初中數(shù)學(xué)培優(yōu)輔導(dǎo)資料(11—20講)

1、初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料二元一次方程組解的討論甲內(nèi)容提要1 二元一次方程組a1 xb1 yc1 的解的情況有以下三種：a2 xb2 yc2 當 a1b1c1時，方程組有無數(shù)多解。 （兩個方程等效）a2b2c2 當 a1b1c1時，方程組無解。 （兩個方程是矛盾的）a2b2c2 當 a1b1（即 a1b2 a2b1 0）時，方程組有唯一的解：a2b2c1b2c2 b1xa2b1a1b2（這個解可用加減消元法求得）c2 a1c1a2ya2b1a1 b22 方程的個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)時，一般是不定解，即有無數(shù)多解，若要求整數(shù)解，可按二元一次方程整數(shù)解的求法進行。3 求方程組中的待定系數(shù)的取值，一般是求出

2、方程組的解（把待定系數(shù)當己知數(shù)），再解含待定系數(shù)的不等式或加以討論。（見例 2、 3）乙例題例 1.5xy7選擇一組 a,c 值使方程組2 ycax 有無數(shù)多解，無解， 有唯一的解解：當 5 a=12=7 c 時，方程組有無數(shù)多解解比例得 a=10, c=14。 當5 a1 2 7c 時，方程組無解。解得 a=10,c 14。當5 a 1 2 時，方程組有唯一的解，即當 a 10 時， c 不論取什么值，原方程組都有唯一的解。例 2.x yaa 取什么值時，方程組的解是正數(shù)？5x3y31解：把 a 作為已知數(shù)，解這個方程組313a313ax2x020得5a31y5a310y220a31311解

3、不等式組得解集是6a31510a35答：當 a 的取值為11016a時，原方程組的解是正數(shù)。53例 3.m 取何整數(shù)值時，方程組2xmy4的解 x 和 y 都是整數(shù)？x4 y1x 18m8解：把 m 作為已知數(shù)，解方程組得2ym 8 x 是整數(shù)， m 8 取 8 的約數(shù)± 1，± 2，± 4，± 8。 y 是整數(shù)， m 8 取 2 的約數(shù)± 1，± 2。取它們的公共部分， m 8± 1，± 2。解得 m=9， 7， 10， 6。經(jīng)檢驗 m=9，7， 10，6 時，方程組的解都是整數(shù)。例 4（古代問題）用 100 枚

4、銅板買桃，李，欖橄共100 粒，己知桃，李每粒分別是3，4 枚銅板，而欖橄 7 粒 1 枚銅板。問桃，李，欖橄各買幾粒？解：設(shè)桃，李，欖橄分別買x, y, z 粒 ,依題意得xy z100(1)3x4y1 z 100(2)7由（ 1）得 x= 100 y z (3)把（ 3）代入（ 2），整理得zy= 200+3z設(shè) z7k (k 為整數(shù) )得 z=7k,y= 200+20k,x=300 27k730027k0k1009x,y,z 都是正整數(shù)20020k0 解得k.10 （ k 是整數(shù)）7k0k.01 k 是整數(shù)， k=1110 k< 11 ,9即 x=3 （桃） ,y=20 （李） ,

5、 z=77（欖橄）(答略 )丙練習(xí) 111 不解方程組，判定下列方程組解的情況：x 2 y 32xy 33x5y12 y 35 y13x 6 y 94x3x2 a 取什么值時方程組x3 ya 2a 19x6y9a 22a 2 的解是正數(shù)？x2 y5a3 a 取哪些正整數(shù)值，方程組的解 x 和 y 都是正整數(shù)？3x4 y2axkyk4 要使方程組的解都是整數(shù)，k 應(yīng)取哪些整數(shù)值？x2y15 （古代問題）今有雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一，百錢買百雞，雞翁，雞母，雞雛都買，可各買多少？初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（12）用交集解題甲內(nèi)容提要1 某種對象的全體組成一個集合 。組成集合的各個對

