最新高中數(shù)學(xué)-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)總教案4.1平面向量的概念及線性運(yùn)算

1、第四章平面向量高考導(dǎo)航考試要求重難點(diǎn)擊命題展望1.平面向量的實(shí)際背景及基本概念(1)了解向量的實(shí)際背景；(2)理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義；(3)理解向量的幾何表示.2.向量的線性運(yùn)算(1)掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；(2)掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義；(3)了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.3.平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示(1)了解平面向量的基本定理及其意義；(2)掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；(3)會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；(4)理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.4.平面向量的數(shù)量積(1)理解平面向量數(shù)量

2、積的含義及其物理意義；(2)了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；(3)掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；(4)能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.向量的應(yīng)用(1)會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題； (2)會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題及其他一些實(shí)際問(wèn)題.本章重點(diǎn)：1.向量的各種運(yùn)算；2.向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)形結(jié)合的思想；3.向量的數(shù)量積在證明有關(guān)向量相等、兩向量垂直、投影、夾角等問(wèn)題中的應(yīng)用.本章難點(diǎn)：1.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算在證明向量垂直和平行問(wèn)題中的應(yīng)用；2.向量的夾角公式和距離公式在求解平面上兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離中的應(yīng)

3、用.向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景，同時(shí)又是數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的典范，正是由于向量既具有幾何形式又具有代數(shù)形式的“雙重身份”，所以它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn).在高考中，不僅注重考查向量本身的基礎(chǔ)知識(shí)和方法，而且常與解析幾何、三角函數(shù)、數(shù)列等一起進(jìn)行綜合考查.在考試要求的層次上更加突出向量的實(shí)際背景、幾何意義、運(yùn)算功能和應(yīng)用價(jià)值.來(lái)源:知識(shí)網(wǎng)絡(luò)4.1平面向量的概念及線性運(yùn)算典例精析題型一向量的有關(guān)概念【例1】 下列命題：向量的長(zhǎng)度與的長(zhǎng)度相等；向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；兩個(gè)有共同起點(diǎn)的單位向量，其終點(diǎn)

4、必相同；向量與向量是共線向量，則a、b、c、d必在同一直線上.其中真命題的序號(hào)是.【解析】對(duì)；零向量與任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故錯(cuò)；顯然錯(cuò)；與是共線向量，則a、b、c、d可在同一直線上，也可共面但不在同一直線上，故錯(cuò).故是真命題的只有.【點(diǎn)撥】正確理解向量的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵，注意到特殊情況，否定某個(gè)命題只要舉出一個(gè)反例即可.【變式訓(xùn)練1】下列各式：|a|；(ab) ca (bc)；在任意四邊形abcd中，m為ad的中點(diǎn)，n為bc的中點(diǎn)，則2；a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且a與b不共線，則(ab)(ab).其中正確的個(gè)數(shù)為() a.1b.2c.3d

5、.4【解析】選d.| a|正確；(ab) ca (bc)； 正確；如下圖所示，=+且=+，兩式相加可得2，即命題正確；因?yàn)閍，b不共線，且|a|b|1，所以ab，ab為菱形的兩條對(duì)角線，即得(ab)(ab).所以命題正確.題型二與向量線性運(yùn)算有關(guān)的問(wèn)題【例2】如圖，abcd是平行四邊形，ac、bd交于點(diǎn)o，點(diǎn)m在線段do上，且=，點(diǎn)n在線段oc上,且=,設(shè)=a, =b,試用a、b表示，.【解析】在abcd中，ac，bd交于點(diǎn)o，所以()(ab)，()(ab).來(lái)源:又， ，所以bb×(ab)ab，×(ab)(ab). 所以(ab)(ab)ab.【點(diǎn)撥】向量的線性運(yùn)算的一個(gè)重

6、要作用就是可以將平面內(nèi)任一向量由平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量表示，即平面向量基本定理的應(yīng)用，在運(yùn)用向量解決問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常需要進(jìn)行這樣的變形.【變式訓(xùn)練2】o是平面上一點(diǎn)，a、b、c是平面上不共線的三點(diǎn)，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)p滿足()，若時(shí)，則()的值為.【解析】由已知得()，即()，當(dāng)時(shí)，得()，所以2，即，所以，所以0，所以 ()00，故填0.題型三向量共線問(wèn)題【例3】 設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.(1)若ab， 2a8b， 3(ab)，求證：a，b，d三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線.【解析】(1)證明：因?yàn)閍b， 2a8b， 3(ab)，所以2a8b3(ab)5(ab)5，所以， 共線

7、.又因?yàn)樗鼈冇泄颤c(diǎn)b，所以a，b，d三點(diǎn)共線.(2)因?yàn)閗ab和akb共線，所以存在實(shí)數(shù)，使kab(akb)，所以(k)a(k1)b.因?yàn)閍與b是不共線的兩個(gè)非零向量，所以kk10，所以k210，所以k±1.【點(diǎn)撥】(1)向量共線的充要條件中，要注意當(dāng)兩向量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想.(2)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.【變式訓(xùn)練3】已知o是正三角形bac內(nèi)部一點(diǎn)，+2+3=0，則oac的面積與oab的面積之比是（）a.b.c.2d.【解析】如圖，在三角形abc中， 230，整理可得2()0.令三角形abc中ac邊的中點(diǎn)為e，bc邊的中點(diǎn)為f，則點(diǎn)o在點(diǎn)f與點(diǎn)e連線的處，即oe2of.設(shè)三角形abc中ab邊上的高為h，則soacsoaesoecoe ()oe·h，soababhab·h，由于ab2ef，oeef，所以ab3oe，所以.故選b.總結(jié)提高1.向量共線也稱向量平行，它與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線(即重合)的情形，而向量平行則包括共線(即重合)的情形.2.判斷兩非零向量是否平行，實(shí)際上就是找出一個(gè)實(shí)數(shù)，使這個(gè)實(shí)數(shù)