不等式選講(選修4-5)課件

1、專題一 函數與導數專題九 選考部分不等式選講主要包括絕對值不等式、平均值不等式、柯西不等式及證明不等式的基本方法主要考查絕對值不等式的解法，不等式證明及其應用，要求學生了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數學歸納法；會用這些方法證明一些簡單的不等式，考查推理論證能力和分析問題的能力，對恒等變形不作過高要求絕對值不等式、平均值不等式、柯西不等式的應用只要求會用它們證明一些簡單問題和求一些特定函數的極值，應注意控制難度2易錯易漏 (1)解絕對值不等式分類討論時，容易遺漏端點情形 (2)用柯西不等式時，容易遺漏等號成立的條件，一些恒等變形容易出錯 (3)解不等式與證不等

2、式學生容易混淆3歸納總結對去絕對值的幾種方法要熟練，利用柯西不等式證明求值時，能拼湊出與柯西不等式相似的結構 從2010年高考來看，選這一道題人數最少，得分率也為三題中最低136()A3,7 B(2,62C (37) D (01)214)1.xx 不等式的解集是 山，東模擬【解析】當x3時，原不等式化為(x+1)+(x-3)6，所以x4.故選D.22220112(2) (3)()A 24 2 B 2712 2 C 39 D 27 (2011)12 22.xyxyxyyxR設 ，且，則的最小值為 湖南模擬222222222222411212(2)(3)246312272B722712 26.2x

3、yx yyxx yx yx yxy【解析，當且僅當，即，時等成立故選號】 52 6() A. 3 B. 5 C. D. 3.yxx函數的最大值是 35221-526-1222(-5)( 6- ). 5yxxxx 【解析】根據柯西不等式知：5. 如果關于x的不等式|x-3|+|x-4|a的解集不是空集，則實數a的取值范圍是_【解析】 因為|x-3|+|x-4|(x-3)-(x-4)|=1，所以(|x-3|+|x-4|)min=1，當a1時，|x-3|+|x-4|1.1. 理解基本不等式，并要準備定位基本不等式中的數a，b.如：“已知2x+y=1，x，yR+，求xy的最大值”中的兩個數不是“x”與

4、“y”而是已知條件中的“2x”與“y”，因為“2x+y=1”是定值，而“x+y”不是2. 三個正數或三個以上正數的均值定理的應用條件應做到：“一正”、“二定”、“三相等”要注意不等式a2+b22ab與不等式a3+b3+c33abc的運行條件不同，前者是a，bR，后者是a，b，cR+.3. 絕對值三角不等式|a|-|b|ab|a|+|b|是一個基本的結論，結合向量形式的三角不等式，得到絕對值三角不等式幾何解釋的理解，和差的絕對值與絕對值的和差的關系是由ab0，ab0，ab=0三種情況決定的，其本身就是一個分類討論問題，利用絕對值三角不等式可以解決形如y=|x-a|+|x-b|的函數的極值問題，通

5、過形如|ax+b|c或|ax+b|c以及形如|x-a|+|x-b|c或|x-a|+|x-b|c的不等式的解法領會解含有絕對值的不等式的一般思想和方法4. 學習證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數學歸納法，提高數學式的變形能力和分析問題能力5. 認識柯西不等式在應用柯西不等式證明或求值等問題時，往往需要對數學式子的形式進行變化，拼湊出與柯西不等式相似的結構；我們要學會用這種思想和方法來處理問題題型一 絕對值不等式的解法【分析】絕對值不等式常使用定義法處理【例1】解下列關于的不等式(1)|x-8|-|x-4|2；(2)1|2x+1|3 4-( -8)( -4)2488-

6、( -8)-( -4)2( -8)-( -4)2445.|51xxxxxxxxxxxxx x【解析】 原不等式等價于或或，即或 或所以原不等式的解集為(2)原不等式可化為：12x+13或-32x+1-1，即0 x1或-2x-1，原不等式的解集為x|0 x1或-2x-1【點評】求解絕對值不等式，關鍵是去掉絕對值符號，主要途徑有：(1)利用|x|a或|x|a的結論；(2)利用絕對值的定義找零點，分區(qū)間的方法；(3)利用兩邊都是非負數(式)時平方去掉絕對值符號題型二 放縮法證明不等式 223331111112(2)212222.nnnnabab 求證：若，求證：【例2】【分析】用放縮法證明不等式，適

7、當的放縮是關鍵 222222222111(1)( -1)11111-2,31-1111111111-1-23223432311111-1-111111-13111112(2)21221-12nnk kkk kknkkkkknnnnnnnnnn 【解析】 因為，即，分別令， ， ，得， ， ，將這些不等式相加得，所以 22222233222233222222222213()0.240022112.1122222412.abaabbabbabaabbababaabbaabbabaabbabababababababaabbabab 假設，而等號成立的條件是，顯然不可能所以，則，而，故，所以從而，所以

8、，所以，所以這與證法 ：假設矛盾2.ab，故3333223333333222222222222812610.238.2362.20223abababbbbbbabababab ababab abab abababaabbab ababaabbaabbaabbba假設，則，故，即，即，顯然假設不成立，從而假設，則由，得，故因為，所以，所以，證即法 ：證法 ：，顯然2.ab假設不成立，從而【點評】(1)本題數列不易求和，通過放縮轉化到易求和的數列，問題從而得到解決；(2)本題三種方法均為反證法，有的推至與假設矛盾，有的推至與已事實矛盾反證法適宜證明“存在性問題，唯一性問題”，帶有“至少有一個”或“至多有一個”，或者說“正難則反：常使用反證法題型三 不等式綜合問題 222222(2011)1237.212xyzxyzxyztxyzt】南平已知 ， ， 為實數【例，且求的最小值；設，求實數 的3質檢取值范圍【分析】(1)可以用柯西不等式解決；(2)解絕對值不等式即可 2222222222