6、象叫這個集合的元素。 例如 6 的正約數(shù)集合記作 6 的正約數(shù)1， 2， 3，6，它有4 個元素 1， 2， 3，6；除以3 余 1的正整數(shù)集合是個無限集，記作除以3 余 1 的正整數(shù)1，4， 7， 10，它的個元素有無數(shù)多個。2 由兩個集合的所有公共元素組成的一個集合，叫做這兩個集合的交集例如 6 的正約數(shù)集合A 1， 2， 3， 6，10 的正約數(shù)集合B 1， 2， 5， 10， 6 與10 的公約數(shù)集合C 1， 2，集合 C 是集合 A 和集合 B 的交集。3 幾個集合的交集可用圖形形象地表示，右圖中左邊的橢圓表示正數(shù)集合，正右邊的橢圓表示整數(shù)集合，中間兩個橢圓數(shù)的公共部分，是它們的交集

7、正整數(shù)集。集不等式組的解集是不等式組中各個不等式解集的交集。正整數(shù)集整數(shù)集2x6(1)例如不等式組解的集合就是x2(2)不等式（ 1）的解集x>3 和不等式（ 2）的解集x2 的交集， x>3 .如數(shù)軸所示：0234一類問題，它的答案要同時符合幾個條件，一般可用交集來解答。把符合每個條件的所有的解（即解的集合）分別求出來，它們的公共部分（即交集）就是所求的答案。有時可以先求出其中的一個（一般是元素最多）的解集，再按其他條件逐一篩選、剔除，求得答案。（如例2）乙例題例 1.一個自然數(shù)除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求這個自然數(shù)的最小值。解：除以 3余 2的自然數(shù)

8、集合A 2，5， 8，11， 14， 17， 20， 23， 26，除以 5余 3的自然數(shù)集B 3， 8，13， 18， 23 ， 28，除以 7余 2自然數(shù)集合C 2， 9，16， 23， 30，集合 A 、 B、 C 的公共元素的最小值23 就是所求的自然數(shù)。例2. 有兩個二位的質(zhì)數(shù)，它們的差等于6，并且平方數(shù)的個位數(shù)字相同，求這兩個數(shù)。解：二位的質(zhì)數(shù)共21 個，它們的個位數(shù)字只有1， 3， 7， 9，即符合條件的質(zhì)數(shù)它們的個位數(shù)的集合是 1， 3，7， 9；其中差等于6 的有： 1 和 7； 3 和 9； 13 和 7，三組；平方數(shù)的個位數(shù)字相同的只有3和7；1和 9二組。同時符合三個條

9、件的個位數(shù)字是3和7這一組故所求質(zhì)數(shù)是：23， 17 ；43 ， 37；53， 47；73， 67 共四組。例3. 數(shù)學(xué)興趣小組中訂閱 A 種刊物的有 28 人，訂閱 B 種刊物的有 21 人，其中 6 人兩種都訂，只有一人兩種都沒有訂，問只訂A 種、只訂 B 種的各幾人？數(shù)學(xué)興趣小組共有幾人？解：如圖左、右兩橢圓分別表示訂閱A 種、 B 種刊物的人數(shù)集合，則兩圓重疊部分就是它們的交集（ A 、B 兩種都訂的人數(shù)集合） 。只訂 A 種刊物的人數(shù)是28 6 22 人；A 28B21只訂 B 刊物的人數(shù)是21 6 15 人；小組總?cè)藬?shù)是 22 15 6 144 人。只 AA B只 B62215設(shè)

10、N，N（A），N（B），N（AB ）， N分別表示總?cè)藬?shù)，訂 A 種、 B 種、 AB 兩種、都不訂的人數(shù)，則得公式一 N N + N（A）+N （B） N（AB）。例4. 在 40 名同學(xué)中調(diào)查，會玩乒乓球的有24 人，籃球有18 人，排球有10 人，同時會玩乒乓球和籃球的有 6 人，同時會玩乒乓球和排球的有4 人，三種球都會的只有1 人，問：有多少人只會打乒乓球同時會打籃球和排球只會打排球？解：仿公式一 ,得公式二 ：N N + N（ A） +N（ B） +N(C) N（ AB ） N（ AC ） N(BC)+N(ABC)只會打乒乓球的是 24 64 1 15（人）AAB求 N （BC）可

