關(guān)于淋雨數(shù)學(xué)建模

1、淋雨數(shù)學(xué)建模摘要：本文通過對人在雨中直線行走時雨垂直降落、從前吹來、從后吹來這三種情況的分析討論，得到了在不同情況下淋雨總量與人的行走速度的數(shù)學(xué)模型。并發(fā)現(xiàn)，當(dāng)雨垂直落下和迎面吹來時，跑的速度越快淋雨越少；而當(dāng)雨從背面吹來時，當(dāng)人跑的速度大于等于雨速的水平分量的大小且此時夾角滿足時，跑得越快淋雨越少，除此之外的其它情況下有當(dāng)時，淋雨量最小。關(guān)鍵詞：淋雨 直線行走一 問題重述人在雨中從一處沿直線跑到另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變。試建立數(shù)學(xué)模型討論是否跑得越快，淋雨量越少，并用matlab編程實現(xiàn)。假設(shè)跑步距離d=100米，跑步最大速度為=5 m/s，雨速u=4m/s，降雨量為w=2cm/h。（

2、1）不考慮雨的方向，設(shè)降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計跑完全程的淋雨量。（2）雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體夾角為,問跑步速度v為多大？淋雨量最少。二 問題的分析人在雨中行走時可能出現(xiàn)以下三種情形：情形一：雨垂直下落，人以速度v前行，此時降雨淋遍全身（如圖1所示） 圖 1 情形二：雨迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，與人的正面夾角為，此時后背淋不到雨（如圖2所示）圖2情形三：雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，與人的背后夾角為，此時正面淋不到雨（如圖3所示） 圖 3 我們知道當(dāng)人在雨中前行的時候，人和雨相對地面都是運動的，故知人與雨是相對運動的。為此我們選擇

3、人作為參考系，再考慮雨的相對速度及其與人體方向（即與人體夾角、）對總淋雨量的影響。三 合理的假設(shè)3.1 將人體看成一個長方體；3.2 雨速為常數(shù)且方向不變；3.3 降雨量為一定值；3.4 考慮雨的方向與人體前進(jìn)的方向在同一平面內(nèi)；3.5 符號的假定:a: 身高（頸部以下） b: 身寬 c: 身厚d: 跑步距離 v: 跑步速度 : 跑步最大速度w: 降雨量 u: 雨速 q: 總淋雨量: 雨迎面吹來與人的夾角 : 雨背面吹來與人的夾角 s：有效淋雨面積 ：以人為參考系時的相對雨速四 模型的建立我們先考慮如下情形，現(xiàn)有一塊土地面積為s，雨垂直降落，雨速及方向不變，且降雨量為一常數(shù)w ，則有時間t內(nèi)該

4、土地的淋雨量為 。若雨速發(fā)生變化，則降雨量也會相對發(fā)生改變，設(shè)雨速從u變?yōu)?，則降雨量相對變化為，從而可求得此時的淋雨量為 。若雨速不變，降雨的方向發(fā)生改變，設(shè)其與原方向的夾角為，那么此時的淋雨量為 。類似我們可以求得在問題分析中出現(xiàn)的三種情況下人體的總淋雨量如下： 4.1當(dāng)雨垂直降落時有效淋雨面積：淋雨時間：總淋雨量 （1）4.2 當(dāng)雨迎面吹來時 由假設(shè)3.4我們知道，當(dāng)雨迎面吹來時，只有頂部和人體的迎面部分為有效淋雨面積，記頂部面積為，迎面部分面積為，則，分別計算其淋雨量如下： 淋雨時間：雨速垂直分量：雨速水平分量：，且方向與相反，故相對雨速=頂部淋雨量：迎面淋雨量：所以總的淋雨量為： （2

5、）4.3當(dāng)雨從背面吹來時 同理，當(dāng)雨從背面吹來時，只有頂部和人體的背面部分為有效淋雨面積，記頂部面積為，背面部分面積為，則，分別計算其淋雨量如下： 淋雨時間：雨速垂直分量：雨速水平分量：，方向與相同，故相對雨速=頂部淋雨量：背面的淋雨量： 總淋雨量為： （3）五 模型的求解 運用數(shù)學(xué)分析中求函數(shù)最值的知識，對于以上所建的模型我們求解得到不同情況下人的淋雨量q與行走速度v的具體關(guān)系如下：5.1當(dāng)雨垂直降落時 由（1）式知總淋雨量，易知 v越大，q值越小，故此時跑得越快，所淋到的雨量越少。即：當(dāng)時，最??；5.2當(dāng)雨迎面吹來時對（2）式關(guān)于v求導(dǎo)可得：，故關(guān)于v是單調(diào)遞減函數(shù)，故此種情況下，當(dāng)時，最

6、?。?.3當(dāng)雨從背面吹來時對（3）式，分以下兩種情況討論如下： 此時對（a）式關(guān)于v求導(dǎo)可得 ，可知v越大，淋雨量越小，又因為，故知當(dāng)時，q最??； 當(dāng)，對（b）關(guān)于v求導(dǎo)，故關(guān)于v是單調(diào)遞減函數(shù)，同樣可得，當(dāng)時，最??；當(dāng)，對（b）關(guān)于v求導(dǎo)，故關(guān)于v是單調(diào)遞增函數(shù)，又，故時，最小。六 結(jié)果分析由上面的求解過程我們可看出，當(dāng)雨垂直落下和迎面吹來時，跑的速度越快淋雨越少；而當(dāng)雨從背面吹來時，當(dāng)人跑的速度大于等于雨速的水平分量的大小且此時夾角滿足時，跑得越快淋雨越少，除此之外的其它情況下有當(dāng)時，淋雨量最小。七 模型的檢驗 現(xiàn)給出數(shù)據(jù)如下： 7.1 當(dāng)雨垂直降落時 7.2 當(dāng)雨迎面吹來時 ： ：7.3 當(dāng)雨從背面吹來時 時，故時，淋雨最少。 此時：八 優(yōu)缺點分析優(yōu)點：在模型中我們考慮了雨從不同方向吹來，結(jié)合了風(fēng)向等因素，考慮了三種情況下人的總淋雨量，并以人為參照