手握利器玩轉(zhuǎn)連方

1、附件3：小課題封面格式序號 2014年溫州市小學(xué)數(shù)學(xué)小課題評比學(xué) 校： 甌北鎮(zhèn)第二小學(xué)成員姓名： 周 陽小課題題目：手握“利器” 玩轉(zhuǎn)連方指導(dǎo)教師： 鄒 顯 微 手握“利器” 玩轉(zhuǎn)連方一、問題的提出數(shù)學(xué)課上，老師給我們出了一道題目。下面的平面圖形中，是正方體的平面展開圖的是（  ）（見圖1），看著大家疑惑的眼光，有的同學(xué)在那靜靜的思考，有的已經(jīng)迫不及待的拿出紙折起來。突然一個想法在我腦中閃現(xiàn)：這樣的六個方塊組成的圖形到底有多少種，其中又有幾種會是正方體的展開圖呢？這些展開圖會有什么奧秘呢？于是我的好奇心促使我動起手來。 圖1二、研究方法：畫圖猜想動手操作比較三、研究過程會有幾種呢？怎

2、么才能把所有的都畫出來呢？這時，我想到了以前我們學(xué)過雞兔同籠問題時用到的“化繁為簡”的方法。6個正方形的6連方太多了，那我就從少點(diǎn)開始研究吧！研究一、逐步遞進(jìn)，尋覓二連方到六連方組成的圖形個數(shù)。（1）、2連方、3連方、4連方的研究為了研究方便，我選擇了動手畫圖的方法。基于1個，2個，3個正方形所組成的圖形。（圖2、3），我快速地畫出4個正方形的三個 圖2 圖3圖形（圖4），但后來發(fā)現(xiàn)落了2個(圖5)。好險!差點(diǎn)掉進(jìn)自己挖的“想當(dāng)然”的坑里。圖4 圖5（2） 5連方的研究那么5連方，會不會有更多種呢？為了不遺漏或重復(fù)。我嘗試中4連方里找到線索。經(jīng)過大量對比、參考，我意識到這連方中存在的特點(diǎn)。于是

3、，我開始對比2個3連方（圖3）和這5個4連方（圖5），終于發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。圖5前面兩個4連方是在第1個1字型的3連方的基礎(chǔ)上加上的。圖5后面3個4連方也是第2個l型的3連方的基礎(chǔ)上加上去的。對！我的5連方一定也要從4連方的基礎(chǔ)上變化。于是我先選一個圖形，讓增加的正方形在原來圖形的四周按順時針或者逆時針的方法旋轉(zhuǎn)。當(dāng)正方形到了不同的位置就會產(chǎn)生不同的圖形。最后把重復(fù)的圖形去掉，這樣應(yīng)該就不會遺漏或者重復(fù)。對照著四連方，終于畫出了12種五連方的圖形(見圖6)。4連方由4連方想到的5連方都與上面的4形狀一致。圖6（3） 6連方的研究就加了一個方塊，居然就多了這么多種的方法。那六連方豈不是有幾十種方法呢？

4、帶著好奇心，我小心翼翼地開始了6連方的探索。有了5連方的探究方法，6連方一開始畫還是比較順利的?？墒堑搅撕髞恚絹碓蕉嗟膱D形，讓我很難分辨哪些已經(jīng)有了，哪些還沒有。我在這些圖形之間“盤旋”了好一陣子。終于功夫不負(fù)有心人，我做出的37種方法，發(fā)現(xiàn)了25和33重復(fù)了（25去掉）。27跟12重復(fù)了（27去掉）。原來6連方共有35種不同的方法。（見圖7）五連方由五連方所想到的六連方旋轉(zhuǎn)后出現(xiàn)的圖形上面都已有旋轉(zhuǎn)后出現(xiàn)的圖形上面都已有圖7研究二：動手巧思，尋找能拼成正方體的六連方。面對著我畫出來的六連方，到底哪些能拼成正方體？我憑直覺的找出來一些能拼成正方體的六連方，可是到底對不對呢？實(shí)踐出真理！動手試

5、試吧!這時我想到了平時用的方格紙，我直接在那上面畫出來，再折一折吧。真是好主意！我為我的想法沾沾自喜！序號六連方圖形剪拼后的圖形是否是正方體序號六連方圖形剪拼后的圖形是否是正方體1否20否2否21否3否22否4否23否5是24否6是25與33重復(fù)與33重復(fù)與33重復(fù)7是26否8是27與12重復(fù)與12重復(fù)與12重復(fù)9否28否10否29否11否30否12否31否13是32是14是33是15否34是16否35否17否36是18否37是19否圖8經(jīng)過實(shí)踐，終于找到了能拼成正方體的六連方共有11種。(見圖9)圖9研究三：分類鉆研，探索拼成正方體的六連方特點(diǎn)?？粗@么多的六連方，我尋思著它們有什么特點(diǎn)呢？

