振型分解反應(yīng)譜法.docx

1、附錄一振型分解反應(yīng)譜法振型分解反應(yīng)譜法作為彈性多自由體系的主要分析方法，很有必要對振型分解反應(yīng)譜法有充分的了解。 本文僅作為大家參考之用，如有理解上的錯誤或者不當(dāng)，敬請諒解。1 、單自由度體系在地震作用下的運(yùn)動如圖（ 1）所示，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理有：f c f I f s 0（1）也即： mucu kumug（2）方程兩邊同時除以m ，可化為：圖（ 1）u 2 u2 uug（ 3）式中，2k / m ，令c，為體系阻尼比。2m2 、多自由度體系在地震作用下的運(yùn)動類似于單自由度體系分析過程，體系運(yùn)動方程為： m u c u k u mug（4）無阻尼體系自由振動時，ug0， c0 ，上式即為：m

2、uk u 0（5）根據(jù)方程解的特征，設(shè)其解的形式為： u sin(t)（ 6）代入（ 5）式有：( k2 m)sin(t) 0（ 7）由于 sin(t) 0則 ( k2 m) 0（ 8）另外， 0 ，故特征方程為：k2 0（ 9）m由（ 9）式可以求出2 ，進(jìn)而可以求得各階振型對應(yīng)的圓頻率2i ，再代入（ 8）式可求對應(yīng)于各個2的特征向量i ，即為振型。i振型：多自由度體系自由振動時，各質(zhì)點(diǎn)在任意時刻位移比值是一定的，不隨時間變化，即體系自由振動過程中形狀保持不變。振型是結(jié)構(gòu)形狀保持不變的振動形式，唯一的。 N 個自由度的體系具有N 個振型。則結(jié)構(gòu)的變形總可以表示成這N 個振型的線性組合：Nu

3、qi ii 1其中 qi 稱為正則坐標(biāo)。3、振型的正交性由于 k 2 0m則 k r r2 m r 0（ 12）式兩邊同時左乘 n T ， (nr ) ，得到：n T kr r2 n T mr 同理， r T kn n2 r T mn，該式兩邊同時轉(zhuǎn)置一次，得到：n T kr n2 n T mr （ 13），（14）兩式左右對應(yīng)相減，得到：（ r2n2 )n T mr 0(rn)22因為 rn所以 n T m r 0(rn)同理亦有 n T k r 0(rn)即所說的振型關(guān)于質(zhì)量和剛度矩陣滿足正交性質(zhì)。對于阻尼：根據(jù)瑞雷阻尼的基本假定，若用矩陣形式表達(dá)，即：camb k由于該式是線性表達(dá)式，根

4、據(jù)前面推導(dǎo)的振型正交性質(zhì)，可以得出：n T c r 0(r n)但要注意的是， 體系振型關(guān)于質(zhì)量和剛度矩陣滿足正交性質(zhì)是無條件的，振型的形狀是（10）（ 11）（12）（13）（ 14）（15）（ 16）（17）（ 18）（19）而振型關(guān)于阻尼矩陣滿足正交性質(zhì)卻是有一定條件的，阻尼不滿足正交的情況下就不能在理論上嚴(yán)格的對結(jié)構(gòu)進(jìn)行振型分解來求解。3.1振型正交性質(zhì)的物理意義振型關(guān)于質(zhì)量矩陣的正交性：第 n 階振型的慣性力在經(jīng)歷第r 階振型時所做的功為0；振型關(guān)于剛度矩陣的正交性：與第 n 階振型位移有關(guān)的彈性力在經(jīng)歷第r 階振型時所做的功為0；總體來說就是各個振型按照自己的規(guī)律振動，而相互之間沒

