第五章薄膜的電學(xué)性能金

1、 第五章 薄膜的電學(xué)性能第五章 薄膜的電學(xué)性能(1. 薛增泉:薄膜物理，p279-302; 2. 金原粲:薄膜， p150-191; 3. 王力衡:薄膜技術(shù),p70-110 )v金屬膜是在電子學(xué)領(lǐng)域中應(yīng)用最為廣泛的一種薄膜。例如，半導(dǎo)體的電路、各種集成電路中的導(dǎo)線和電極、電阻器、電容器、超導(dǎo)器件和光通信用元器件等。本章主要介紹金屬薄膜的電性能及其特性，并以自由電子理論為基礎(chǔ)對各種電學(xué)性能進(jìn)行解釋。前 言v材料的電學(xué)性能內(nèi)容是很廣泛的，對于金屬薄膜來說，主要測量了某些與導(dǎo)體傳輸現(xiàn)象有關(guān)的電學(xué)性能，即 1、電阻率或者是電導(dǎo)率； 2、磁阻H； 3、霍爾系數(shù)RH； 4、熱電能S。v薄膜的電學(xué)性能之所以

2、具有特殊性，主要是由兩個原因所引起： （一）是結(jié)構(gòu)缺陷效應(yīng)，即薄膜在形成時它是由氣相經(jīng)過急劇的相變形成固相的，在這一特殊的過程中引起了結(jié)構(gòu)缺陷（這里所說的結(jié)構(gòu)缺陷除了通常的晶格缺陷、晶格畸變、雜質(zhì)等外，還包括極薄的薄膜所特有的島狀結(jié)構(gòu)）。 （二）是尺寸效應(yīng)，這是由于薄膜的厚度很薄而產(chǎn)生的，這一尺寸效應(yīng)包括經(jīng)典的電子表面散射效應(yīng)和量子尺寸效應(yīng)兩種。v在測量薄膜的電學(xué)性能時，最常用的參變量有膜厚d，溫度t，電場強度E，薄膜的形變等。圖41所示的是一個在測量薄膜電學(xué)性能時電極配置的例子。 v最基本的測量參數(shù)仍然是電阻率或者是由電導(dǎo)率，不少的研究人員已經(jīng)把ln與d、與1/d、ln與1/T、ln與 、與

3、等的關(guān)系畫成了曲線，并據(jù)此進(jìn)行了導(dǎo)電機理的研究。目前正在進(jìn)一步深入地研究H、RH、S與d、T等的關(guān)系。最近有人測量了交流頻率f、磁場H等對薄膜電學(xué)性能的影響，另外還測量了由薄膜產(chǎn)生的電流噪聲等。測量結(jié)果表明，連續(xù)薄膜和不連續(xù)薄膜在結(jié)構(gòu)上是完全不同的。 21E 4.2 連續(xù)薄膜連續(xù)薄膜連續(xù)薄膜的一般特征v連續(xù)薄膜比不連續(xù)的膜厚，用電子顯微鏡觀察可以明確判斷出它是連續(xù)成長了的膜。實際上涉及的是島與島之間物質(zhì)的性質(zhì)或者說是空間的性質(zhì)，而以下要討論的則是薄膜本身物質(zhì)和形狀的影響。v討論的薄膜雖然是連續(xù)的，但各種性能依然受膜厚的影響，這是它的最大特征。在多數(shù)情況下，溫度越低受厚度影響的效果也就越顯著。

4、Chopra等人對Au蒸發(fā)膜和濺射膜所測得的電阻率與膜厚之間的關(guān)系曲線如圖4-8所示。膜厚只要超過500，不管什么膜都可以說是連續(xù)的了。但是，從圖上可以看出，電阻率隨著膜厚的增加在逐漸減少，而且，在數(shù)值上比塊狀材料要大得多。除此之外，這兩者之間的關(guān)系還因薄膜制作條件的不同而不同。 圖4-9是測量Cu膜的霍爾系數(shù)與膜厚之間關(guān)系的一個例子。關(guān)于霍爾系數(shù)隨著膜厚減少而增加的報告已有很多，但是在超高真空中蒸發(fā)的薄膜其膜厚的影響就顯著地減少。另外，還有不少報告指出，霍爾系數(shù)在某一厚度以下時，將現(xiàn)出現(xiàn)一個很小的極大值然后才急劇減少。這一現(xiàn)象的原因目前還不是分清楚。 圖4-10是Cu蒸發(fā)膜在273K溫度下的

