( t )ba( t )()f ( x )dxf (t ) (t )dt 第五章定積分、廣義積分注：變量不必回代；用湊微分法求定積分時(shí)若用同注：變量不必回代；用湊微分法求定積分時(shí)若用同除法（同除一因子），此因子在積分范圍內(nèi)不能為除法（同除一因子），此因子在積分范圍內(nèi)不能為0.0.（3 3）定積分的分部積法）定積分的分部積法 bababavduuvudv注：注：u,dv 的選取與不定積分相同；的選取與不定積分相同；若被積函數(shù)中含有變上限積分或被積函數(shù)的若被積函數(shù)中含有變上限積分或被積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)一般用分部積分。導(dǎo)數(shù)時(shí)一般用分部積分。125.5.廣義積分廣義積分(1)無(wú)

7、窮區(qū)間上的廣義積分無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分第五章定積分、廣義積分(2)無(wú)界函數(shù)的廣義積分無(wú)界函數(shù)的廣義積分(瑕積分瑕積分)注：注：廣義積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為計(jì)算一個(gè)定積分的廣義積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為計(jì)算一個(gè)定積分的極限，極限存在時(shí)收斂，極限不存在時(shí)發(fā)散；極限，極限存在時(shí)收斂，極限不存在時(shí)發(fā)散；（3 3）性質(zhì)：）性質(zhì)：),()()()(為任意常數(shù)cadxxfdxxfdxxfcaca1aaadxxgdxxfdxxgxf)()()()(aadxxfkdxxkf)()(23第五章定積分、廣義積分分部積分公式分部積分公式aaavduuvudv45也有相應(yīng)的換元法；也有相應(yīng)的換元法；6)()()()(affxfdxxfa

8、a7)()()()(fbfxfdxxfbb8)()()()(ffxfdxxf9)()()()(afbfxfbdxxfbaba為瑕點(diǎn)第五章定積分、廣義積分記住以下幾個(gè)廣義積分的斂散性：記住以下幾個(gè)廣義積分的斂散性： 時(shí)發(fā)散時(shí)收斂時(shí)發(fā)散時(shí)收斂時(shí)發(fā)散時(shí)收斂11)()3(11)(ln)2(11)1(121kkaxdxkkxxdxkkxdxakkk第五章定積分、廣義積分利用以上結(jié)論可直接判定一些廣義積分的斂散性利用以上結(jié)論可直接判定一些廣義積分的斂散性: : 2121310)(ln)(;)(;1)(;)()(. 1xxdxdxdxcxdxbxdxa下列廣義積分發(fā)散的是例.)(),(正確利用上述結(jié)論不難判

9、定dc第五章定積分、廣義積分6.6.微積分的常用公式微積分的常用公式 aaaaxfxfdxxfxfxfdxxfxfdxxfaaxf00)()(,)(2)()(, 0)()()(,)()1(上連續(xù)，則上連續(xù)，則在在若若奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)(2)若若, 則則)()(xftxf 220)()()(ttttaadxxfdxxfdxxf第五章定積分、廣義積分二、基本問(wèn)題及解法二、基本問(wèn)題及解法問(wèn)題問(wèn)題( (一一) ) 有關(guān)變上限積分的運(yùn)算有關(guān)變上限積分的運(yùn)算。、xdttfxbaxfxa求極值等導(dǎo)求求極限如可進(jìn)行函數(shù)的各種運(yùn)算的連續(xù)函數(shù)是則變上限積分上連續(xù)在如果,.)()(,)( xaxxtxxdtt

10、xfxfdtexfdttfxfdttxf)()()4(;)()3()()()2(;1)()1(. 12320212求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù)例第五章定積分、廣義積分51)2(, 1. 1)32()(, 1 )1()1(,:23222 fxxxxxfxxxxfx得令即得求導(dǎo)方程兩邊對(duì)解)2()(), 0)(. 5)1(02fxdttfxfxx求上連續(xù)且滿(mǎn)足在設(shè)例 問(wèn)題問(wèn)題( (二二) )： 定積分的計(jì)算定積分的計(jì)算直接積分法01.,萊布尼茲公式計(jì)算萊布尼茲公式計(jì)算頓頓找到一個(gè)原函數(shù)代入牛找到一個(gè)原函數(shù)代入牛湊微分的方法湊微分的方法基本積公式基本積公式直接利用積分性質(zhì)直接利用積分性質(zhì)第五章定積分、廣義積分.;

