概率統(tǒng)計(jì)4.2方差的計(jì)算

1、Ch4-48引例引例 甲、乙兩射手各打了6 發(fā)子彈,每發(fā)子彈擊中的環(huán)數(shù)分別為：甲 10, 7, 9, 8, 10, 6, 乙 8, 7, 10, 9, 8, 8, 問哪一個(gè)射手的技術(shù)較好？解解 首先比較平均環(huán)數(shù)首先比較平均環(huán)數(shù)甲 = 8.3,乙 = 8.34.2 方差方差 有五個(gè)不同數(shù)有四個(gè)不同數(shù)Ch4-49再比較穩(wěn)定程度再比較穩(wěn)定程度34.13) 3 . 86 () 3 . 87 () 3 . 88 () 3 . 89 () 3 . 810(222222甲：乙：34. 5) 3 . 87 () 3 . 88 (3) 3 . 89 () 3 . 810(2222乙比甲技術(shù)穩(wěn)定，故乙技術(shù)較好.C

2、h4-50進(jìn)一步比較平均偏離平均值的程度進(jìn)一步比較平均偏離平均值的程度甲) 3 . 86() 3 . 87() 3 . 88() 3 . 89() 3 . 810(26122222乙)3 . 87()3 . 88(3)3 . 89()3 . 810(61222222.26/34.1389. 06/34. 5512)(kkkpXEx412)(kkkpXEx E X - E(X)2Ch4-51若E X - E(X)2 存在, 則稱其為隨機(jī)稱)(XD為 X 的均方差均方差或標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差. 方差概念方差概念定義定義 即 D (X ) = E X - E(X)2 變量 X 的方差方差, 記為D (X )

3、 或 Var (X ) 兩者量綱相同兩者量綱相同 D(X ) 描述 r.v. X 的取值偏離平均值 的平均偏離程度 數(shù)Ch4-52, 2 , 1,)(kpxXPkk若 X 為離散型 r.v.，分布律為12)()(kkkpXExXD若 X 為連續(xù)型r.v. ，概率密度為 f (x)dxxfXExXD)()()(2計(jì)算方差的常用公式：計(jì)算方差的常用公式：)()()(22XEXEXDCh4-53q D (C) = 0q D (aX ) = a2D(X)D(aX+b ) = a2D(X)q )()(2)()()(YEYXEXEYDXDYXD特別地，若X ,Y 相互獨(dú)立，則)()()(YDXDYXD 方

4、差的性質(zhì)Ch4-54若nXX,1相互獨(dú)立，baaan,21為常數(shù)則niiiniiiXDabXaD121)(若X ,Y 相互獨(dú)立)()()(YDXDYXD)()()(YEXEXYEq 對任意常數(shù)C, D (X ) E(X C)2 , 當(dāng)且僅當(dāng)C = E(X )時(shí)等號成立q D (X ) = 0 P (X = E(X)=1 稱為X 依概率 1 等于常數(shù) E(X)Ch4-55性質(zhì) 1 的證明：0)()(2CECECD性質(zhì) 2 的證明：2)()()(baXEbaXEbaXD2)()(bEbXEXaE22)(XEXaE)(2XDaCh4-562)()()(YXEYXEYXD)()(2)()(22YEYX

5、EXEYEYEXEXE)()(2)()(YEYXEXEYDXD性質(zhì) 3 的證明：當(dāng) X ,Y 相互獨(dú)立時(shí)，)()()()()(YEXEXYEYEYXEXE注意到，)()()(YDXDYXD Ch4-5722)()(XECXEXECXE性質(zhì) 4 的證明：22)()(XECXEXE當(dāng)C = E(X )時(shí)，顯然等號成立；當(dāng)C E(X )時(shí)，0)(2XEC)(2XDCXE2)()(XECXDCh4-58例例1 1 設(shè)X P (), 求D ( X ).解解0!)(kkkekXE11)!1(kkke)()1()(2XEXXEXE!) 1()1(0kekkXXEkk2222)!2(kkke 方差的計(jì)算方差的

6、計(jì)算22)(XE)()()(22XEXEXDCh4-59例例2 2 設(shè)X B( n , p)，求D(X ).解一解一 仿照上例求D (X ).解二解二 引入隨機(jī)變量nXXX,21發(fā)生次試驗(yàn)事件第發(fā)生次試驗(yàn)事件第AiAiXi, 0, 1nXXX,21相互獨(dú)立，ni, 2 , 1)1 ()(ppXDiniiXX1故)1 ()()(1pnpXDXDniiCh4-60例例3 3 設(shè) X N ( , 2), 求 D( X )解dxexXDx222)(221)()(dtetttx222221令2Ch4-61常見隨機(jī)變量的方差(P.159 )分布方差概率分布參數(shù)為p 的 0-1分布pXPpXP1)0() 1

