小學(xué)數(shù)學(xué)分類思想方法的形成與運(yùn)用

1、小學(xué)數(shù)學(xué)“分類”思想方法的形成與運(yùn)用華中科技大學(xué)附小 馮勝小學(xué)數(shù)學(xué)教材體系包括兩條主線，其一是數(shù)學(xué)知識(shí)，這是教材的明線；其二是數(shù)學(xué)思想方法。教師只要看教材，就能明確前者，而后者只有掌握小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法，才能從整體的角度、本質(zhì)上理解教材；才能在課堂教學(xué)中合理地、有步驟地滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì)達(dá)到“隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無聲”的效果。在人們認(rèn)識(shí)事物的過程中，出現(xiàn)了“物以類聚，人以群分”的過程?！邦悺备拍钣纱水a(chǎn)生，“分類”這一數(shù)學(xué)思想方法在生產(chǎn)生活以及科學(xué)研究中有著廣泛的運(yùn)用。下面，筆者談?wù)勑W(xué)數(shù)學(xué)“分類”思想方法的形成與運(yùn)用。一、形成階段在活動(dòng)中體驗(yàn)“類”和“分類”。分類就是根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)

2、，對(duì)事物進(jìn)行有序的劃分、組織的過程。對(duì)于兒童而言，“類”和“分類”不是靠定義的解釋，而應(yīng)該重視引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)。分類，在新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書一年級(jí)上冊(cè)第5單元獨(dú)立成“章”。教學(xué)時(shí)可以通過聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，從學(xué)生熟悉的“房間的場(chǎng)景”入手，通過學(xué)生的觀察，說出自己的感受，從而產(chǎn)生整理房間的需要。在整理的過程中，對(duì)房間內(nèi)穿的、用的、玩的有了相應(yīng)的認(rèn)識(shí)。這里的“穿的”、“玩的”、“用的”就是“類”的一種表述。學(xué)生在這樣的活動(dòng)中，其思維過程首先是觀察，其次是比較。經(jīng)過比較之后，進(jìn)行排列。排列的過程就是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)事物進(jìn)行有序劃分和組織的過程。這樣一種劃分和組織的結(jié)果就形成了分類。分類的關(guān)鍵在

3、于正確地選擇分類標(biāo)準(zhǔn)。一個(gè)科學(xué)的分類標(biāo)準(zhǔn)必須能夠?qū)⑿枰姆诸惖臄?shù)學(xué)對(duì)象，進(jìn)行不重復(fù)、無遺漏的劃分。這也是分類的重要原則，就必須分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)同一。在人教版課標(biāo)教材一年級(jí)上冊(cè)第39頁(yè)的“做一做”。就是通過學(xué)生將卡片的分類過程中，選擇不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類后進(jìn)行交流。讓學(xué)生體會(huì)到同一標(biāo)準(zhǔn)下，分類結(jié)果的一致性，不同標(biāo)準(zhǔn)下，分類結(jié)果的多樣性。數(shù)學(xué)的美在于她的簡(jiǎn)明、抽象、統(tǒng)一。而“分類”這一重要的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)于小學(xué)生不能用抽象的語(yǔ)言來描述，只有讓孩子們參與到具體的活動(dòng)中體會(huì)抽象的數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。二、運(yùn)用階段在活動(dòng)中探索“類”和“分類”。學(xué)生頭腦中的“思想”的形成后，不能只停留為“記憶”，這樣體驗(yàn)

4、只能浮于現(xiàn)象，仍然是表面，只要將其運(yùn)用，才能被內(nèi)化成學(xué)生自己的東西，形成于“數(shù)學(xué)方法”?！胺诸悺边@一方法在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中有廣泛的應(yīng)用，具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)層面：1“為了分類，而分類”。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，通過分類可以使大量繁雜的知識(shí)條理化、系統(tǒng)化，有助于人們更好的掌握知識(shí)和形成良好的知識(shí)體系。例如：在教學(xué)“三角形的分類”時(shí)。（1）從生活實(shí)際引出分類的話題。你們?cè)诩抑姓矸块g嗎？（2）給物品分類也是一門學(xué)問，你們能不能給我們學(xué)習(xí)的三角形也分一分類呢？（3）出示不同類型的三角形（4）小組合作學(xué)習(xí)，分組討論三角形分類情況。（強(qiáng)調(diào)分類就得找一個(gè)分類的標(biāo)準(zhǔn)）（5）組織學(xué)生匯報(bào)情況：你們是從什么角度分類的？怎

