必修二立體幾何較難題匯總

1、1.四面體abcd四個(gè)面的重心分別為e、f、g、h，則四面體efgh的表面積與四面體abcd的表面積的比值是（）a) b) c) d)如圖，連接af、ag并延長(zhǎng)與bc、cd相交于m、n，由于f、g分別是三角形的重心，所以m、n分別是bc、cd的中點(diǎn)，且af：am=ag：an=2：3，所以fg：mn=2：3，又mn：bd=1：2，所以fg：bd=1：3，即兩個(gè)四面體的相似比是1：3，所以兩個(gè)四面體的表面積的比是1：9；故選c如圖，平面平面平面，兩條直線l，m分別與平面，相交于點(diǎn)a，b，c和點(diǎn)d，e，f已知ac15cm，de5cm，abbc13，求ab，bc，ef的長(zhǎng)設(shè)平面,a、c,b、d直線ab

2、與cd交于s，若as=18,bs=9,cd=34,則cs=?68/3或68與空間四邊形abcd四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的平面共有多少個(gè)?七個(gè)你可以把它想象成一個(gè)三棱錐四個(gè)頂點(diǎn)各對(duì)應(yīng)一個(gè) 有四個(gè)，兩條相對(duì)棱對(duì)應(yīng)一個(gè) 共三組相對(duì)棱 因此有三個(gè)總共有七個(gè)如圖，在四棱錐p-abcd中，平面pad平面abcd，abdc，pad是等邊三角形，已知bd=2ad=8， ab=2dc=。（1）設(shè)m是pc上的一點(diǎn)，證明：平面mbd平面pad；（2）求四棱錐p-abcd的體積解：（1）證明：在中，由于，所以故又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面。（2）過(guò)作交于o，由于平面平面，所以平面因此為四棱錐的高，

3、又是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形因此在底面四邊形中，所以四邊形是梯形，在中，斜邊邊上的高為，此即為梯形的高，所以四邊形的面積為故。（2008福建）(6)如圖，在長(zhǎng)方體abcd-a1b1c1d1中，ab=bc=2,aa1=1,則bc1與平面bb1d1d所成角的正弦值為 a.b. c. d. .（15）如圖，二面角的大小是60°，線段.，與所成的角為30°.則與平面所成的角的正弦值是 .19（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱abca1b1c1中，ac=bc=aa1，d是棱aa1的中點(diǎn)，dc1bd。（1）證明：dc1bc；（2）求二面角a1bdc1的大小?！窘馕觥浚?）在中， 得：， 同

4、理：， 得：。又dc1bd，所以平面。而平面，所以。（2）解法一：（幾何法）由面。 取的中點(diǎn)，連接，。 因?yàn)椋?，因?yàn)槊婷?，所以面，從而，又dc1bd，所以面，因?yàn)槠矫?，所以。由，bddc1，所以為二面角a1bdc1的平面角。 設(shè)，則，在直角，所以。 因此二面角的大小為。(2007)2、(北京市西城區(qū)2012年4月高三抽樣測(cè)試)下列四個(gè)正方體圖形中，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出 平面的圖形的序號(hào)是（ ） a. 、 b. 、 c. 、 d. 、 答案：b3、(吉林省吉林市2012屆上期末)三棱錐pabc的高po=8，ac=bc=3，acb=30°，m、n分別在bc

5、和po上，且cm=x，pn=2cm，試問(wèn)下面的四個(gè)圖像中哪個(gè)圖像大致描繪了三棱錐namc的體積v與x的變化關(guān)系（）（ ）答案：aabcd是平行四邊形,點(diǎn)p是平面abcd外一點(diǎn),m是pc的中點(diǎn),在dm上取一點(diǎn)g,過(guò)g和ap作平面交平面bdm于gh.求證:apgh.平面過(guò)正方形abcd- a1b1c1d1的三個(gè)頂點(diǎn)b,d, a1,與底面a1b1c1d1的交線為l,則l與b1d1的位置關(guān)系？如圖，正方形abcd與正方形abef所在平面相交于ab，在ae，bd上各有一點(diǎn)p，q，且ap=dq。求證：pq面bce4下列各圖是正方體或正四面體，p，q，r，s分別是所在棱的中點(diǎn)，則四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是()空