5、有干擾，從而為把方程求解分解成按各個振型分別求解提供了可能。4、具有經(jīng)典阻尼的多自由度體系在P(t)sp(t) 激勵下的反應(yīng)這種荷載形式是一個固定的分布向量乘以常數(shù)， 具有振型類似的特征， 但是實際結(jié)構(gòu)是很少會受到這種形式的荷載作用， 但它對于后面要進(jìn)行的地震作用下的響應(yīng)分析是有重要作用的。4.1運(yùn)動方程求解（后面u 與等參數(shù)都是表示向量）如圖（ 2）所示，得到體系的平衡方程： mu cuk usp(t)（ 20）由公式（ 10），把 ui(t) iqi (t ) 代人，則：NNN m(i qi )c(i qi ) k (i qi ) s p(t )（ 21）i1i1i 1方程前乘 nT，根據(jù)

6、振型的正交性質(zhì)，上式可化為：M n qn Cn qnK n qnnT sp(t)（22）其中 M nnT m n稱為廣義質(zhì)量CnnTcn稱為廣義阻尼K nnTkn稱為廣義剛度上式兩邊同時除以M n ，由2K n，并另 nC n得到：n2 n M nM nqn2nn qnn2 qnnT s p(t)M n令nnTs，稱為振型參與系數(shù)。M n則（ 23）式化為：qn2 nn qnn2qnn p(t )n 是一個與振型正則化方式(即的取值 )及荷載分布向量有關(guān)的一個量， 它反映了外部激勵對振型的影響程度。比如 s具有 m i的形式，根據(jù)正交性n 0(i n)或1(i n)，說明這種荷載只會引起第 i

7、 個振型的反應(yīng)，而不會引起其他振型的反應(yīng)。令： D nqn ，則（ 24）式可變?yōu)椋簣D（ 2）（23）（24）圖（ 3）nD n 2 n n D nn2 D n p(t)（25）該方程是如圖（3）的一個標(biāo)準(zhǔn)的單自由度體系的運(yùn)動微分方程，求解微分方程得到Dn (t ) 。4.2求激勵下的效應(yīng)對應(yīng)于此刻第n 階振型的位移 un (t ) nqn (t )nnD n (t) ，則如圖（4）所示，對應(yīng)于此時變形的彈性恢復(fù)力為：fn (t ) kun (t) k nn D n (t )n2 mnnD n (t )n m n n2D n (t )（26）N令 snn m n ，稱之為振型貢獻(xiàn)，且ssn ，

8、則（ 26)式可寫為：n1f n (t)snn2 D n (t )（ 27）sn 是一個 n 階列向量， 是個常量， 與結(jié)構(gòu)特性及荷載作用方式都有關(guān)，而與振型的正則化方式無關(guān)。那么f n (t) 為一個靜力部分與動力部分的組合，作用在自由度上的f n (t)由 sn 與n2D n (t ) 的乘積決定，則在f n (t) 作用下的效應(yīng)也可以表示為由sn 作用下的效應(yīng)經(jīng)動力放大后的總效應(yīng)，而這個彈性恢復(fù)力是用來計算結(jié)構(gòu)各種反應(yīng)效應(yīng)的直接量。圖（ 4）如圖（ 5）所示，st 為在s作用下對應(yīng)于結(jié)構(gòu)需要求的作用效應(yīng)值，可以是彎矩、剪nn力，位移等，則經(jīng)動力放大后得到該效應(yīng)的動力反應(yīng)時程，可表示為：n

9、 (t )st2（ 28）nn D n (t )那么總的效應(yīng)可以表示為：N(t )n (t)（ 29）n 1總靜力效應(yīng)：Nstst（ 30）nn1st圖（ 5）令：n（ 31）nstn 稱為振型貢獻(xiàn)系數(shù)，則第n 階振型的效應(yīng)可表示為n (t )stn n2Dn (t ) 。4.2.1 對n 性質(zhì)的討論 n 是個無量綱的物理量，對于不同的反應(yīng)量取值是不同；Ts n 與正則化方式無關(guān)， snn m n ，n，上下有兩個n ， n 的影響nnT mn被約去；Nn1 ；i 1 n 有正有負(fù)，所以只計算前幾個振型并不一定都是小于總效應(yīng)的，也可能偏大的估計了荷載的作用效應(yīng)。4.2.2 振型貢獻(xiàn)系數(shù)與振型參