5、熱電勢與膜厚的倒數(shù)之間的關(guān)系曲線。由圖可知，薄膜與塊狀材料不同，它明顯的受到膜厚的影響。 作為一個特殊的例子，現(xiàn)在來看一下Bi蒸發(fā)膜的量子尺寸效應(yīng)。Bi電子的德布羅意波波長很長，約為500，所以是典型的半金屬。Ogrin等人求得的Bi膜電阻率與膜厚的關(guān)系如圖4-11所示。雖然在數(shù)據(jù)的可靠性上有些問題，但是，這些數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出振動現(xiàn)象。 在測量薄膜的電性能時，經(jīng)?？梢园l(fā)現(xiàn)性能不穩(wěn)定，即由于時間的影響或溫度的影響使性能發(fā)生了不可逆變化。例如，電阻率隨著時間的增加而減少，在最初的加熱循環(huán)中電阻率因加熱而減少。這些變化情況示于圖4-12中。這種不可逆變化與材料受到放射線照射或金屬受冷加工以后的恢復(fù)現(xiàn)象很類

6、似。 此外，有關(guān)薄膜的特殊現(xiàn)象還有電阻率的溫度系數(shù)也和塊狀的數(shù)值不同，而與膜厚有關(guān)，薄膜的磁阻與磁場有關(guān)，并呈現(xiàn)出振動現(xiàn)象等。 連續(xù)薄膜中的電子傳輸?shù)腟ondheimer理論 v在具有連續(xù)結(jié)構(gòu)的金屬薄膜中，為什么很多電性能如電導(dǎo)率等與塊狀材料不相同呢？它們又為什么與膜厚有關(guān)呢？這些是下面我們要討論的問題。v原因之一是薄膜內(nèi)部的缺陷濃度大大地超過塊狀材料。這的確是其原因之一，可是，如果把電導(dǎo)率等隨膜厚的變化全部歸因于晶格缺陷，那就應(yīng)該能夠說明晶格缺陷濃度隨膜厚的變化情況，而這一點在目前是不可能的。 v薄膜的表面是原子周期性排列中斷的地方，因此，在表面發(fā)生電子散射也就是表面散射這是可以想象的。不少

7、作者就試圖用表面散射效應(yīng)來說明薄膜電性能隨膜厚的變化。在討論表面散射時，首先不考慮電子在此之前與表面之間發(fā)生作用，然后把表面散射的條件進(jìn)一步簡化從而引入鏡面反射系數(shù)的概念。Sondheimer理論為中心，介紹一下連續(xù)薄膜中電子傳輸現(xiàn)象的處理過程。 自由電子論和波耳茲曼的傳輸方程 vSondheimer理論基本上是以自由電子論為前提的。即無限大物體的電導(dǎo)率或電阻率如果用 或 表示時，那么可以使用下述公式： （4.10） 式中， 是電子濃度， 是電子的電荷， 是電子的碰撞弛豫時間， 是電子的質(zhì)量， 是電子的平均自由程， 是電子在費米表面的運動速度。Fmvlnemne221nemlFv 下面簡單地介

8、紹一下波耳茲曼傳輸方程式。這是個帶有普遍性的方程式。在由坐標(biāo)矢量 和速度矢量 所構(gòu)成的相空間中的一點 (r、v)上，由該方程式可以確定出在微小體積元 中所含有的粒子數(shù)f（r，v；t） 的分布函數(shù)。當(dāng)然，我們這里討論的僅限于電子體系。rvdrdvdrdv 在相空間中任意一點附近由體積元dr dv 所包含的電子數(shù)，在正常狀態(tài)下是不隨時間而改變的。能夠改變電子數(shù)的主要原因是外力，也就是外部施加的電磁場以及電子之間的碰撞。如果電子數(shù)不隨外力而變，那就表示這兩種作用互相抵消了。假設(shè)單個電子的運動都服從牛頓運動方程式，那么可用下式來表示電子數(shù)目的不變，即 (4.11) 式中的 和 分別表示有關(guān)r，v的斜率

9、， 表示因碰撞引起的粒子數(shù)變化。 碰撞tffgradBvEmefvgradvr)(rgradvgradtf 在多數(shù)情況下，式（4.11）的右邊可以改寫成另一種形式。如果用 表示達(dá)到完全平衡狀態(tài)時的分布函數(shù)，那么平衡狀態(tài)的偏離就正比于 ；如果分布函數(shù)的變化率比較大且有盡快恢復(fù)平衡狀態(tài)的傾向，用弛豫時間 來表示恢復(fù)到平衡狀態(tài)的時間并認(rèn)為 是一個可以確定的數(shù)值，那么可得 （4.12） 因而式（4.11）可改寫成 （4.13） 0f0ff 0fftf碰撞0)(fffgradBvEmefvgradvr4.2.4 用波耳茲曼方程式計算薄膜的 電導(dǎo)率Sondheimer理論 v為了能在薄膜的情況下求解波耳茲

