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文檔簡介

1、一、 等腰三角形的“三線合一”性質的逆定理“三線合一”性質:等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。逆定理: 如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的中線重合,那么這個三角形是等腰三角形。 如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的高重合,那么這個三角形是等腰三角形。 如果三角形中任一邊的中線和這條邊上的高重合,那么這個三角形是等腰三角形。簡言之: 三角形中任意兩線合一,必能推導出它是一個等腰三角形。證明:已知: abc中,ad是bac的角平分線, ad是bc邊上的中線,求證:abc是等腰三角形。分析:要證等腰三角形就是要證ab=ac,直接通過證明這兩條線所在的三角形全等不行,

2、那就換種思路,在有中點的幾何證明題中常用的添輔助線的方法是“延長加倍”,即延長ad到e點,使ad=ed,由此問題就解決了。證明:延長ad到e點,使ad=ed,連接ce 在abd和ecd中 ad=de adb=edc bd=cd abdecd ab=ce, bad=ced ad是bac的角平分線 bad=cad ced=cad ac=ce ab=ac abc是等腰三角形。三個逆定理中以逆定理在幾何證明的應用中尤為突出。證明:已知: abc中,ad是bac的角平分線,ad是bc邊上的高,求證:abc是等腰三角形。分析:通過(asa)的方法來證明abd和acd的全等,由此推出ab=ac得出abc是等

3、腰三角形證明:已知: abc中,ad是bc邊上的中線,又是bc邊上的高,求證:abc是等腰三角形。分析:ad就是bc邊上的垂直平分線,用(sas)的方法來 證明abd和acd的全等,由此推出ab=ac得出 abc是等腰三角形。(即垂直平分線的定理)二、“三線合一”的逆定理在輔助線教學中的應用(1)逆定理的簡單應用例題1已知:如圖,在abc中,ad平分bac,cdad,d為垂足,ab>ac。求證:2=1+b分析:由“ad平分bac,cdad”推出ad所在的三角形是等腰三角形,所以延長cd交ab于點e,由逆定理得出aec是等腰三角形由此就可得出2=aec,又aec=1+b,所以結論得證。(2

4、)逆定理與中位線綜合應用例題1已知: 如圖,在abc中,ad平分bac,交bc于點d,過點c作ad的垂線,交ad的延長線于點e,f為bc的中點,連結ef。求證: efab,ef=(ac-ab) 分析: 由已知可知,線段ae既是bac的角平分線又是ec邊上的高,就想到把ae所在的等腰三角形構造出來,因而就可添輔助線“分別延長ce、ab交于點g”。簡單證明:由逆定理得出agc是等腰三角形,點e是gc的中點ef是bgc的中位線得證。例題2如圖,已知:在abc中,bd、ce分別平分abc, acb,agbd于g,afce于f,ab=14cm,ac=9cm,bc=18cm.求: fg的長。分析:通過已知

5、條件可以知道線段cf和bg滿足逆定理的條件,因此就想到了分別延長ag、af來構造等腰三角形。簡單證明:分別延長ag、af交bc于點k、h由逆定理得出abk是等腰三角形點g是ak的中點 同理可得點f是ah的中點fg是ahk的中位線 由此就可解出fg的長。(3)逆定理與直角三角形的綜合應用例題1已知,如圖,ad為rtabc斜邊bc上的高,abd的平分線交ad于m,交ac于p, cad的平分線交bp于q。求證:qad是等腰三角形。 分析:由直角三角形的性質可知道aqm=90°, 由此線段bq滿足了逆定理2的條件,所以想到延長aq交bc于點n。簡單證明:由添輔助線得出abn是等腰三角形q點是

6、an的中點在rtand中,q是中點qa=dq,得證。例題2如圖,在等腰abc中,c=90°,如果點b到a的平分線ad的距離為5cm,求ad的長。分析:已知條件滿足了逆定理2,所以延長be和ac,交于點f。簡單證明:由所添輔助線可知abf是等腰三角形e點是bf的中點bf=2be=10再由adc和bfc的全等得出ad=bf結論求出。對已知條件的合理剖析,找出關鍵語句,滿足定理條件,添加適當?shù)妮o助線來構造等腰三角形,以達到解決問題的目的。(4)逆定理的簡單應用(即垂直平分線的應用)例題1 (2006年寶山區(qū)中考模擬題)如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx的圖像開口向下,與x軸的一個交點為b,

7、頂點a在直線y=x上,o為坐標原點。 證明: aob是等腰直角三角形分析:由拋物線的對稱性可添輔助線-過點a作adx軸,垂足為d及直線y=x的性質,可以知道aob是等腰直角三角形。例題2如圖,以abc的邊ab,ac為邊分別向形外作正方形abde和acfg,求證:若dfbc,則ab=ac分析:從已知條件出發(fā)想到了正方形的性質:邊,角以及對角線:邊的相等,角的相等并都等于90度,現(xiàn)要證明等腰三角形,能與其最密切的想到是否也能構造直角呢?于是就想到了添輔線ah簡單證明:分別過點a、d、f作ahbc,dibc,fjbc,分別交bc于點h,cb的延長線于i,bc的延長線于j由dfbc,di=fj又 ah

8、ccjf(aas),abhbdi(aas)hc=fj,bh=dibh=hc,得證。抓住已知條件和結論的聯(lián)系,(例題1中拋物線的對稱性和等腰三角形的垂直平分線之間的內在聯(lián)系,例題2中正方形中直角的信息獲得與等腰三角形的垂線間的間接聯(lián)系,)通過獲取的信息以及對等腰三角形“三線合一”性質的逆定理的熟練把握,再進行對題目的重新整合,就能快速做出解題的策略,添加相應的輔助線,對于解題有很大的幫助。(5)逆定理在作圖中的應用已知:線段m,及,求作abc,使abc=,acb=,且ab+bc+ca=m分析:對于作圖題,一般先在草稿紙上畫出要求作圖形的草圖,再把相應的已知條件在圖上標出,通過對草圖的解剖與分析再把圖用尺規(guī)規(guī)范的做出。通過草圖的分析,直接得到所求三角形不行,由已知三邊的和為m以及外角的性質我們可以找到一頂點a,再由垂直平分線與邊的交 點找到另兩個頂點b和c。作法:1、畫射線op,在op上截取線段oq=m,2、畫射線om,使mop=1/23、畫射線qn,使nqo=1/2,交射線om于點a4、分別作ao、aq的垂直平分線,交oq于b,c兩點,abc就是所求三角形。等腰三角形“三線合一”性質的逆命題在輔助線教學中

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