11、用公式二：246B1840 2418 106 4 N（ BC ） 1AC ABCN （ BC） 3， 即同時會打籃球和排球的是413 人C 10只會打排球的是10 3 1 6（人）例 5. 十進制中，六位數(shù)19xy87 能被 33 整除，求 x 和 y 的值解： 0 x， y 9， 0 x+y 18， 9 x y 9， x+y>x y 33 3×11， 1 9 x+y+8 7 的和是 3 的倍數(shù)，故 x+y=2,5,8,11,14,17(1+x+8) (9+y+7) 是 11 的倍數(shù)，故 x y= 4， 7x+y 和 xy 是同奇數(shù)或同偶數(shù)，它們的交集是下列四個方程組的解：xy

12、 8xy 14x y 11xy17xy4xy4x y 7xy7x2x5x9x12解得6y9y2y5y（ x=12 不合題意舍去）答： x=2,y=6 或 x=5,y=9 或 x=9,y=2丙練習(xí) 121 負數(shù)集合與分數(shù)集合的交集是2 等腰直角三角形集合是三角形集合與三角形集合的交集。3 12 的正約數(shù)集合A ，30 的正約數(shù)集合B12 和 30 的公約數(shù)集合C，集合 C 是集合 A 和集合 B 的4 解下列不等式組并把解集（不是空集）表示在數(shù)軸上：3x6x21x20x 1x53205x02x2x5 某數(shù)除以3 余 1，除以 5 余 1，除以 7 余 2，求某數(shù)的最小值。6 九張紙各寫著1 到

13、9 中的一個自然數(shù)（不重復(fù)），甲拿的兩張數(shù)字和是10，乙拿的兩張數(shù)字差是1，丙拿的兩張數(shù)字積是24，丁拿的兩張數(shù)字商是3，問剩下的一張是多少？7 求符合如下三條件的兩位數(shù)：能被3 整除它的平方、立方的個位數(shù)都不變兩個數(shù)位上的數(shù)字積的個位數(shù)與原兩位數(shù)的個位數(shù)字相同。8 據(jù) 30 名學(xué)生統(tǒng)計， 會打籃球的有22 人，其中 5 人還會打排球； 有 2 人兩種球都不會打。那么會打排球有幾人？只會打排球是幾人？9 100 名學(xué)生代表選舉學(xué)生會正付主席，對侯選人A 和 B 進行表決，贊成A 的有 52票，贊成 B 的有 60 票，其中 A 、 B 都贊成的有36 人，問對 A 、 B 都不贊成的有幾人？1

14、0.數(shù)、理、化三科競賽，參加人數(shù)按單科統(tǒng)計，數(shù)學(xué)24人，物理 18 人，化學(xué) 10 人；按兩科統(tǒng)計，參加數(shù)理、數(shù)化、理化分別是13、 4、 5 人，沒有三科都參加的人。求參賽的總?cè)藬?shù)，只參加數(shù)學(xué)科的人數(shù)。（本題如果改為有2 人三科都參加呢？）11.xy3x y 5012.十進制中，六位數(shù)1xy285能被 21 整除，求 x,y 的值（仿例5）初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（13）用枚舉法解題甲內(nèi)容提要有一類問題的解答，可依題意一一列舉，并從中找出規(guī)律。列舉解答要注意： 按一定的順序，有系統(tǒng)地進行； 分類列舉時，要做到既不重復(fù)又不違漏； 遇到較大數(shù)字或抽象的字母，可從較小數(shù)字入手，由列舉中找到規(guī)律。乙例題

15、11例 1N如圖由西向東走，3411AB從A處到 B處有幾C4P13種走法？M11解：我們在交叉路上有順序地標上不同走法的數(shù)目，例如從 A 到 C 有三種走法，在 C處標上3， 從 A 到 M（N）有 314 種，從 A 到 P 有 34 4 11 種，這樣逐步累計到 B ，可得 11 11 13（種走法）例2寫出由字母 X ， Y， Z 中的一個或幾個組成的非同類項（系數(shù)為1）的所有四次單項式。432解法一：按X ， X ， X ，X ，以及不含X 的項的順序列出（如左）X 4 ，X4，Y4， Z4X 3Y， X 3Z，X3Y ， Y3Z ， Z3XX 2Y2， X2Z2， X2YZ ，X