10、曼方程式，必須有下列的前提和假定條件。首先，因為只是求電導(dǎo)率，所以B應(yīng)該為零。其次，設(shè)膜的厚度為d，垂直于膜面的方向為z軸，在膜面內(nèi)電場的方向為x軸方向，于xZ平面相垂直的為y軸，膜的底下面z0（見圖4-13）。 此時的電子分布函數(shù)f(v,r)，可由在無限大物體中平衡狀態(tài)下的分布函數(shù) 與由于表面和電場而引起的微擾 之和來表示，即 （4.14） 其中， 僅是v的絕對值的函數(shù)。由于 與 的位置無關(guān)，所以式（4.14）還可以寫成 （4.15） 第三點，假定 在 方向上的分量很小，即 上面的假設(shè)意味著在以下的討論中只考慮線性范圍，而把偏離歐姆定律的情況省略了。)(0vf),(1rvf),()(),(1

11、0rvfvfrvf0f1fxy),()(),(10zvfvfzvf1fxvxxvfvf01 上面的假設(shè)意味著在以下的討論中只考慮線性范圍，而把偏離歐姆定律的情況省略了。 在這些前提條件下施加電場E（ ，0，0）時，就可以求解波耳茲曼方程式 （4.16） 不難求出這一方程式的通解為 （4.17） 式中， 是 的任意函數(shù)。xExxzvfmeEfzfv0111)exp()(101zxxvzvvfmeEf)(vv 上式的通解對于塊狀材料也可以適用?，F(xiàn)在來考慮一下薄膜時的 。 設(shè)薄膜的上表面和下底面性質(zhì)相同，那么 對于方向應(yīng)該是對稱的，所以可得下式（參見圖4-14）： )(vf （4.18）將式（4.1

12、8）代入式（4.17）中可得 （4.19）);,();,(11zvvvfzdvvvfzyxzyx)exp()()(zzxvdvvv現(xiàn)在引入薄膜表面對電子的反射問題，其鏡反射系數(shù)（specularity parameter）為p。p的含義是，如果入射到薄膜表面的電子數(shù)為1，其中只有p作了鏡反射（彈性散射），其余的1p是彌散反射（非彈性散射）。 首先考慮入射到z=0面的電子。設(shè)電子速度的絕對值為 ，把在z=0附近處射向表面的入射電子數(shù)和從表面反射出來的反射電子數(shù)分別用分布函數(shù)和p來表示，則有 (4.20) g(v)是表示彌散反射那一部分的量，僅是v的函數(shù)。把式（4.20）改寫成 (4.20) zv

13、)()0 ;,()(010vfpvvvfvfzyx)()0;,(1vgvvvfzyx)0 ;,()()1 ()(10zyxvvvfvfpvg)0 ;,(1zyxvvvpf 由于式(4.20)的左邊只是v的函數(shù)，所以等式右邊的第二項必須是0，得 又由式（4.17），可得 所以 （4.21） 將式（4.19）代入式（4.21）中，可得 (4.22)0 ;,()0 ;,(11zyxzyxvvvpfvvvfxxvfmeE0 xxzyxvfmeEpvvv0),(1),(1zyxvvv),(1),(1zyxzyxvvvpvvv)exp(11),(zzyxvdppvvv 其次，對于入射到z=d面上的電子，由

14、于速度的z分量與z=0時只差一個負(fù)號，所以可用同樣的方法進(jìn)行計算，并得 （4.23） 由式（4.22）和式（4.23），可在 的正負(fù)區(qū)域內(nèi)定出 ，因此， 以 作為參數(shù)也就能確定了。)exp()exp(11,(zzzyxvdvdppvvvzv1fp 為了求出薄膜的電導(dǎo)率 或電阻率 ，只要用 計算出 就行了。 的一般表達(dá)式為 （4.24） 考慮到 相對于 ， ， 是對稱的，故 的積分為0，式（4.24）就變成 （4.25） 利用前面求得的就可以得到，所以這個積分是可以計算的。在實際運算中使用的極坐標(biāo)更為方便。 tf1fxjxjzyxxxdvdvfdvvhmej320fxvyvzv0fvxzyxxx