11、,同的表達(dá)式同的表達(dá)式間所取的正負(fù)號(hào)或不間所取的正負(fù)號(hào)或不被積函數(shù)在不同積分區(qū)被積函數(shù)在不同積分區(qū)必須注意必須注意數(shù)形式時(shí)數(shù)形式時(shí)段函數(shù)以及要開(kāi)方的函段函數(shù)以及要開(kāi)方的函分分對(duì)值對(duì)值當(dāng)被除數(shù)積函數(shù)出現(xiàn)絕當(dāng)被除數(shù)積函數(shù)出現(xiàn)絕公式積分公式積分萊萊可直接或分段利用?？芍苯踊蚍侄卫门５谝活?lèi)間斷點(diǎn)時(shí)第一類(lèi)間斷點(diǎn)時(shí)或出現(xiàn)有限個(gè)或出現(xiàn)有限個(gè)連續(xù)連續(xù)當(dāng)被積函數(shù)在積分間上當(dāng)被積函數(shù)在積分間上，、dxxx210212例例1. dxxx2102112dxx2102112102)12(x210arcsinx632 第五章定積分、廣義積分102)21(xx212)21(xx 10)1 (dxx21) 1(dxx1)

12、12122(211 例例3.求求dxxx 03sinsin解：由于被積函數(shù)解：由于被積函數(shù)|cos|sin)sin1(sinsinsin23xxxxxx 20|1|dxx例例2.第五章定積分、廣義積分例例1 計(jì)算計(jì)算 42022 dxxx解解: 設(shè),sin2tx 2 ttdtdxcos2 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí),0 t;當(dāng)2 x時(shí),于是于是, 42022 dxxxtdtttcos2sin44)sin2(2202 dtt 202)2(sin4 dtt 20)4cos1(2 20)4sin41(2 tt 第五章定積分、廣義積分例例2 計(jì)算計(jì)算.12240dxxx . 3, 4 txtdttt 312221

13、312)3(21dtt322 解解 設(shè)設(shè),12tx ,212 tx,tdtdx ; 1, 0 txdxxx 40122313)331(21tt 第五章定積分、廣義積分 bababavduuvudv定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式的適用范圍及使用方法定積分的分部積分公式的適用范圍及使用方法與不定積分類(lèi)同與不定積分類(lèi)同 分部積分法03第五章定積分、廣義積分例例1 計(jì)算計(jì)算 10arctan xx 1021dxxx. 2ln214 4 102)1ln(21x .arctan10 xdx 10arctan xdxudv第五章定積分、廣義積分例例2 計(jì)算.ln1 exdxx解

14、解 exdxx1ln exdx12ln21 exx12ln21 edxxx1212122e ex1241412 e第五章定積分、廣義積分解解 令 , tx 102dttet 102ttde 101022dtetett . 22210 tee. 1, 1; 0, 0 txtx,2tx ,2tdtdx 10dxex例例3. 計(jì)算.10dxex第五章定積分、廣義積分廣義積分的計(jì)算及判定04.,;,積分發(fā)散廣義極限不存在時(shí)廣義積分收斂極限存在時(shí)計(jì)算一個(gè)定積分的極限廣義積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上連續(xù)設(shè)無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分)(:. 1xf)()()()(lim)(lim)()()()()3()(lim)()

15、2( ;)(lim)()1( ffxfdxxfdxxfcdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfbcbcaaccbaabbaba為取定的常數(shù)注注:僅當(dāng)右端兩個(gè)極限都存在時(shí)僅當(dāng)右端兩個(gè)極限都存在時(shí),左端的積分才收斂左端的積分才收斂.第五章定積分、廣義積分例例1.計(jì)算計(jì)算dxex 0解解dxex 0dxebxb 0limbxbe0lim 1 limbbe . 1 xeyxyo1a另解另解dxex 0 0 xe1)(lim xxe. 1 第五章定積分、廣義積分例例2.計(jì)算計(jì)算dxx 211另解另解dxx 211dxx 0211dxx 02110arctan x 0arctan x)2

16、( 2 第五章定積分、廣義積分)(. 2瑕積分無(wú)界函數(shù)的廣義積分.)(,)(,00的瑕點(diǎn)為函數(shù)點(diǎn)則稱(chēng)時(shí)如果當(dāng)上在積分區(qū)間xfxxfxxba babababadxxfdxxfadxxfdxxfb )(lim)(:).2()(lim)(:).1(00則是瑕點(diǎn)若下限則是瑕點(diǎn)若上限注注1;右端的極限存在時(shí)右端的極限存在時(shí),左端的廣義積分收斂左端的廣義積分收斂,否則發(fā)散否則發(fā)散. bccabccabadxxfdxxfdxxfdxxfdxxfbac2211)(lim)(lim)()()(,),().3(00 則是瑕點(diǎn)若內(nèi)點(diǎn)注注2：當(dāng)且僅當(dāng)上述兩個(gè)極限同時(shí)存在時(shí)：當(dāng)且僅當(dāng)上述兩個(gè)極限同時(shí)存在時(shí),廣義積分收斂