16、3Z ， Y3X， Z3YXY 3， XZ 3，XY 2Z， XYZ 2，X2Y 2， Y2Z2 ， Z2X2Y4，Z4Y3Z，Y2Z 2， YZ3。X 2YZ ， Y 2ZX ， Z2XY解法三：還可按 3 個字母， 2 個字母， 1 個字母的順序輪換寫出 (略 )例3 討論不等式ax<b 的解集。解：把 a、 b、 c 都以正、負、零三種不同取值，組合成九種情況列表ax<0 的解集b正負零正a 零負當 a>0 時，解集是 x< b ,當 a<0 時，解集是 x> b ,aa當 a=0,b>0 時，解集是所有學(xué)過的數(shù)，當 a=0,b 0 時，解集是空

17、集 (即無解 )例 4 如圖把等邊三角形各邊 4 等分，分別連結(jié)對應(yīng)點，試計算圖中所有的三角形個數(shù)解：設(shè)原等邊三角形邊長為4 個單位，則最小的等邊三角形邊長是1 個單位，再按頂點在上和頂點在下兩種情況，逐一統(tǒng)計：邊長 1 單位，頂點在上的有：1+2+3+4=10邊長 1 單位，頂點在下的有：1+2+3=6邊長 2 單位，頂點在上的有：1+2+3=6邊長 2 單位，頂點在下的有：1邊長 3 單位，頂點在上的有：1+2=3邊長 4 單位，頂點在上的有：1合計共 27 個丙練習(xí) 131 己知 x， y 都是整數(shù)，且xy=6 ，那么適合等式解共_個，它們是2 a+b=37,適合等式的非負整數(shù)解共_組，

18、它們是3 xyz=6, 寫出所有的正整數(shù)解有：4 如圖線段 AF 上有 B ，C，D ，E 四點 ,試分別寫出以A ，B ，C， D，E 為一端且不重復(fù)的所有線段，并統(tǒng)計總條數(shù)。ABCDEF5.寫出以 a,b,c 中的一個或幾個字母組成的非同類項（系數(shù)為1）的所有三次單項式。6. 除以 4 余 1 兩位數(shù)共有幾個？7.從 1 到 10 這十個自然數(shù)中每次取兩個，其和要大于10，共有幾種不同取法？8.把 邊長等于 4 的正方形各邊 4 等分，連結(jié)各對應(yīng)點成16 個小正方形，試用枚舉法，計算共有幾個正方形？如果改為5 等分呢？ 10 等分呢？9.右圖是街道的一部分，縱橫各有5 條路，如果從AA 到

19、 B( 只能從北向南，從西向東)，有幾種走法？10.列表討論不等式ax>b 的解集 .11.一個正整數(shù)加上3 是 5 的倍數(shù)，減去 3 是 6 的倍數(shù)，則這個正整數(shù)的最小值是B初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（14）經(jīng)驗歸納法甲內(nèi)容提要1通常我們把“從特殊到一般”的推理方法、研究問題的方法叫做歸納法。通過有限的幾個特例，觀察其一般規(guī)律， 得出結(jié)論，它是一種不完全的歸納法，也叫做經(jīng)驗歸納法。例如由 ( 1)2 1，（1）31，（ 1）4 1 ，歸納出 1 的奇次冪是1，而1的偶次冪是 1 。由兩位數(shù)從10 到 99共90個（ 9×10 ），三位數(shù)從100 到 999共 900 個（ 9

20、15; 102），四位數(shù)有9× 103 9000 個（ 9× 103），歸納出 n 位數(shù)共有 9× 10n-1(個 ) 由 1+3=2222,1+3+5=3 ,1+3+5+7=4 推斷出從1 開始的 n 個連續(xù)奇數(shù)的和等于n2 等。可以看出經(jīng)驗歸納法是獲取新知識的重要手段，是知識攀緣前進的階梯。2. 經(jīng)驗歸納法是通過少數(shù)特例的試驗，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想結(jié)論，要使規(guī)律明朗化，必須進行足夠次數(shù)的試驗。由于觀察產(chǎn)生的片面性， 所猜想的結(jié)論， 有可能是錯誤的， 所以肯定或否定猜想的結(jié)論，都必須進行嚴格地證明。 （到高中，大都是用數(shù)學(xué)歸納法證明）乙例題例1平面內(nèi) n 條直線，每兩