15、dvdvdvfvhmej132 以上的 是作為z的函數(shù)求得的，可是實際當(dāng)中測量所得的 只是和z有關(guān)的平均值 。也就是說，實際上能夠進(jìn)行測量的量是 （4.26） 把 計算出來，根據(jù) ，就可以得到考慮了表面效應(yīng)的薄膜電導(dǎo)率 或電阻率 。根據(jù)式（4.26）可得 （4.27） 式中， ，s只是單純的積分變量，可以把它看作是由平均自由程所規(guī)定的z坐標(biāo)。 xjxjxjaxxdzzjdj0)(1xjxxfEjf1ff)1 (231pkffhssdspeesks111523hssdspeesks111523 式（4.27）是連續(xù)薄膜的電導(dǎo)率與膜厚之間關(guān)系的最基本的表達(dá)式。圖4-15是以p作為參變量用這一公式進(jìn)

16、行計算時所得到的 和 之間的關(guān)系。這個圖是用計算機計算式（4.27）以后得到的結(jié)果，當(dāng)時 ，可以近似地得到 或 （4.28）ff)( kld0 . 1k)1 (831)1 (831)1 (831)1 (831pdlpkpdlpkff 由于這個式子比較簡單，因而更具有實用性。兩者之間的關(guān)系也示與圖中了。 在多數(shù)情況下都可以認(rèn)為薄膜的 ，但也有的時候薄膜 此時p在不近似等于1的范圍內(nèi)，可以由下式得到相當(dāng)近似的結(jié)果 (4.29)1k1kkppk1ln11434.2.5 有磁場時的電導(dǎo)v現(xiàn)在把4.2.4中敘述的理論進(jìn)一步擴展到有磁場垂直加在薄膜表面時的情況，并導(dǎo)出薄膜的電導(dǎo)率與磁場中間的關(guān)系以及霍爾系

17、數(shù)與膜厚之間的關(guān)系。 假定B（0，0，B）是薄膜內(nèi)部的磁力線密度， 是電場強度（如果外部電場加在x方向，B是z方向，那么電場在z方向就不存在分量）。再用 表示電流。在上述條件下，Sondheimer用復(fù)數(shù)來表示電場和電流，巧妙地推導(dǎo)出了與4.2.4中形式類似的方程式。詳細(xì)的推導(dǎo)相當(dāng)繁雜，這里我們只介紹大致的經(jīng)過。 )0 ,(yxEEE)0 ,(yxjjj 首先，和上節(jié)同樣地對 進(jìn)行定義，那么基本的玻爾茲曼方程可寫成 (4.30) 把式中的 只看成是對 的微小偏離，即 （4.31） 其中， 是 的函數(shù)，在形式上與 無關(guān)。將式（4.31）代入式（4.30）中并引入復(fù)數(shù)：1fyxxyzzzvfvvf

18、vmveBvff1111yyxxxvfEvfEmve001f0fvfcvcvfyx0211)(21cc、zvvz、yxvv 、21iccgyxiEEE 則式（4.30）可寫成 （4.32） 上式的通解為 （4.33） 式中，F(xiàn)是v， 的任意函數(shù)。如果能確定F，那么就能根據(jù)式（4.33）確定 ， 的通解也就能求出了。 EmvvegmveBivgzgzzz)1 (mieBmvEegzzvzmeBvvF)1 (exp),(1zv21cc、1f 為了確定任意函數(shù)F，設(shè)邊界條件和前節(jié)的一樣，那么電流密度的各成分可由下式計算，即 （4.34） 腳標(biāo)x、y分別表示在該方向的成分。如果用復(fù)數(shù)來表示復(fù)數(shù)電流密度

19、 、復(fù)數(shù)電導(dǎo)率 ，即 （4.35）dyxyxyxyxdzzjdjdvfvhmej0,1,3,)(12jfEJj ijjfyx 則根據(jù)式（4.33）、式（4.34）、（4.35）就可以計算 ，得 （4.36） 式中 其中， ， ， 。f)(skfsdspeetstpsss33523111)1 (231)(iksrdeBvmr 設(shè)由 和 合成的電場方向（其大為 ）與的夾角為 ，則實際的電導(dǎo)率 可由下式求得，即 這是當(dāng) 時，由式（4.36）求得的實數(shù)部分。因此，還可以寫成 （4.37） 式（4.37）就是當(dāng)磁場存在時表示電導(dǎo)率的方程式。 xEyE22yxEEf2222cosyxxxyxxfEEEjE