17、廣義積分收斂第五章定積分、廣義積分例例3:計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分)0( 022 axadxa解解: 因因221limxaax 所以所以 022 axadx lim0220 axadx aax00arcsinlim.2 另解另解 022 axadxuauax0arcsinlim .2 第五章定積分、廣義積分問(wèn)題問(wèn)題(三三) 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用旋轉(zhuǎn)體體積求平面圖形面積幾何應(yīng)用、.101.面積的基本公式面積的基本公式)(xy xoyab)(xy)( yxxycd)(yxodxxxsba)()( dyyysdc)()( 第五章定積分、廣義積分 dcdcbabadyyydxsbycyyxyxdx

18、xxdxsbxaxxyxy)()(,)(),()2()()(,)(),()1( 左右則圍成及直線(xiàn)平面圖形由曲線(xiàn)下上則圍成及直線(xiàn)平面圖形由曲線(xiàn)梯形面積公式底邊在坐標(biāo)軸上的曲邊特例:)3(y0)( xfysabxosoyxab0)( xfy2s3sxyab)(xfy 1scd badxxfs)( badxxfs)( cadcbds第五章定積分、廣義積分y0)( yx acdxo dcdyys)( acdyys)( y0)( yx cdxo dcdyys)( xac)y(x byd badyy)( dbdyy)( 第五章定積分、廣義積分2.2.求面積的步驟求面積的步驟: :.,;,.;:)2(;,)

19、1(以便確定相應(yīng)的積分限軸作垂線(xiàn)各交點(diǎn)向積分時(shí)對(duì)軸作垂線(xiàn)各交點(diǎn)向積分時(shí)對(duì)其它則需分塊積分積分左右圍成對(duì)積分上下圍成對(duì)的公式根據(jù)圖形形狀選用適當(dāng)求交點(diǎn)坐標(biāo)畫(huà)草圖yyxxyx第五章定積分、廣義積分畫(huà)草圖畫(huà)草圖.例例22,xy xy所圍成圖形的面積所圍成圖形的面積.計(jì)算由計(jì)算由解解22xyxy得交點(diǎn)得交點(diǎn) (0, 0) 和和 (1, 1)解方程組解方程組xoyxy 22xy ) 1 , 1 (131dxxxs)(21010332323xx 另解另解.31dy)yy(s210 10332323yy 第五章定積分、廣義積分畫(huà)草圖畫(huà)草圖.得交點(diǎn)得交點(diǎn))4, 8(),2, 2( 422)214(dyyys計(jì)

20、算拋物線(xiàn)計(jì)算拋物線(xiàn)xy22與直線(xiàn)與直線(xiàn)4 xy所圍成圖形的面積所圍成圖形的面積.例例解解.1824)642(32yyy)4 , 8()2, 2( xoyxy224xy422xyxy由由所求面積為所求面積為:-242022dxxs82)4(2dxxx或或第五章定積分、廣義積分 旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線(xiàn)叫做旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓臺(tái)2.2.旋轉(zhuǎn)體體積的基本公式旋轉(zhuǎn)體體積的基本公式第五章定積分、廣義積分 baxdxxfv)()1(2 )(xy xoyab)(xyy0)( xfysabxo baxdxxxv)()(22 (底在坐標(biāo)軸的曲邊梯形底在坐標(biāo)軸的曲

21、邊梯形)(化為底在坐標(biāo)軸的曲邊化為底在坐標(biāo)軸的曲邊梯形旋轉(zhuǎn)梯形旋轉(zhuǎn))第五章定積分、廣義積分y0)( yx acdxo)( yxxycd)(yxo dcydyyv)(2 dyyyvdcy )()(22 第五章定積分、廣義積分例例1. 求圓形求圓形4) 3(22yx繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.yxo312-2解解. 所求體積為所求體積為:2222)(dyyxvy2221)(dyyx222122)()(dyyxyx202122)()(2dyyxyx202222)43()43(2dyyy202424dyy2022arcsin244224yyy2242243yx2143yx第五章定積分、廣義積分.,)2 , 2()0(2. 22軸的旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積區(qū)域繞該平面求該平面圖形的面積及軸所圍成線(xiàn)與該曲線(xiàn)及處的切在點(diǎn)已知平面圖形由曲線(xiàn)例xxxxy 2)2 , 2(xy0122),2(22, 2)2()2(:02 xyxyfkxxy即所求切線(xiàn)方程為切線(xiàn)斜率程先求切線(xiàn)斜率與切線(xiàn)方解面積面積313821)3224()2122023220 yyydyyys第五章定積分、廣義積分 xxxxdxxlxldxxrxrcdxxcxcdxxcxc000001)()()