7、(p(1-p)B(n,p)nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0)1 ()(np(1-p)P(), 2 , 1 , 0!)(kkekXPkCh4-62分布方差概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布其它, 0,1)(bxaabxf12)(2abE()其它, 0, 0,)(xexfx21N(, 2)222)(21)(xexf2Ch4-63例例4 4 已知X ,Y 相互獨(dú)立, 且都服從 N (0,0.5), 求 E( | X Y | ).解解) 5 . 0 , 0(),5 . 0 , 0(NYNX1)(, 0)(YXDYXE故) 1 , 0( NYX dzezYXEz2221|)(|22220

8、2dzezzCh4-64例例5 5 設(shè)X 表示獨(dú)立射擊直到擊中目標(biāo) n 次為止所需射擊的次數(shù) , 已知每次射擊中靶的概率為 p , 求E(X ), D(X ).解解 令 X i 表示擊中目標(biāo) i - 1 次后到第 i 次擊中目標(biāo)所需射擊的次數(shù)，i = 1,2, n 1, 2 , 1,)(1qpkpqkXPki1111)(kkkkikqpkpqXEpqp1)1 (12nXXX,21相互獨(dú)立，且niiXX1Ch4-6511112) 1()(kkkkikpqpqkkXEpqkkpqkk1) 1(22pxdxdpqqxkk1022pxpqqx1)1 (2322pp222112)(pppppXDiCh4

9、-66pnXEXEnii1)()(故21)1 ()()(ppnXDXDnii 本例給出了幾何分布與巴斯卡分布的期望與方差Ch4-67例例6 6 將 編號分別為 1 n 的 n 個(gè)球隨機(jī)地放入編號分別為 1 n 的n 只盒子中,每盒一 球. 若球的號碼與盒子的號碼一致，則稱為一個(gè)配對. 求配對個(gè)數(shù) X 的期望與方差.解解niiiXi, 2 , 1, 0, 1其它號盒號球放入則niiXX1nXXX,21不相互獨(dú)立，但Ch4-6811)()(1nnXEXEnii212)(niiXEXEiXP 1 0n1n11ni, 2 , 1nnjijiniiXXXE1122nnjijiniiXXEXE112)(2

10、)(Ch4-692iXP 1 0n1n11ni, 2 , 1nji, 2 , 1,jiXXP 1 0) 1(1nn) 1(11nnnXEi1)(2) 1(1)(nnXXEjiCh4-70nnjijiniiXXEXEXE1122)(2)()(nnjininnn11) 1(121) 1(1212nnCnnn21)()()(22XEXEXDCh4-71標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存在, 且D(X ) 0, 則稱)()(XDXEXX為 X 的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量. 顯然，1)(,0)(XDXECh4-72僅知僅知 r.v.r.v.的期望與方差的期望與方差 并

11、不能確定其分布并不能確定其分布XP -1 0 1 0.1 0.8 0.1YP -2 0 20.025 0.95 0.025與2 . 0)(, 0)(XDXE2 . 0)(, 0)(YDYE有相同的期望方差但是分布卻不相同例如例如Ch4-73例例7 7 已知 X 服從正態(tài)分布, E(X ) = 1.7, D(X ) = 3, Y =1 2 X , 求Y 的密度函數(shù).解解 1234)(, 4 . 27 . 121)(YDYEyeyfyY,621)(24)4 . 2(2 在已知某些分布類型時(shí)在已知某些分布類型時(shí), ,若知道若知道其期望和方差其期望和方差, ,便常能確定分布便常能確定分布. .Ch4-

12、74作業(yè) P.170 習(xí)題三 9 11 16 17 19 21Ch4-75附例附例 在 0, 1 中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù) X , Y , 求 D (min X ,Y )解解其它, 010 , 10, 1),(yxyxf1101010,minyxdxdyyx. 3/1dydxydxdyxyx 101101),(min YXECh4-76dydxydxdyxYXEyx 101210122),(min.6/1,min,min),(min22YXEYXEYXD.18/1Ch4-77例例8 8 已知 X 的 d.f.為其它, 0, 10,)(2xBxAxxf其中 A ,B 是常數(shù)，且 E (X ) = 0.5. 求 A ,B. 設(shè) Y