5、么分？可能情況：a、按角的特征進(jìn)行分類 b、按邊的特征進(jìn)行分類先歸納，再分別根據(jù)角的特征去定義：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。（6）教師在肯定的情況下，同時(shí)板書集合圖進(jìn)行分類。（強(qiáng)調(diào)我們今天是按角的特征分類。）上面的例子中，由于教學(xué)的是“三角形的分類”我們必須根據(jù)同一標(biāo)準(zhǔn)將各式各樣的三角形進(jìn)行分類，并且在分類后根據(jù)其一類的特性進(jìn)行定義，這樣的一個(gè)分類的過程就是“為了分類，而分類?！痹诖祟惤虒W(xué)活動(dòng)中必須提供豐富的素材讓學(xué)生分類，還要注意分類的標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一性，在上面的例子中，如果不按角的特征進(jìn)行分類，還可以按邊的特征進(jìn)行分類，那么分類的結(jié)果又不一樣了！在教學(xué)中還有此類運(yùn)用“分類”的方法，如根據(jù)自

6、然數(shù)能否被2整除的標(biāo)準(zhǔn)分為奇數(shù)和偶數(shù)。這些分類的標(biāo)準(zhǔn)都是抓住了分類對(duì)象的本質(zhì)特征進(jìn)行的。2“為了比較，而分類?！比藗冋J(rèn)識(shí)事物往往是從區(qū)分事物開始的。要區(qū)分事物，首先就要進(jìn)行比較，有比較才有鑒別。而分類就是以比較為基礎(chǔ)，通過比較識(shí)別出數(shù)學(xué)對(duì)象之間的異同點(diǎn)，然后出本質(zhì)上認(rèn)識(shí)新的事物。這種“為了比較，而分類”，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中有運(yùn)用。例如：教學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”。（1）出示下面平面圖形：（2）提問：同學(xué)們，你們能將下面的圖形分類嗎？說一說，你是怎樣分類的？和分類的理由。（3）學(xué)生討論交流。（4）匯報(bào)交流，教師明確：圓形單獨(dú)分一類，因?yàn)樗乔€圖形。在上面的教學(xué)環(huán)節(jié)中，為了突出“圓形是曲線圖形的特點(diǎn)?！睂?/p>

7、它和其他圖形分類的過程中，進(jìn)行比較從而突出它的特點(diǎn)。這樣分類的目的不是分類，而是通過運(yùn)用“分類”這個(gè)方法和途徑在分類中把我們研究的對(duì)象與其他對(duì)象“比較”突出特性。由于某些事物比較特殊，特性一時(shí)難以發(fā)現(xiàn)所以在和其他事物比較中更易發(fā)現(xiàn)自身的特點(diǎn)。例如：在教學(xué)“對(duì)稱”時(shí)，可以將“對(duì)稱”和“不對(duì)稱”的圖形放在一起進(jìn)行分類，比較后更容易凸現(xiàn)“對(duì)稱”圖形的特點(diǎn)。3“為了思考，而分類?！毙W(xué)階段，尤其是高年級(jí)，各種新舊知識(shí)交錯(cuò)出現(xiàn)，應(yīng)不斷強(qiáng)化學(xué)生分類討論的意識(shí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這些問題，只有通過分類后，才能系統(tǒng)完整的理解它們，如不分類，就很容易出現(xiàn)混淆。在解題教學(xué)中，通過分類還有利于幫助學(xué)生概括，總結(jié)出規(guī)律性的