21、條直線都相交，問最多有幾個交點？解：兩條直線只有一個交點，12第 3條直線和前兩條直線都相交，增加了2 個交點，得1 23第 4條直線和前3 條直線都相交，增加了3 個交點，得12 3第 5條直線和前4 條直線都相交，增加了4 個交點，得12 34第 n 條直線和前 n1 條直線都相交，增加了n1個交點由此斷定 n 條直線兩兩相交，最多有交點1 2 3 n 1（個），這里 n 2，其和可表示為1+（ n+1 ）× n1,即 n(n 1) 個交點。22例 2符號 n！表示正整數(shù)從1 到 n 的連乘積，讀作n 的階乘。例如n5！ 1×2× 3× 4×

22、; 5。試比較3 與（ n+1）！的大?。?n 是正整數(shù)）當 n 2 時， 3n 9， （ n 1）！ 1× 2× 3 6當 n 3 時， 3n 27, （ n 1）！ 1× 2×3× 4 24當 n 4 時， 3n 81, （ n 1）！ 1× 2×3× 4× 5 120當 n 5 時， 3n 243,（ n 1）！ 6！ 720猜想其結(jié)論是：當n 1， 2， 3 時， 3n（ n 1）！，當 n>3 時 3n（ n1）！。例 3 求適合等式x1+x 2+x 3 +x 2003=x 1x2x3 x

23、2003 的正整數(shù)解。分析：這2003 個正整數(shù)的和正好與它們的積相等，要確定每一個正整數(shù)的值，我們采用經(jīng)驗歸納法從 2 個， 3 個， 4 個直到發(fā)現(xiàn)規(guī)律為止。解： x1+x 2=x 1x2 的正整數(shù)解是 x1=x 2=2x1+x 2+x3=x 1x2x3 的正整數(shù)解是 x1=1,x2=2,x3=3x1+x 2+x3+x 4=x 1x2x3 x4 的正整數(shù)解是 x1=x 2=1,x 3=2,x4=4x1+x 2+x3+x 4+x 5=x 1x2 x3 x4x5 的正整數(shù)解是 x1=x 2=x 3=1,x 4=2,x 5=5x1+x 2+x3+x 4+x 5+x 6=x 1x2x3x4x5x6

24、 的正整數(shù)解是 x1=x 2=x 3=x 4=1,x 5=2,x 6=6由此猜想結(jié)論是：適合等式x1+x 2+x 3 +x 2003=x 1x2x3x2003 的正整數(shù)解為x1=x2 =x3=x2001=1,x 2002=2， x2003=2003 。丙練習(xí) 141 除以 3 余 1 的正整數(shù)中，一位數(shù)有個，二位數(shù)有個，三位數(shù)有個，n 位數(shù)有個。2 十 進制 的 兩 位 數(shù) a1 a2 可 記 作10a1 a2, 三 位 數(shù) a1 a2 a3記 作100a1+10a2+a3, 四 位 數(shù)a1a2 a3 a4記作， n 位數(shù)記作3 由 13 23（ 1 2） 2， 13 23 33（ 1 2 3

25、） 2，13 23 33 43（）2 ,13152， 13 23 n3=()2。4 用經(jīng)驗歸納法猜想下列各數(shù)的結(jié)論（是什么正整數(shù)的平方）；（） 2；（） 2。111122221112222110個 15個 22n個 1n個 2 1111 5556 （）2； 11 115556 （） 29位9位n位n 位5 把自然數(shù)1 到 100 一個個地排下去：123 91011 99100這是一個幾位數(shù)？這個數(shù)的各位上的各個數(shù)字和是多少11116計算1213141911121320（提示把每個分數(shù)寫成兩個分數(shù)的差）7a 是正整數(shù)，試比較aa+1 和 (a+1) a 的大小 .8 . 如圖把長方形的四條邊涂上