20、Ej0yj)(Reskf 因為磁場是垂直加在膜面上的，所以根據(jù)霍爾效應(yīng)將產(chǎn)生霍爾電動勢。 設(shè)薄膜的霍爾系數(shù)為RH，則 （4.38） 由于在正常狀態(tài)下 ，所以 （4.39）就得上式就是表示薄膜霍爾系數(shù)的方程式。 值得注意的是，電導(dǎo)率和霍爾系數(shù)都是用一個函數(shù)（s）表示的。 )Re()Im(JBEBJERxyH0yjneRH1 、RH/R分別和 及k的函數(shù)關(guān)系示于圖4-17和圖4-18上， 在 較大時呈現(xiàn)出振動現(xiàn)象。這種振動現(xiàn)象也被稱作桑德海默振動（Sondheimers osciliation）。f/f/這一振動出現(xiàn)在 的時候。在1時，即 時，如果d100108 m，而對于象Cu這一類材料來說，

21、，則B應(yīng)大約為108N ，這相當(dāng)于107Oe的強磁場。因此，以目前的技術(shù)水平來看，要觀察到這一振動現(xiàn)象還是非常困難的。11/mvdeBrd124102smkgmv11mA 霍爾系數(shù)沒有震動現(xiàn)象，但它的特點是隨著厚度的不同變化得很激烈。當(dāng)k在0.1以下時，也就是說當(dāng)膜厚在50以下時，霍爾系數(shù)約是塊狀的兩倍，但是，要得到這樣薄的均勻的薄膜也是非常困難的。 4.2.6 考慮了晶界電子散射的 Mayadas-Shatzkes理論 vSondheimer的理論是以 作為參變量給出薄膜的電導(dǎo)率于膜厚之間關(guān)系的。它能很好地定性說明薄膜電導(dǎo)率的變化，但是定量說明是不夠滿意的。、lpvMayadas和Shatz

22、kes認(rèn)為，有些薄膜的結(jié)構(gòu)是柱狀結(jié)構(gòu)，微小的柱狀結(jié)晶垂直于基片表面而立，這些一個個的柱狀結(jié)晶都是單晶體，而且柱狀晶粒底面的平均尺寸大體上與膜厚相當(dāng)，它將隨著膜厚的增加而變大。因此，他們認(rèn)為這些柱狀晶粒的邊界將大大影響著電子散射，并據(jù)此推導(dǎo)出薄膜電導(dǎo)率的公式。下面介紹他們的理論。 普通的塊狀物質(zhì)其晶粒尺寸遠(yuǎn)比電子的平均自由程大，因此，晶粒邊界的散射對于電導(dǎo)來說并不重要。而在薄膜的情況下，晶粒的大小與平均自由程差不多或者比它更小，因此，認(rèn)為晶粒邊界散射是薄膜內(nèi)部電子散射的主要原因并不是沒有道理的。我們假設(shè)薄膜具有柱狀結(jié)構(gòu)，并且柱狀晶粒與膜面垂直，那么就可以把晶粒邊界對膜內(nèi)運動電子所構(gòu)成的勢壘看成是

23、一種一維排列的模型。為了簡單起見，可以用函數(shù)來表示這個勢壘，而且，各個勢壘的強度相同都是S。 如果電子的前進(jìn)方向是x軸向，那么N個晶粒邊界的勢壘就可以用 來表示，其中，n1，2。N， 是晶粒邊界的位置（參見圖4-19）。 服從高斯分布函數(shù) 可以表示為： （4.40） 式中，d是晶體的平均尺寸，并認(rèn)為它等于膜厚。 是標(biāo)準(zhǔn)偏差， 是膜的全長。)(nxxSnxnx),.,(21Nxxxg),.,(21Nxxxg2/ )1(20201121)2(2)(expNxNiiisLsdxx0sxL 表示電子狀態(tài)的分布函數(shù) 滿足式（4.13）。在這個公式中僅僅是的函數(shù)，而且B0，所以式（4.13）可以近似地寫成

24、 （4.41） 式中，k是電子的波矢量， 是由于晶粒邊界以外的散射所引起的馳豫時間， 是表示由于晶粒邊界散射而引起電子密度變化的比率。根據(jù)Mayads-Shatzkes的理論， 可以寫成 （4.42）);,(tvrf)(00kDffvfmeE)(kD)(kDkdkkkkPkD)()(),()( 式中， 是k狀態(tài)的電子遷移到k狀態(tài)的幾率，它是對行列元素的自乘 進(jìn)行了加權(quán)平均以后計算出來的量；另外， 。在省略一些計算過程后把因晶粒邊界引起的勢壘 看作擾動，把波動函數(shù)看作平面波求出 ，再確定出f以后就可以計算出電導(dǎo)率 ，結(jié)果為 （4.43） 式中的 ； 是晶粒無窮大時電子的平均自由程；a是晶粒邊界的