10、與系數(shù)的區(qū)別n 是一個與振型正則化方式無關(guān)而與結(jié)構(gòu)特性和激勵分布特性有關(guān)的量，是衡量各振型對反應(yīng)量最直觀的參數(shù)， 雖然它不包括動力部分， 不能精確反映振型對反應(yīng)的貢獻(xiàn)， 但已經(jīng)能夠表現(xiàn)各振型反應(yīng)的相對大小。4.2.3 位移也是f n 作用下的一種效應(yīng)st212112D n (t )n n D n (t )（ 32）un (t ) unn D n (t ) k sn n D n (t )2 mn m n nn這與之前的 un (t )n qn (t ) nn D n (t ) 的表達(dá)式是相同的，說明效應(yīng)的表達(dá)式具有廣泛的適用性。5、具有經(jīng)典阻尼的多自由度體系在地震激勵下的反應(yīng)如圖（ 6）所示，以

11、地面為參考系，則各質(zhì)點(diǎn)受到的慣性力為 m ug ，它的分布與質(zhì)量有關(guān)， 代表地面發(fā)生單位位移時各質(zhì)點(diǎn)發(fā)生該方向上的位移，比如轉(zhuǎn)動以及豎向自由度上的位移為 0，對于一般受水平方向作用的多自由度體系，常見的簡化后的結(jié)構(gòu)計算模型， 為1。5.1求解平衡方程及參數(shù)定義如圖（ 6）所示，以地面為參考系，各力分量為：f I M 1u g ， f ccu ， f s ku由牛頓第二定律，可得：f Ifc fs mu ，（ 33）圖（ 6）相對于地面， u 為相對于地面的加速度，則上式也可記為： mu cu kum1 ug（34）以地面為參考系，右邊是體系受到的地震激勵，即該參考系下的f I 。我們可以看到地

12、震激勵雖然是一個復(fù)雜的隨機(jī)過程，體現(xiàn)在u g ，但它的分布函數(shù)是 m1 ，是一個只與結(jié)構(gòu)特性有關(guān)的量。我們聯(lián)想到之前介紹的n ， sn 等都與激勵分布函數(shù)有關(guān)，那么這部分的影響也一起整合到結(jié)構(gòu)的特性里去了。類似于前面的分析過程：M n qnCn qnK n qnnT m1ug（35）兩邊同時除以 M n ，得到：qn 2 nn qnn2qnnT m1ug(36)M n令 nnT m 1，這個值與結(jié)構(gòu)特性以及振型正則化方式有關(guān)，但卻與外部激勵無關(guān)。M n具有性質(zhì) :Nnn1（37）n 1則（ 36）式可記為：qn2 n n qnn2qnn ug（38）與前面相同，令D nqnn上式進(jìn)一步可以化為

13、：Dn2D2 Dugn n nn n這里可以通過各種數(shù)值積分的方法求解該運(yùn)動的微分方程，可以得到彈性力：fn (t) ku(t )n2 mu(t )n2 m n qn (t)n2 m n n D n (t )n mnn2 Dn (t )令 snn mnsn 具有的性質(zhì)：Nm 1snn1則上式可以寫為：fn (t ) snn2 D n (t)snAn (t)式中 An (t ) 稱為偽加速度反應(yīng)。nst 為 sn 作為靜力作用下的結(jié)構(gòu)反應(yīng)。n (t )stAn (t )n（39）D n (t) 。（40）（41）（42）（43）（44）stst振型貢獻(xiàn)系數(shù)：n (t )nn（45）Nststn

14、1nn (t)stn An (t)（46）st 對各階振型計算都相同，而n 反應(yīng)了各階振型對靜力部分貢獻(xiàn)的相對大小，只與結(jié)構(gòu)特性有關(guān)，只有An (t ) 是不確定的。5.2一般結(jié)構(gòu)振型貢獻(xiàn)系數(shù)的特征基本振型，即第一振型的振型貢獻(xiàn)系數(shù)最大，結(jié)構(gòu)越高，自由度越多，高階振型的影響越大；高階振型對力的影響要大于位移， 力在位移的基礎(chǔ)上有2的系數(shù)， 而高階振型的2nn很大， 加大了對力的影響， 更細(xì)致的關(guān)系是頂層剪力的影響要高于底部剪力的影響，高于頂點(diǎn)位移以及傾覆力矩的影響；框架梁端對柱的約束越大， 高階振型影響越小， 即高階振型對彎曲型結(jié)構(gòu)的影響越大，這可能是底部剪力法考慮一個振型為什么只針對剪切型結(jié)