26、紅色，然后把寬 3 等分，把長8 等分，分成24 個小長方形，那么這24 個長方形中，兩邊涂色的有個，一邊涂色的有個，四邊都不著色的有個。本題如果改為把寬m 等分 ,長 n 等分 (m,n 都是大于1 的自然數(shù) )那么這 mn 個長方形中， 兩邊涂色的有個，一邊涂色的有個，四邊都不著色的有個9把表面涂有紅色的正方體的各棱都4 等分，切成 64 個小正方體，那么這 64 個中，三面涂色的有個， 兩面涂色的有個，一面涂色的有個， 四面都不涂色的有個。本題如果改為把長m 等分 ,寬 n 等分 ,高 p 等分，（ m,n,p 都是大于 2 的自然數(shù)）那么這 mnp個正方體中，三面涂色的有個，兩面涂色的

27、有個，一面涂色的有個，四面都不涂色的有個。10一個西瓜按橫， 縱，垂直三個方向各切三刀，共分成塊， 其中不帶皮的有塊。11已知兩個正整數(shù)的積等于11112222，它們分別是，。初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（15）乘法公式甲內(nèi)容提要1 乘法公式也叫做簡乘公式，就是把一些特殊的多項式相乘的結(jié)果加以總結(jié)，直接應(yīng)用。公式中的每一個字母，一般可以表示數(shù)字、單項式、多項式，有的還可以推廣到分式、根式。公式的應(yīng)用不僅可從左到右的順用（乘法展開） ，還可以由右到左逆用（因式分解） ，還要記住一些重要的變形及其逆運算除法等。2 基本公式就是最常用、最基礎(chǔ)的公式，并且可以由此而推導(dǎo)出其他公式。完全平方公式：(a±

28、; b)2=a2± 2ab+b2,平方差公式：（ a+b） (ab)=a 2 b2立方和（差）公式：(a±b)(a2ab+b2 )=a3± b33.公式的推廣： 多項式平方公式：22222(a+b+c+d)=a +b +c +d +2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多項式平方等于各項平方和加上每兩項積的2 倍。 二項式定理： (a± b)3=a3± 3a2b+3ab2± b3(a± b)4=a4± 4a3b+6a2b2± 4ab3+b4）（ a± b） 5=a5± 5a

29、4b+10a3b2 ± 10a2b3 5ab4± b5）注意觀察右邊展開式的項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、符號的規(guī)律 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（ a+b） (a3 a2b+ab2 b3)=a4 b4 (a+b)(a4 a3b+a2b2 ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5 a4b+a3b2 a2b3+ab4 b5)=a 6 b6注意觀察左邊第二個因式的項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、符號的規(guī)律在正整數(shù)指數(shù)的條件下，可歸納如下：設(shè)n 為正整數(shù)(a+b)(a 2n 1 a2n 2b+a2n 3b2 ab2n2 b2n 1)=a2n b2n(a+b)(a 2n a2n 1b+a2n 2b

30、2 ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1類似地：n 1 n 2n3 2n 2 n1nn（ a b） (a +ab+a b + ab +b)=ab4. 公式的變形及其逆運算由（ a+b） 2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b) 2 2ab由 (a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3 +3ab(a+b)得 a3+b3=(a+b) 3 3ab(a+b)由公式的推廣可知：當n 為正整數(shù)時nna b 能被 a b 整除 ,a2n+1+b2n+1 能被 a+b 整除 ,a2n b2n 能被 a+b 及 a b 整除。乙例題例 1. 己知 x+y=a xy=b求 x2+y

31、 2 x3+y 3 x4+y4 x5+y 5解： x2+y2 (x+y) 2 2xy a2 2b x3+y3 (x+y) 3 3xy（ x+y） a3 3ab x4+y4 (x+y) 4 4xy（ x2+y 2） 6x 2y2 a4 4a2b2b255432234 x+y（ x+y ） (x x y+x y xy +y )442222=(x+y) x +y xy(x +y )+x y 42222=aa 4a b+2b b(a 2b)+b a5 5a3b+5ab2例2.求證：四個連續(xù)整數(shù)的積加上1 的和，一定是整數(shù)的平方。證明：設(shè)這四個數(shù)分別為a, a+1, a+2, a+3(a 為整數(shù) )a(