25、平均間隔，實際上取其和膜厚相同的數(shù)值；R與晶粒邊界上電子的反射系數(shù)S有關(guān)。),(kkP2kVk0ff nnxxSV)()(kDg)11ln(2131332aaaag)1/()/(RRalal 是考慮了晶粒邊界散射及其它各向同性散射的電導(dǎo)率，但它不包含薄膜的表面散射效應(yīng)。把 作為塊狀材料的電導(dǎo)率，用和Sondheimer理論相同的邊界條件來計算薄膜的電導(dǎo)率 時，可得 （4.44） 為膜厚ggf)1 (6Pkgf2/0),(),,(costtHKttHKpeetttHdtd212)11 (cos1),(tatHdldk 上面是既考慮了表面散射又考慮了晶粒邊界散射的電導(dǎo)理論

26、。圖4-20給出了膜的電導(dǎo)率（電阻率）隨著不同的鏡面反射系數(shù)p與晶粒邊界反射系數(shù)R的綜合變化情況。這個理論和Sondheimer理論相比，由于加入了晶粒邊界反射系數(shù)作為參數(shù)而變得復(fù)雜了，但是由于參數(shù)的增加同時也增加了自由度，故使得理論與實驗結(jié)果比較容易相符。Kawazu等人測得的由外延生長的Bi薄膜的膜厚與電導(dǎo)率之間的關(guān)系用Sondheimer理論是無法說明在p0.6，R0.12時所測得的實驗曲線與理論曲線相當(dāng)吻合。 有報告指出，當(dāng)蒸發(fā)的厚度和傳導(dǎo)電子的德布羅意波波長相接近時，電子垂直于膜面方向運動的能級就會變成離散狀態(tài)，并出現(xiàn)薄膜所固有的量子尺寸效應(yīng)（quantum size effect；

27、以下寫作QSE）。本節(jié)主要介紹Sandomirskii的有關(guān)薄膜電導(dǎo)的QSE理論，以及到目前為止各種文獻(xiàn)所報導(dǎo)過的實驗結(jié)果的概況。4.2.7 量子尺寸效應(yīng)和電導(dǎo)量子尺寸效應(yīng)和電導(dǎo)v從費米能量附近傳導(dǎo)電子的近似計算可知，一價貴金屬的德布羅意波波長是數(shù)左右，而對于Bi之類的半金屬則可以達(dá)到100左右的數(shù)量級。要制作只有數(shù)厚度的均勻的薄膜，在技術(shù)上幾乎是不可能的，可是對于數(shù)百左右的薄膜在某種程度上則是可能的。因此，對于Bi來說比較容易觀察到QSE。現(xiàn)在所得到的實驗結(jié)果也幾乎都是Bi膜的。 塊狀Bi的能帶結(jié)構(gòu)象圖4-21所示的那樣，它是重疊的。當(dāng)取垂直于膜面的軸為z軸，取膜面于xy面平行，薄膜的厚、寬

28、、長分別用 表示，薄膜中的電子勢壘用長方體箱形勢壘表示時，電子的波函數(shù)和能量可以寫成下式：yxLLd、 （4.45） （4.46）式中 1，2，3； 1，2,3，； 為電子質(zhì)量。 )(expsin22/1,ykxkidzpLdLvxyxkkpyxnyxnkkpmkkhpWyx2)(2222,2222dmhnnyxyxyxpLk,2pyxp,nm 也就是說對于確定的 電子的能量是一個離散的數(shù)值，能帶被亞能帶所分開。當(dāng)d值較小是，兩能帶的重疊部分逐漸消失，而產(chǎn)生了禁帶（參見圖4-21）。 利用式（4.46）并考慮到z方向的晶格數(shù)較少，那么按通常的方法計算狀態(tài)密度S（W）dW時， 可得 （4.47）

29、 式中， ，方括號 表示其中數(shù)值的整數(shù)部分。圖4-22給出了S(W)與W之間的關(guān)系。QSE的特征之一是S為階梯狀函數(shù) 。 dEeWmVdWWSnnn2/12/12/322)2(4)(dLLVyx 設(shè)為電子密度，則得 式中，f是費米函數(shù)。當(dāng)溫度足夠低時，這一積分可通過求圖4-22中陰影部分的面積來求得。因此，設(shè)n為電子的費米能量時，則得nndWWfWSn)()(2 （4.48）對于正空穴也可以使用與上述同樣的表達(dá)式。如果用腳標(biāo)p表示正空穴，根據(jù)電中性條件 ，可得 （能帶的重合）) 12)(1(6123nnnnnnMMMdnnnnMpnnn ppnnpn 所以 如果設(shè)能帶重合開始消失時的厚度為 ，