15、構(gòu)的原因。6、振型分解反應(yīng)譜法6.1偽加速度反應(yīng)由（ 46）式看出結(jié)構(gòu)的各階反應(yīng)時程與偽加速度反應(yīng)的時程相關(guān)，如果我們求各階振型的最大反應(yīng)， 那么我們就可以根據(jù)偽加速度反應(yīng)譜來求， 偽加速度反應(yīng)譜提供了各個周期點(diǎn)的偽加速度的最大反應(yīng) An ，如圖（ 7）所示。圖（ 7）這樣得到各階振型的最大反應(yīng)：stAn（ 47）nn6.2振型組合通過反應(yīng)譜得到各階振型的最大反應(yīng)，但并不知道各階振型最大反應(yīng)的具體時刻，而它們的最大反應(yīng)時刻幾乎沒有可能會相同，所以直接相加這些最大反應(yīng)必然會過大的估計結(jié)構(gòu)的最大反應(yīng)。 所以我們需要合適的最大反應(yīng)組合方式來合理的估計結(jié)構(gòu)的最大反應(yīng)，基于地震激勵是個平穩(wěn)的隨機(jī)過程的基

16、本假定，得出了CQC 和 SRSS 的基本組合原則。6.2.1完全二次組合（ CQC 法）計算表達(dá)式如下：NNn )1/2(ini（48）i1n 11 ，當(dāng) i n 時，所有可能的組in 稱為相關(guān)系數(shù)，反應(yīng)了兩個振型的相關(guān)程度，in合都要計算到。Der kiureghian 提出的相關(guān)系數(shù)表達(dá)式：8in (inin ) in3/2（49）in(1n2 )24 i n in (1in2) 4( i 2n2 ) in2其中inin如果在 in時：則in82 (1in )in3/2（50）(1in2 )242in (1in )2圖（ 8）表示不同的下的inin關(guān)系：圖（ 8）如圖（ 8）所示，可以看

17、出的特征是隨著阻尼比的減小，相關(guān)系數(shù)隨周期比的增大退化的很快，在常見的結(jié)構(gòu)阻尼比0.05 的情況下，周期相差兩倍，相關(guān)系數(shù)已經(jīng)接近于0，但如果結(jié)構(gòu)的周期相當(dāng)密集，則各振型的相關(guān)項不能忽略。一般情況下， 包括各種大跨結(jié)構(gòu)，質(zhì)量、剛度以及形狀不規(guī)則的結(jié)構(gòu)要考慮平扭耦合的影響可能會使得結(jié)構(gòu)周期比較密集。6.2.2 平方開方法（SRSS 法）在非高阻尼化的周期較分散的情況下，則式（48）可寫為：NNN(2in i n )1/2n（51）n 1i 1n 1i n則后面相關(guān)系數(shù)項近似為0，則（ 51）式可化為：Nn2 )1/2(（52）n 1本式就是平方開方法（SRSS），其實是一種退化以后的CQC 法。

18、6.2.3 振型組合的一些注意事項 SRSS 以及 CQC 法是在隨機(jī)振動理論下得到的組合關(guān)系，是具有一定概率意義的對結(jié)構(gòu)最大反應(yīng)的包絡(luò)， 從統(tǒng)計觀點(diǎn)來看， 能夠反應(yīng)出結(jié)構(gòu)反應(yīng)量的大小水平。而對于某一次的地震激勵， 并不一定實際的結(jié)果會與組合的結(jié)果相當(dāng)，有可能偏大或偏小于組合結(jié)果，但一般情況下能夠滿足工程上的精度要求。求某一個反應(yīng)量不能通過間接地來求，比如不能通過一種內(nèi)力的峰值去求另外一種內(nèi)力的峰值， 不能通過各層的位移峰值來求層間位移的峰值，而應(yīng)該針對每一個反應(yīng)量分別求出它各階振型的峰值，然后組合得到該反應(yīng)量的總反應(yīng)的峰值。另外就是完全組合的時候，是全部的組合， 例如（ 48）式中的 i1,