32、a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+122222=(a +3a) +2(a +3a)+1=(a +3a+1) a 是整數(shù)，整數(shù)的和、差、積、商也是整數(shù)2 a +3a+1 是整數(shù)證畢例3.求證： 2222 3111 能被 7 整除證明： 2222 3111（ 22） 111 3111 41113111根據(jù)a2n+1+b2n+1 能被 a+b 整除，（見內(nèi)容提要4） 4111 3111 能被 4 3 整除 2222 3111 能被 7 整除例4. 由完全平方公式推導(dǎo)“個位數(shù)字為5 的兩位數(shù)的平方數(shù)”的計算規(guī)律解：(10a+5)

33、2=100a2 +2× 10a× 5+25=100a(a+1)+25“個位數(shù)字為5 的兩位數(shù)的平方數(shù)”的特點是：冪的末兩位數(shù)字是底數(shù)個位數(shù)字5的平方，冪的百位以上的數(shù)字是底數(shù)十位上數(shù)字乘以比它大1 的數(shù)的積。如： 152=225冪的百位上的數(shù)字2=1× 2)，252=625 (6=2× 3)，352=1225(12=3 × 4)452 =2025 (20=4× 5)丙練習(xí) 151 填空： a2+b2=(a+b) 2 _(a+b) 2=(a b)2+_333 3ab(_)4422 2 a+b =(a+b) a +b =(a +b ) _

34、, a5+b5=(a+b)(a4+b4 ) _ a5+b5=(a2+b2)(a3+b 3) _2 填空：(x+y)(_)=x 4 y4 (x y)(_)=x 4 y4(x+y)( _)=x5+y5（ x y） (_)=x 5 y53.計算：552=652= 752= 852= 952=4. 計算下列各題 ，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律11× 19=22× 28= 34× 36=43× 47= 76×74=5.已知 x+1=3, 求 x2+1 x3+1 x4+1的值xx2x 3x46.化簡：（ a+b） 2(a b)2 (a+b)(a2 ab+b2) (ab)

35、(a+b) 3 2ab(a2 b2) (a+b+c)(a+b c)(ab+c)( a+b+c)7.己知 a+b=1, 求證： a3+b33ab=12=a+1，求代數(shù)式55a+2的值8.己知 aa9.求證：233 1 能被 9 整除10.求證：兩個連續(xù)整數(shù)的積加上其中較大的一個數(shù)的和等于較大的數(shù)的平方11如圖三個小圓圓心都在大圓的直徑上，它們的直徑分別是a,b,c求證：三個小圓周長的和等于大圓的周長求：大圓面積減去三個小圓面積和的差。abc初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（16）整數(shù)的一種分類甲內(nèi)容提要1 余數(shù)的定義：在等式A mB r 中，如果 A 、B 是整數(shù)， m 是正整數(shù)，r 為小于 m 的非負整數(shù)

36、，那么我們稱r 是 A 除以 m 的余數(shù)。即：在整數(shù)集合中被除數(shù)除數(shù)×商余數(shù)(0余數(shù) <除數(shù) )例如： 13，0， 1， 9 除以 5 的余數(shù)分別是3，0， 4， 1（ 1 5（ 1） 4。 9 5（ 2） 1。）2 顯然，整數(shù)除以正整數(shù)m ,它的余數(shù)只有m 種。例如 整數(shù)除以 2，余數(shù)只有 0 和 1 兩種，除以3 則余數(shù)有0、 1、 2 三種。3 整數(shù)的一種分類：按整數(shù)除以正整數(shù)m 的余數(shù)，分為 m 類，稱為按模m 分類。例如：m=2 時，分為偶數(shù)、奇數(shù)兩類，記作2k , 2k 1（ k 為整數(shù)）m=3 時，分為三類，記作3k ,3k+1 ,3k+2 .或 3k , 3k+