6、我打算給它們分分類。圖10我把它們分成了四類：第一類：(見圖10第一行)。因?yàn)樗鼈兌际侵虚g有一列四連方，另外兩個正方形各在它們的左右兩邊移動。我就稱它們?yōu)?41三列形。第二類：(見圖10第二行)，因?yàn)樗麄兏耙环N很像，只是中間只有一列的三連方。另外的三個正方形一邊放兩個，一邊放一個。我就稱它們?yōu)?32三列形。第三類：(見圖10第三行)因?yàn)樗幸环N由兩列3連方組成。中間只有一個正方形相連的階梯形。我就稱它為33階梯形。第四類：(見圖10第四行)是把3列2連方組成。兩兩錯開，像階梯一樣。我就稱它為222階梯形。正當(dāng)我要把這個發(fā)現(xiàn)告訴爸爸，爸爸說，那你知道為什么這樣子的六連方能拼成正方體嗎？于是，這

7、時我拿起了平時經(jīng)常玩的魔方觀察著。正方體有三組對面，每一組相對的面之間是不是有什么特點(diǎn)。啊!看來我又要開始新一輪的探索了，我觀察著這11種我拼搭的正方體，找著每一組的相對面。為了更好的觀察我索性叫爸爸幫我把圖形的顏色畫在了電腦上（圖11）。圖11在邊指邊畫的過程中我發(fā)現(xiàn)正方體都有3組對面。前面這6個141三列形：中間的4個方塊都是兩組對面（分別是紅色面和藍(lán)色面），它們拼起來其實(shí)也就是正方體的4個側(cè)面。兩邊的2個正方形（黃色面）則組成另一組對面，這組對面其實(shí)就是正方體上底面和下底面。下面的這5種就不一樣：但是我發(fā)現(xiàn)只要把其中的一個方塊或者兩個方塊旋轉(zhuǎn)90度，就能變成上面的這種141六連方（圖12

8、）。圖12研究四: 逆向思考，研究不能拼成正方體的六連方特點(diǎn)。觀察了能拼成正方體的六連方的特點(diǎn)，我又觀察起不能拼成正方體的六連方的特點(diǎn)。有了上次的經(jīng)驗(yàn)，我還是請爸爸把那些六連方給我弄到了電腦上。并將它們進(jìn)行了歸類。圖13經(jīng)過對圖13的仔細(xì)觀察，我發(fā)現(xiàn)： 如果圖中出現(xiàn)綠色圈圈的4個直直連方結(jié)構(gòu)的圖形不可能是正方體展開圖的，因?yàn)橐粋€側(cè)面最多4個，多出的一個肯定會與其中的一個面重合。如果圖中出現(xiàn)紫色圈圈的“凹”形結(jié)構(gòu)的圖形不可能是正方體展開圖的，因?yàn)槿绻言搱D形折疊起來將有兩個面重合。如果圖中出現(xiàn)紅色圈圈的“田”形結(jié)構(gòu)的圖形不可能是正方體展開圖的，因?yàn)橥豁旤c(diǎn)處不可能出現(xiàn)四個面的。如果圖中出現(xiàn)粉色圈

9、圈兩邊都3個的的“l(fā)”形結(jié)構(gòu)的圖形不可能是正方體展開圖的，因?yàn)閘的頂點(diǎn)的這個正方形和兩邊的正方形都能組成對面?？墒且粋€面只有一個對面，不能出現(xiàn)兩個對面。這就矛盾了。四 、研究結(jié)論：1、六連方共有35種方法。其中有11種是正方體的展開圖。2、判斷是正方體展開圖的“三保險”方法：一保險：去除肯定不是的6連方在6連方中如果里面有出現(xiàn)下面幾種情況一定不能拼成正方體。5個直直的連方田字格的六連方兩邊都有3個相等的l字形凹字型的六連方二保險：看看是不是屬于下面4種類型的。141三列形132三列形222階梯型33階梯型三保險：轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)看一看當(dāng)懷疑一個六連方時，我們還可以用旋轉(zhuǎn)90度的方法，看看是否能變成由一個4

10、連方組成的六連方，另外兩個在兩邊的，如果是就一定能拼成正方體。我把讓它更好記，我還編成了個口訣。 正方體盒巧展開，三大保險記心懷。中為四，一一移動得六個，中為三，一二行動得三個，三個二，兩個三，直接可用不麻煩，一線不過四，繞開“凹” “田”， 避開“l(fā)”。真不行來轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)。五、后續(xù)研究：1、無蓋的正方體展開圖會有幾種情況？有什么規(guī)律？ 2、長方體的張開圖會有幾種情況？我猜想應(yīng)該也會有規(guī)律可循，到底是怎么樣的呢？3、各種不一樣的多面體張開圖會是怎么樣的？又有什么規(guī)律？ 六、收獲和體會經(jīng)過幾天的探索，我終于把自己提出的問題解決了。我也深深地體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)世界的無窮奧妙。在這探究過程中，我能主動地面對問題，經(jīng)過自主探索，學(xué)會如何綜合運(yùn)用已有的經(jīng)驗(yàn)去面對復(fù)雜的問題，真正經(jīng)歷主動假設(shè)、積極探究、努力嘗試、及時反思、不斷修正等一系列的思考過程。在“做”和“思考”的探究過程中利用手中的這把“利器”，諸如觀察、猜測、試驗(yàn)、歸納、推理的方法、化歸、優(yōu)化的思想 ······ 使出渾身的解數(shù)。不僅發(fā)現(xiàn)了規(guī)律的奧妙，還能