30、則有 由式（4.46）可得 （4.49） 實際上是由于QSE使半金屬向半導(dǎo)體發(fā)生轉(zhuǎn)移的臨界膜厚。pnpnmmmpnnpmmmqd)()(qpqnddMdq2pnmmM111qd 上面已求得電子密度。其次，看一下馳豫時間 的計算。 是波矢量k的函數(shù)，為了計算方便起見，我們暫且把它看成是常數(shù)。設(shè)f與位置無關(guān)，把含有電子分布函數(shù)的式（4.16）變換成能量 的微分，可得 （4.50） 另外，把表示電子與固體相互作用的哈密頓算子令為 ，按式（4.11）的方法考慮，可得 （4.51） 這一項是在碰撞之后被保存下來的能量，它表示 不會為零。hhxxfkEmeff00HhnhhlkfkfkHktf)(2)()

31、(2)(hhltf / 根據(jù)式（4.50），馳豫時間的近似范圍是 （4.52） 把式（4.52）、式（4.50）分別代入到式（4.51）的左右兩邊，并忽略 的各向異性，則得 （4.53） 與 的形狀有關(guān)，如果只考慮雜質(zhì)散射的影響，就變成 （4.54） 式中，U是與雜質(zhì)和電子相互作用有關(guān)的常數(shù)， 是雜質(zhì)濃度。 ehxxfmEketfff00hxhlhxxkHkkk)(2)1 (21H)21(132ninMdnmU1n 當(dāng)確定了 和 以后，根據(jù) 就可以計算出電導(dǎo)率。圖4-23給出了按此計算所得的 與 之間的關(guān)系。由圖可以看出，量子尺寸效應(yīng)的最大特點就是呈現(xiàn)振動現(xiàn)象。nnnnfmen/2d4.2.8

32、熱電能熱電能v在研究物質(zhì)電子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，測定熱電能可以為我們提供一種有益的數(shù)據(jù)。 首先，為簡單起見讓我們只考慮一維的情況。當(dāng)物質(zhì)中溫度的分布只存在于x方向上時，電子的分布將是不均勻的。因此，在物質(zhì)中就要產(chǎn)生電場F，F(xiàn)可由下式給出，即 （4.55） 式中， 是絕對熱電能中電子擴散的部分。實際在絕對熱電能中還含有聲子陷阱的成分，它是因聲子受電子的拖曳而成了流動熱電能中的一部分。由于這一成分僅在低溫時的半導(dǎo)體材料中比較明顯，而在金屬材料中很小，故在本節(jié)的討論中不考慮聲子陷阱的成分。 dxdTSFBBS 在有溫度分布的條件下求解自由電子的玻爾茲曼方程時，可得 （4.56） 式中， 是電子的能量， 是

33、費米能量， 是平均自由程， 是動量空間中對應(yīng)于的等能量面 的面積。)(322VUWTekSFBFWWdWWldU)(lnFWWWdWAdVln)(lnWFW)(Wl)(WAW 這個公式可適用于薄膜。當(dāng)表面電子散射效應(yīng)比其他散射大的多時，按照式（4.28），薄膜的絕對熱電能 與塊狀時的熱電能 之間的差 可以近似地寫成 （4.57） 由此可見，薄膜的熱電能是與膜厚程反比例的。FSBSFSdpUleWTkSFF)1 (822v薄膜熱電能的測量對于薄膜電子結(jié)構(gòu)的研究是及其重要的，但是，要進(jìn)行深入的討論還缺少可掌握的實驗結(jié)果。目前所得到的數(shù)據(jù)分散性較大，各研究者之間的數(shù)據(jù)也并不一致。4.4 不連續(xù)薄膜不