8、東西，從而增強(qiáng)學(xué)生思維的條理性。例如：將自然數(shù)n接著寫在任意自然數(shù)的右面（例如：將2接著寫在35的右面得352），如果得到的新數(shù)都能被n整除，那么n稱為魔術(shù)數(shù)。問：小于2000的自然數(shù)中有多少個(gè)魔術(shù)數(shù)？在這個(gè)問題中要我們根據(jù)“規(guī)則”去尋找這樣的魔術(shù)數(shù)比較困難，那么我們不妨將小于2000的魔術(shù)數(shù)分類為一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)分別進(jìn)行討論。設(shè)p為任意一個(gè)自然數(shù)，將魔術(shù)數(shù)n（n<2000）接后記為pn，下面我們進(jìn)行分類討論：（1）當(dāng)n為一位數(shù)時(shí)，pn=10pn，依題意n|pn，則n |10p，由于需對(duì)任意數(shù)p成立，故n|10，所以n=1，2，5；（2）當(dāng)n為兩位數(shù)時(shí)，pn=100pn，依

9、題意n|pn，則n |100p，故n|100，所以n=10，20，50；（3）當(dāng)n為三位數(shù)時(shí)，pn=1000pn，依題意n|pn，則n |1000p，故n|1000，所以n=100，200，500；（4）當(dāng)n為四位數(shù)時(shí)，同理可得n=1000，1250，2000，2500，5000，符合條件的有1000，1250。綜上所述，魔術(shù)數(shù)的個(gè)數(shù)有14個(gè)。這里我們將問題分成幾種情況去討論，對(duì)每一種情況都增加一個(gè)前提條件，從而降低了問題的難度，使問題容易解決。在解決某些問題中，有時(shí)問題中的條件不完善，需要我們從多角度去考慮分析問題。例如：在一條筆直的公路上，小明和小剛騎車同時(shí)從相距500米的ab兩地出發(fā)，小

10、明每分鐘行200米，小剛每分鐘行300米，多少分鐘后兩人相距5千米？這個(gè)由于題目沒有告訴我們兩個(gè)人的運(yùn)動(dòng)的方向，這時(shí)兩個(gè)人的運(yùn)動(dòng)方向就有4種情況：兩地相向而行、兩地相背而行、同地點(diǎn)相背而行、同地點(diǎn)同方向前進(jìn)（追及問題）。由以上的幾個(gè)例子，我們可以看出分類往往能幫我們理清錯(cuò)綜復(fù)雜的問題，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。另一方面在討論當(dāng)中，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。三、超越階段在教育中從有“類”到無“類”?！胺诸悺彼枷敕椒ú粌H在數(shù)學(xué)活動(dòng)中得到了體現(xiàn)與運(yùn)用，而且在其他知識(shí)領(lǐng)域也能不斷發(fā)現(xiàn)它的蹤跡。在我們孔子的教育思想中就有體現(xiàn)：“因材施教”和“有教無類”。1“因材施教”?！耙虿氖┙獭笔强鬃拥闹?/p>

11、要的教育思想，體現(xiàn)了教育家的教育智慧和前瞻性。他認(rèn)為在教育教學(xué)的過程中要根據(jù)學(xué)生自身的特點(diǎn)，制定學(xué)生的培養(yǎng)目標(biāo)。這樣的教育思想充分尊重了學(xué)生的差異性，對(duì)學(xué)生進(jìn)行分層教育，讓不同的學(xué)生獲得不同的發(fā)展。在我們數(shù)學(xué)教學(xué)中我們可以根據(jù)不同層次的學(xué)生，采取不同的培養(yǎng)方式，制定不同層次的評(píng)價(jià)體系，獲得不同的發(fā)展，也體現(xiàn)課標(biāo)中“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。”這一教育思想也是運(yùn)用“分類”思想方法讓學(xué)生獲得發(fā)展的體現(xiàn)。2“有教無類”?！坝薪虩o類”也是孔子的重要的教育思想，他認(rèn)為：社會(huì)各個(gè)階層的人都要受到教育，通過教育自己的境界得到提高。因此，孔子的弟子3000余人，有來自社會(huì)各個(gè)階層的人。在教育過程中，教師面對(duì)不同層次的學(xué)生都需要我們有一個(gè)“寬容”的愛心去教育學(xué)生。同時(shí)在教學(xué)必須