三線合一性質(zhì)的逆定理教學(xué)材料

1、一、 等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)的逆定理“三線合一”性質(zhì)：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。逆定理： 如果三角形中任一角的角平分線和它所對(duì)邊的中線重合，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。 如果三角形中任一角的角平分線和它所對(duì)邊的高重合，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。 如果三角形中任一邊的中線和這條邊上的高重合，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。簡(jiǎn)言之： 三角形中任意兩線合一，必能推導(dǎo)出它是一個(gè)等腰三角形。證明：已知: abc中，ad是bac的角平分線， ad是bc邊上的中線，求證：abc是等腰三角形。分析：要證等腰三角形就是要證ab=ac，直接通過證明這兩條線所在的三角形全等不行，

2、那就換種思路，在有中點(diǎn)的幾何證明題中常用的添輔助線的方法是“延長(zhǎng)加倍”，即延長(zhǎng)ad到e點(diǎn)，使ad=ed，由此問題就解決了。證明：延長(zhǎng)ad到e點(diǎn)，使ad=ed，連接ce 在abd和ecd中 ad=de adb=edc bd=cd abdecd ab=ce, bad=ced ad是bac的角平分線 bad=cad ced=cad ac=ce ab=ac abc是等腰三角形。三個(gè)逆定理中以逆定理在幾何證明的應(yīng)用中尤為突出。證明：已知: abc中，ad是bac的角平分線，ad是bc邊上的高，求證：abc是等腰三角形。分析：通過（asa）的方法來證明abd和acd的全等，由此推出ab=ac得出abc是等

3、腰三角形證明：已知: abc中，ad是bc邊上的中線，又是bc邊上的高，求證：abc是等腰三角形。分析：ad就是bc邊上的垂直平分線，用（sas）的方法來 證明abd和acd的全等，由此推出ab=ac得出 abc是等腰三角形。（即垂直平分線的定理）二、“三線合一”的逆定理在輔助線教學(xué)中的應(yīng)用（1）逆定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用例題1已知：如圖，在abc中，ad平分bac，cdad,d為垂足，ab>ac。求證：2=1+b分析：由“ad平分bac，cdad”推出ad所在的三角形是等腰三角形，所以延長(zhǎng)cd交ab于點(diǎn)e，由逆定理得出aec是等腰三角形由此就可得出2=aec，又aec=1+b，所以結(jié)論得證。（2

4、）逆定理與中位線綜合應(yīng)用例題1已知： 如圖，在abc中，ad平分bac，交bc于點(diǎn)d，過點(diǎn)c作ad的垂線，交ad的延長(zhǎng)線于點(diǎn)e，f為bc的中點(diǎn)，連結(jié)ef。求證： efab，ef=(ac-ab) 分析： 由已知可知，線段ae既是bac的角平分線又是ec邊上的高，就想到把a(bǔ)e所在的等腰三角形構(gòu)造出來，因而就可添輔助線“分別延長(zhǎng)ce、ab交于點(diǎn)g”。簡(jiǎn)單證明：由逆定理得出agc是等腰三角形，點(diǎn)e是gc的中點(diǎn)ef是bgc的中位線得證。例題2如圖，已知：在abc中，bd、ce分別平分abc, acb,agbd于g，afce于f，ab=14cm,ac=9cm,bc=18cm.求： fg的長(zhǎng)。分析：通過已知

5、條件可以知道線段cf和bg滿足逆定理的條件，因此就想到了分別延長(zhǎng)ag、af來構(gòu)造等腰三角形。簡(jiǎn)單證明：分別延長(zhǎng)ag、af交bc于點(diǎn)k、h由逆定理得出abk是等腰三角形點(diǎn)g是ak的中點(diǎn) 同理可得點(diǎn)f是ah的中點(diǎn)fg是ahk的中位線 由此就可解出fg的長(zhǎng)。（3）逆定理與直角三角形的綜合應(yīng)用例題1已知，如圖，ad為rtabc斜邊bc上的高，abd的平分線交ad于m，交ac于p, cad的平分線交bp于q。求證：qad是等腰三角形。 分析：由直角三角形的性質(zhì)可知道aqm=90°， 由此線段bq滿足了逆定理2的條件，所以想到延長(zhǎng)aq交bc于點(diǎn)n。簡(jiǎn)單證明：由添輔助線得出abn是等腰三角形q點(diǎn)是