34、連續(xù)薄膜v不連續(xù)金屬膜一般是指厚度為幾十埃完全由孤立小島形成的薄膜。這種薄膜在實際應(yīng)用中很少能遇到。在實際應(yīng)用中經(jīng)常制造的是金屬和介質(zhì)相互混合的金屬陶瓷（Ceramet）薄膜，例如Cr-SiO薄膜。兩者之間的差異在于前者的兩個孤立小島之間為空氣隙，后者的兩個金屬顆粒之間為介質(zhì)層，但它們的導(dǎo)電機理相類似。v薄膜在形成連續(xù)薄膜之前，其形成過程可分成若干個階段。它是由完全孤立的小島所構(gòu)成，島與島之間的間隔很小，島的形狀也比較單一。對于島狀結(jié)構(gòu)的不連續(xù)的薄膜，只是測量了它們的電阻或電阻率特性。下面介紹的就是在這方面的測量結(jié)果。 v Au蒸發(fā)膜（其質(zhì)量膜厚為10100）的方塊電阻與膜厚的變化如圖4-2所

35、示。圖中所用的方塊電阻是指對一個正方形的薄膜沿著邊長的方向所測得的電阻。由圖可以容易的推定出電阻率隨膜厚變化的情況。電阻率隨著膜厚的減少異常迅速地增加，其最大值可達(dá)塊狀材料的 倍之多。在膜厚為70附近處可以觀察到阻值的躍變，這說明了這一膜厚的結(jié)構(gòu)由不連續(xù)變到連續(xù)的分界點。由圖的右上角所示的分界點附近的情況可見，連續(xù)薄膜具有金屬的溫度特性，而不連續(xù)薄膜則具有半導(dǎo)體的溫度特性。 1310vNeugebauer和Webb詳細(xì)地研究了Pt蒸發(fā)膜的電阻溫度關(guān)系。他們所得到的結(jié)果如圖4-3（a）所示。圖中越往上的直線薄膜越厚。測量結(jié)果表明，在溫度為250K到300K的范圍內(nèi)，ln和1/T之間有著良好的線性

36、關(guān)系。這一結(jié)果暗示著薄膜的導(dǎo)電機理與熱激活過成所決定，那么從圖中各直線的斜率就可以求得激活能，所得結(jié)果已標(biāo)記在圖中各直線上。膜厚越薄亦即小島的尺寸越小，激活能的數(shù)值就越大。但是，與塊狀Pt的功函數(shù)數(shù)值（約為5eV）相比，它們幾乎小了一個數(shù)量級。 v圖4-3（b）中給出的是Ni蒸發(fā)膜的電導(dǎo)率隨E的變化并不顯著，可是在低溫時是很明顯的。ln與 之間的關(guān)系不像ln與1/T之間的關(guān)系那樣有著良好的線性，不過當(dāng)E達(dá)到某個數(shù)值以上時，可近似看作是直線變化。這說明此時的電導(dǎo)具有肖特基效應(yīng)。 21Ev上面列舉了不少連續(xù)薄膜的電阻以及電導(dǎo)的一些特性。在這類薄膜的物理性能研究中，電性能的測量往往得不到具有良好再現(xiàn)

37、性的定量結(jié)果。這是因為它受到薄膜材料、制作條件等的影響，所以很難列出各種電性能的確切數(shù)據(jù)。不過從定性的角度來看可以明確以下幾點：v不連續(xù)金屬薄膜導(dǎo)電性質(zhì)的特點不連續(xù)金屬薄膜導(dǎo)電性質(zhì)的特點： 1、電阻率F非常大； 2、電阻率溫度系數(shù)F為負(fù)值； 3、在低電場呈現(xiàn)歐姆性質(zhì)導(dǎo)電，在高電場時呈現(xiàn)非歐姆 性質(zhì)導(dǎo)電； 4、導(dǎo)電電子激活能較大，隨膜厚的減少激活能上升； 5、電阻應(yīng)變系數(shù)較大； 6、薄膜沉積的時間變化大； 7、因吸附各種氣體，電阻率隨溫度有可逆和不可逆變化； 8、在高電場下有電子發(fā)射和光發(fā)射現(xiàn)象； 9、電流噪音較大，大多數(shù)呈現(xiàn)1/f特性。 v為了說明薄膜電阻的這些特殊性質(zhì)，已提出了幾種不同的導(dǎo)電機理的理論，其中以熱電子發(fā)射過程和熱激活隧道過程為最基本而且又最為重要。下面將分別說明這兩種過程。 4.1.2 熱電子發(fā)射過程（熱電子發(fā)射過程（thermionic emission process）v我們知道，金屬內(nèi)部有大量的自由電子，自由電子在離子間不停地?zé)o規(guī)則熱運動。當(dāng)電子趨近金屬表面時，受到正離子向內(nèi)地拉力急劇增大，好像金屬表面對電子形成了一道壁壘。通常情況下，自由電子能量較少，無法越過這個壁壘，僅僅局限在金屬內(nèi)部自由運動。如果設(shè)法增加自由電子地能