6、間三條直線，其中一條和其他兩條都相交，那這三條直線中的兩條能確定的平面?zhèn)€數(shù)是多少1、 若三條直線只有一個(gè)交點(diǎn)，則可以確定一個(gè)或三個(gè)平面；2、 若這三條直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則可以確定一個(gè)或三個(gè)平面。3、 若這三條直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則可確定以一個(gè)平面。答案：一個(gè)或三個(gè)線面平行的判定定理證明線面平行的判定定理是：若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線與這個(gè)平面平行。線面平行的定義是：若直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱此直線與該平面平行。證明：設(shè)直線a直線b，a不在平面內(nèi)，b在平面內(nèi)。用反證法證明a。假設(shè)直線a與平面不平行，則由于a不在平面內(nèi)，有a與相交，設(shè)a=a。則點(diǎn)a不在直線b上，

7、否則ab=a與ab矛盾。過(guò)點(diǎn)a在平面內(nèi)作直線cb，由ab得ac。而aa，且ac，即ac=a，這與ac相矛盾。于是假設(shè)錯(cuò)誤，故原命題正確。（反證法）例題2從正方體的棱和各個(gè)面上的對(duì)角線中選出k條，使得其中任意兩條線段所在直線都是異面直線，求k的最大值解答 考察如圖所示的正方體上的四條線段ac，bc1，d1b1，a1d，它們所在直線兩兩都是異面直線又若有5條或5條以上兩兩異面的直線，則它們的端點(diǎn)相異且個(gè)數(shù)不少于10，與正方體只有8個(gè)頂點(diǎn)矛盾故 k的最大值是4練習(xí)1 在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)、12條棱的中點(diǎn)、6個(gè)面的中心及正方體的中心共計(jì)27個(gè)點(diǎn)中，問(wèn)共線的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是多少解答 兩端點(diǎn)都為頂點(diǎn)的共線三點(diǎn)

8、組共有個(gè)；兩端點(diǎn)都為面的中心共線三點(diǎn)組共有個(gè)；兩端點(diǎn)都為各棱中點(diǎn)的共線三點(diǎn)組共有個(gè)，且沒(méi)有別的類(lèi)型的共線三點(diǎn)組，所以總共有個(gè)例題3在單位正方體abcd-a1b1c1d1的面對(duì)角線a1b上存在一點(diǎn)p使得ap+d1p最短，求ap+d1p的最小值解答 將等腰直角三角形aa1b沿a1b折起至，使三角形與四邊形a1bcd1共面，聯(lián)結(jié)，則的長(zhǎng)即為ap+ d1p的最小值，所以，練習(xí)3已知單位正方體abcd-a1b1c1d1的對(duì)棱bb1、d1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)e、f，be=d1f=（）設(shè)ef與ab所成的角為，與bc所成的角為，求的最小值解答 當(dāng)時(shí)，不難證明是單調(diào)減函數(shù)因此的最小值為例十七、（2000年全國(guó)聯(lián)賽一試）

9、一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長(zhǎng)為，則這個(gè)球的體積是 分析：由正四面體的圖象的對(duì)稱性可知，內(nèi)切球的球心必為正四面體的中心，球與各棱相切，其切點(diǎn)必為各棱中點(diǎn)，考查三組對(duì)棱中點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，即為內(nèi)切球的球心，所以每組對(duì)棱間的距離即為內(nèi)切球的直徑，于是有： roedcapb 練習(xí)：同樣可用體積法求出棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑分析可知，正四面體的內(nèi)切球與外接球球心相同，將球心與正四面體的個(gè)頂點(diǎn)相連，可將正四面體劃分為四個(gè)全等的正三棱錐，于是可知內(nèi)切球的半徑即為正四面體高度的四分之一，外接球半徑即為高度的四分之三故只要求出正四面體的高度即可又：，所以，例二十三、（1991年