6、an的中點(diǎn)在rtand中，q是中點(diǎn)qa=dq,得證。例題2如圖，在等腰abc中，c=90°，如果點(diǎn)b到a的平分線ad的距離為5cm,求ad的長(zhǎng)。分析：已知條件滿足了逆定理2，所以延長(zhǎng)be和ac，交于點(diǎn)f。簡(jiǎn)單證明：由所添輔助線可知abf是等腰三角形e點(diǎn)是bf的中點(diǎn)bf=2be=10再由adc和bfc的全等得出ad=bf結(jié)論求出。對(duì)已知條件的合理剖析，找出關(guān)鍵語句，滿足定理?xiàng)l件，添加適當(dāng)?shù)妮o助線來構(gòu)造等腰三角形，以達(dá)到解決問題的目的。（4）逆定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用（即垂直平分線的應(yīng)用）例題1 （2006年寶山區(qū)中考模擬題）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx的圖像開口向下，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為b，

7、頂點(diǎn)a在直線y=x上，o為坐標(biāo)原點(diǎn)。 證明: aob是等腰直角三角形分析：由拋物線的對(duì)稱性可添輔助線-過點(diǎn)a作adx軸，垂足為d及直線y=x的性質(zhì)，可以知道aob是等腰直角三角形。例題2如圖，以abc的邊ab，ac為邊分別向形外作正方形abde和acfg，求證：若dfbc,則ab=ac分析：從已知條件出發(fā)想到了正方形的性質(zhì)：邊，角以及對(duì)角線：邊的相等，角的相等并都等于90度，現(xiàn)要證明等腰三角形，能與其最密切的想到是否也能構(gòu)造直角呢？于是就想到了添輔線ah簡(jiǎn)單證明：分別過點(diǎn)a、d、f作ahbc，dibc,fjbc,分別交bc于點(diǎn)h，cb的延長(zhǎng)線于i，bc的延長(zhǎng)線于j由dfbc，di=fj又 ah

8、ccjf（aas），abhbdi(aas)hc=fj,bh=dibh=hc,得證。抓住已知條件和結(jié)論的聯(lián)系，（例題1中拋物線的對(duì)稱性和等腰三角形的垂直平分線之間的內(nèi)在聯(lián)系，例題2中正方形中直角的信息獲得與等腰三角形的垂線間的間接聯(lián)系，）通過獲取的信息以及對(duì)等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆定理的熟練把握，再進(jìn)行對(duì)題目的重新整合，就能快速做出解題的策略，添加相應(yīng)的輔助線，對(duì)于解題有很大的幫助。（5）逆定理在作圖中的應(yīng)用已知：線段m，及，求作abc，使abc=，acb=，且ab+bc+ca=m分析：對(duì)于作圖題，一般先在草稿紙上畫出要求作圖形的草圖，再把相應(yīng)的已知條件在圖上標(biāo)出，通過對(duì)草圖的解剖與分析再把圖用尺規(guī)規(guī)范的做出。通過草圖的分析，直接得到所求三角形不行，由已知三邊的和為m以及外角的性質(zhì)我們可以找到一頂點(diǎn)a，再由垂直平分線與邊的交 點(diǎn)找到另兩個(gè)頂點(diǎn)b和c。作法：1、畫射線op，在op上截取線段oq=m,2、畫射線om，使mop=1/23、畫射線qn，使nqo=1/2,交射線om于點(diǎn)a4、分別作ao、aq的垂直平分線，交oq于b，c兩點(diǎn)，abc就是所求三角形。等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題在輔助線教學(xué)中