19、n2 ，i2, n1都應(yīng)該分別組合一次。6.3結(jié)合中國規(guī)范的振型分解反應(yīng)譜法在實際的結(jié)構(gòu)設(shè)計時， 我們不可能使用單條地震波的反應(yīng)譜來計算， 而是使用綜合了場地條件、地震環(huán)境等因素的有一定概率保證的設(shè)計反應(yīng)譜。中國的振型分解反應(yīng)譜法沒有提出振型貢獻(xiàn)系數(shù)的概念， 振型貢獻(xiàn)系數(shù)是對反應(yīng)量相對貢獻(xiàn)大小最直觀的一種表達(dá)， 是考慮多少個振型最有效地衡量標(biāo)準(zhǔn)， 中國規(guī)范沒有給出定量的衡量所需振型個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)。6.3.1 公式推導(dǎo)為與中國規(guī)范表述一致，振型參與系數(shù)n 用i 表示，意義相同。同（ 39）式的動力微分方程：Di2 i i Dii2 Diug（53）可計算出：Di (t )ui (t )i qi i

20、i D i (t )（54）ni 與正則化方式有關(guān)，但根據(jù)（37）式具有i i1 的性質(zhì)，證明見文獻(xiàn)5 。那么第 i 個質(zhì)點(diǎn)的位移，表達(dá)為各振型第 ii1質(zhì)點(diǎn)的位移之和。nui (t )j D j (t ) ji（55）j 1這里的 ui (t ) 與（ 54）式中的 ui(t) 不相同，一個是表示第i 個質(zhì)點(diǎn)，一個是表示第 i個振型。（ 55）式中的 ji 表示的是第 j 個振型的第 i 個質(zhì)點(diǎn)的值。則相對加速度：n&&&（56）j D j (t ) jiui (t)j 1由（ 37）式的關(guān)系：&&&&n&&(j(t )

21、（57）ug (t) 1 ug (t)ji )ugj1則任一時刻的慣性力為：&&&&fimi (ui (t ) ug (t)n&&n&&mi (j D j (t)ji(t)j ji ugj 1j 1n&&&&nmij ji ( D j(t)(t )f jiugj 1j1則質(zhì)點(diǎn) i 在第 j個振型的慣性力為：&&&f jimijji(D j (t)ug (t)則質(zhì)點(diǎn) i 在第 j個振型的最大慣性力為：&&F jif jimaxmijji D j (t)ug (t

22、 ) maxmijjiSa(Tj)mi g jjijGijjijj 為地震影響系數(shù)，祥見文獻(xiàn)5 。6.3.2 中國建筑抗震設(shè)計規(guī)范 2010版規(guī)定在不考慮扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)的情況下：按式Fjijj X ji Gi其中nnjX ji Gi /X 2ji Gii1i 1（ 58）（ 59）（ 60）(61)把式（ 60）計算的地震作用加到結(jié)構(gòu)上求作用效應(yīng)（彎矩、剪力、軸向力和變形），當(dāng)相鄰振型的周期比小于0.85 時，按SRSS 法組合。當(dāng)不滿足時，規(guī)范5.2.2 條的條文說明中建議使用CQC法組合。當(dāng)要考慮扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)時，請參照建筑抗震設(shè)計規(guī)范5.2.3 條的規(guī)定。抗震規(guī)范在考慮需要計算多少個振型雖然在5.2