10、全國(guó)聯(lián)賽一試）設(shè)正三棱錐pabc的高為po，m為po的中點(diǎn)，過(guò)am作與棱bc平行的平面，將三棱錐截為上、下兩個(gè)部分，試求此兩部分的體積比f(wàn)eomdcbaphg分析：取bc的中點(diǎn)d，連接pd交am于g，設(shè)所作的平行于bc的平面交平面pbc于ef，由直線與平面平行的性質(zhì)定理得：efbc，連接ae，af，則平面aef為合乎要求的截面作ohpg，交ag于點(diǎn)h，則：oh=pg；故：；于是：8、如果空間三條直線a，b，c兩兩成異面直線，那么與a，b，c都相交的直線有(a) 0條 (b) 1條 (c)多于1 的有限條 (d) 無(wú)窮多條解：在a、b、c上取三條線段ab、cc¢、a¢d

11、62;，作一個(gè)平行六面體abcda¢b¢c¢d¢，在c上取線段a¢d¢上一點(diǎn)p，過(guò)a、p作 一個(gè)平面，與dd¢交于q、與cc¢交于r，則qra，于是pr不與a平行，但pr與a共面故pr與a相交由于可以取無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)p故選d3. 設(shè)四棱錐的底面不是平行四邊形, 用平面去截此四棱錐, 使得截面四邊形是平行四邊形, 則這樣的平面 ( )(a) 不存在 (b)只有1個(gè) (c) 恰有4個(gè) (d)有無(wú)數(shù)多個(gè)例一、（1991年全國(guó)聯(lián)賽一試）由一個(gè)正方體的三個(gè)頂點(diǎn)所能構(gòu)成的正三角形的個(gè)數(shù)為（a）4； （b）8； （c）12； （d）

12、24分析：一個(gè)正方體一共有8個(gè)頂點(diǎn)，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，構(gòu)成正三角形的邊必須是正方體的面對(duì)角線考慮正方體的12條面對(duì)角線，從中任取一條可與其他面對(duì)角線構(gòu)成兩個(gè)等邊三角形，即每一條邊要在構(gòu)成的等邊三角形中出現(xiàn)兩次，故所有邊共出現(xiàn)次，而每一個(gè)三角形由三邊構(gòu)成，故一共可構(gòu)成的等邊三角形個(gè)數(shù)為個(gè)例 1在桌面上放著四個(gè)兩兩相切、 半 徑均為r的球， 試確定其頂端離桌面的高度；并求夾在這四個(gè)球所組成圖形空隙中與四個(gè) 球均相切的小球的半徑 (2012重慶)9.設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1,1,1,1，和，且長(zhǎng)為的棱與長(zhǎng)為的棱異面，則的取值范圍是（ a ）a. b. c. d. （2010全國(guó)）(6)直

13、三棱柱中，若，則異面直線與所成的角等于（ c ）(a)30° (b)45°(c)60° (d)90°6.c【命題意圖】本小題主要考查直三棱柱的性質(zhì)、異面直線所成的角、異面直線所成的角的求法. 【解析】延長(zhǎng)ca到d，使得，則為平行四邊形，就是異面直線與所成的角，又三角形為等邊三角形，過(guò)正方體abcd-a1b1c1d1的頂點(diǎn)a作直線a，使 a與棱ab, ad, a a1所在直線所成的角都相等，這樣的直線a可以作（ d ）a)1條 b）2條 c）3條 d）4條(2010重慶)（9）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)( d )（a）只有1個(gè) （b）恰有3個(gè)（c）恰有4個(gè) （d）有無(wú)窮多個(gè)11如圖，m是正方體的棱的中點(diǎn)，給出下列命題過(guò)m點(diǎn)有且只有一條直線與直線、都相交；過(guò)m點(diǎn)有且只有一條直線與直線、都垂直；過(guò)m點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線、都相交；過(guò)m點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線、都平行. 其中真命題是：a b c d 3、 如圖：在正方體中，ef分別是棱bc與的中點(diǎn).求證：ef /平面(方法兩種)abcda1