37、1 ， 3k 1其中 3k 1表示除以3余 2。m=5 時，分為五類， 5k . 5k+1 , 5k+2 , 5k+3 , 5k+4或 5k, 5k ± 1 , 5k±2，其中 5k 2 表示除以 5 余 3。4 余數(shù)的性質(zhì)：整數(shù)按某個模m 分類，它的余數(shù)有可加，可乘，可乘方的運算規(guī)律。舉例如下：（ 3k1+1） +(3k 2+1)=3(k 1+k 2)+2（余數(shù) 1 1 2）（ 4k1+1）(4k 2+3)=4(4k 1k2 +3k 1+k2 )+3（余數(shù)1× 3 3）（ 5k± 2） 225k 2± 20k+4=5(5k 2± 4

38、k)+4（余數(shù) 224）以上等式可敘述為： 兩個整數(shù)除以3 都余 1，則它們的和除以3必余 2。 兩個整數(shù)除以4，分別余1 和 3，則它們的積除以 4 必余 3。 如果整數(shù)除以5，余數(shù)是2 或 3，那么它的平方數(shù)除以5，余數(shù)必是4或 9。余數(shù)的乘方，包括一切正整數(shù)次冪。如： 17除以 5 余 2 176 除以 5 的余數(shù)是 4（ 26 64）5 運用整數(shù)分類解題時，它的關(guān)鍵是正確選用模m。乙例題例 1. 今天是星期日，99 天后是星期幾？9分析：一星期是7 天，選用模m=7, 求 9 除以 7 的余數(shù)999解： 9 （ 7 2） ，它的余數(shù)與2 的余數(shù)相同，29（ 23） 3 83（ 7 1）

39、 3 它的余數(shù)與13 相同， 99 天后是星期一。又解：設(shè) A 表示 A 除以 7 的余數(shù)，99（ 72） 9 29 83（ 7 1）3 13 1例 2. 設(shè) n 為正整數(shù)，求43 n+1 除以 9 的余數(shù)。分析：設(shè)法把冪的底數(shù)化為9k r 形式解： 43 n+1 4× 43n=4× (43)n=4×（ 64）n 4× (9× 71) n (9× 7 1)n 除以 9 的余數(shù)是 1n=1 43 n+1 除以 9 的余數(shù)是 4。例 3. 求證三個連續(xù)整數(shù)的立方和是9 的倍數(shù)解：設(shè)三個連續(xù)整數(shù)為n 1,n,n+13332M=(n 1) +

40、n +(n+1) =3n(n +2)把整數(shù) n 按模 3，分為三類討論。當 n=3k （k 為整數(shù)，下同）時， M 3× 3k (3k) 2+2 =9k(9k 2+2) 當 n=3k+1 時， M 3（ 3k+1 ）(3k+1) 2 +2 3（ 3k+1） (9k 2+6k+3)=9(3k+1)(3k 2+2k+1)當 n=3k+2 時， M 3（ 3k+2 ）(3k+2) 2 +2 3（ 3k+2） (9k 2+12k+6) 9(3k+2)(3k 2+4k+2)對任意整數(shù) n， M 都是 9 的倍數(shù)。例 4. 求證：方程 x2 3y2=17 沒有整數(shù)解證明：設(shè)整數(shù) x 按模 3分類

41、討論，當 x 3k 時，2 3y222（ 3k）=17,3(3k y)=17當 x=3k ± 1 時，（ 3k± 1） 2 3y2=173(3k2± 2k y2)=16由左邊的整數(shù)是 3的倍數(shù)，而右邊的17和16都不是 3的倍數(shù)，上述等式都不能成立，因此，方程x23y2=17 沒有整數(shù)解例 5. 求證：不論 n 取什么整數(shù)值， n2+n+1 都不能被 5 整除證明：把 n 按模 5 分類討論，當 n=5k 時， n2+n+1=(5k) 2+5k+1=5(5k 2+k)+1當 n=5k ±1 時， n2+n+1（ 5k±1） 2 5k± 1 1 25k2±10k+1+5k ± 1 15（ 5k2± 2kk） 2±1 當 n=5k ±2 時， n2+n+1（ 5k± 2） 2 5k± 21 25k2±20k+4+5k ± 2 15（ 5k2±