23、.2 條的條文說明里說一般取振型參與質(zhì)量達(dá)到總質(zhì)量的90%（有關(guān)振型參與質(zhì)量將在后面介紹），但沒有給出具體的計算式，只是在規(guī)范中說使用SRSS 法時，一般只取前23 個振型； 當(dāng)基本自振周期大于1.5s 或房屋高寬比大于5 時，振型個數(shù)適當(dāng)增加，而在抗震規(guī)范5.2.3 條中使用CQC組合方法時建議考慮915 個振型，但都沒有給出具體的量化標(biāo)準(zhǔn)。6.3.3 相關(guān)問題討論中國規(guī)范是按照加速度來推導(dǎo)慣性力，然后加到結(jié)構(gòu)上來求效應(yīng)，而之前是基于位移狀態(tài)來推導(dǎo)內(nèi)力。兩則的出發(fā)點(diǎn)有所不同，結(jié)構(gòu)的彈性恢復(fù)力并不與結(jié)構(gòu)的慣性力相等，地震激勵下彈性恢復(fù)力應(yīng)該等于結(jié)構(gòu)的慣性力和阻尼力之和。我們的理解是， 每階振型

24、的最大反應(yīng)時刻是位移的峰值點(diǎn)，也就是說位移的導(dǎo)數(shù)是0，即該振型結(jié)構(gòu)的反應(yīng)速度為0，根據(jù)瑞雷阻尼的假定，阻尼力也為0，從這個方面來說二者似乎是等效的，這方面的準(zhǔn)確解釋有待商榷。Sa(Tj ) 是加速度譜值，從（59）式的推導(dǎo)來看是真譜的概念，但之前的推導(dǎo)是用的偽譜，兩者的出發(fā)點(diǎn)不同， 如果如果我們承認(rèn)上述兩種方法都是適用的， 那么也從另外一個側(cè)面說明了真譜與偽譜的差別不大的事實，特別是加速度譜的短周期段。對于規(guī)范給出當(dāng)自振周期大于1.5 或高寬比大于5 時，振型個數(shù)適當(dāng)?shù)脑黾拥囊?guī)定，雖然隨著結(jié)構(gòu)周期的加長，高階振型的參與系數(shù)也加大，但從公式（47）可以看出結(jié)構(gòu)真正的貢獻(xiàn)大小不僅僅與靜力部分的貢獻(xiàn)

25、系數(shù)有關(guān)，還與An 有關(guān)，下面就討論一下動力部分的影響。從圖（ 9）與圖（ 10）中可以看出隨著結(jié)構(gòu)周期的增大，高階振型的反應(yīng)量的動力部分相應(yīng)的增大，關(guān)鍵點(diǎn)在圖中標(biāo)示出來，只要高階振型的周期值跨過了該點(diǎn)進(jìn)入平臺段以后，則以后周期更短的 An 就不會再大于首次跨過該點(diǎn)的那個振型，也就是說我們考察動力部分影響的重點(diǎn)在沒有跨過該特征點(diǎn)的振型上面。在我們看出， 隨著周期的加大，結(jié)構(gòu)高階振型的動力部分會放大該振型的貢獻(xiàn)，另外從圖（10），圖（ 11）看出結(jié)構(gòu)的周期越密集，則高階振型的動力部分影響也變顯著，這也從另外一個側(cè)面解釋了周期加長以及周期密集應(yīng)該多考慮一些振型的原因，雖然不一定是主要的因素。6.4

26、底部剪力法底部剪力法是僅考慮結(jié)構(gòu)的基本振型的一種方法，不存在振型組合的問題?；诨菊裥桶粗谷切蔚姆植蓟炯俣ǎ茖?dǎo)了基本計算公式，詳見抗震規(guī)范5.2.1 條。但之前介紹過隨著結(jié)構(gòu)周期的加長，高階振型的影響變得更顯著，特別是對于頂層的剪力，所以采用在頂部附加一個隨周期加長而增大的作用力，來考慮高階振型的影響。7、振型參與的相關(guān)參數(shù)商業(yè)軟件一般在滿足工程精度要求的基礎(chǔ)上盡可能的減少所需的計算時間， 也就是減少要計算的振型數(shù)， 據(jù)了解 Etabs是根據(jù)結(jié)構(gòu)的有效參與質(zhì)量的大小來判斷需要多少個振型的。圖（ 12）如圖（ 12）的三個自由度的體系為例。對于基底剪力，以第一階振型為例：sts11s12 s13 M 1(62)1從（