【步步高】2014屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義第6章數(shù)列的通項(xiàng)與求和學(xué)案蘇教版

1、學(xué)案 30數(shù)列的通項(xiàng)與求和導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1. 能利用等差、等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式及其性質(zhì)求一些特殊數(shù)列的和.2.能在具體的問(wèn)題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題自主梳理1求數(shù)列的通項(xiàng)(1) 數(shù)列前 n 項(xiàng)和 Sn 與通項(xiàng) an 的關(guān)系：S ，n 1，an1nn 1n2.SS ，(2) 當(dāng)已知數(shù)列 n 中，滿足an 1an(n) ，且f(1)(2) f( ) 可求，則可用affn_求數(shù)列的通項(xiàng)an，常利用恒等式an a1 ( a2 a1) ( a3 a2) ( an an 1) an 1(3) 當(dāng)已知數(shù)列 an 中，滿足 an f ( n) ，且 f (1) 

2、3; f (2) ·· f ( n) 可求，則可用 _an，常利用恒等式23n求數(shù)列的通項(xiàng)an a1· a· a ·· a.a1a2an 1(4) 作新數(shù)列法：對(duì)由遞推公式給出的數(shù)列，經(jīng)過(guò)變形后化歸成等差數(shù)列或等比數(shù)列來(lái)求通項(xiàng)(5) 歸納、猜想、證明法2求數(shù)列的前n 項(xiàng)的和(1) 公式法等差數(shù)列前n 項(xiàng)和 Sn _ _ ，推導(dǎo)方法：_ ；等比數(shù)列前n 項(xiàng)和 Sn， q 1， q1.推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法常見(jiàn)數(shù)列的前n 項(xiàng)和：a 12 3 n _；b 24 6 2n _；c 13 5 (2 n 1) _；d 12 2232 n2

3、_；e 13 2333 n3 _.(2) 分組求和：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列(3) 拆項(xiàng)相消：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過(guò)程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式有：111 nnn n 1；1111n22n 12n 1 ；n1 1n.nn 1n(4) 錯(cuò)位相減：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和(5) 倒序相加：例如，等差數(shù)列前n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)自我檢測(cè)1 ( 原創(chuàng)題 ) 已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)的乘積為Tn 3n2( n N* ) ，則數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)的和為_(kāi)12設(shè) an 是公比為q 的等比數(shù)列， Sn 是其前 n 項(xiàng)和，

4、若 Sn 是等差數(shù)列， 則 q _.3已知等比數(shù)列 an 的公比為4，且 a1a2 20，故 bn log 2an，則 b2 b4b6 b2n _.4(2010 ·天津高三十校聯(lián)考n 1*) 已知數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 an log 2( nN ) ，設(shè) ann 2的前n項(xiàng)的和為n，則使n< 5 成立的自然數(shù)n的最小值為 _SS2*5(2010 ·北京海淀期末練習(xí)數(shù)為) 設(shè)關(guān)于 x 的不等式 x x<2nx ( n N ) 的解集中整數(shù)的個(gè)n，數(shù)列 n 的前n項(xiàng)和為n，則100 的值為 _aaSS6數(shù)列 1,41，71， 101，前 10項(xiàng)的和為 _248探究點(diǎn)

5、一求通項(xiàng)公式2n1· an例 1已知數(shù)列 an 滿足 an1 an 2n1， a1 2，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式變式遷移 1設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，已知 a1 1， Sn 1 4an2.(1) 設(shè) bn an1 2an，證明數(shù)列 bn 是等比數(shù)列；(2) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式探究點(diǎn)二裂項(xiàng)相消法求和例 2已知數(shù)列 a ， S 是其前 n 項(xiàng)和，且a 7S 2( n2) ， a 2.nnnn 11(1) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；1m*都成立(2) 設(shè) bn log 2 n·log 2n 1，Tn 是數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和，求使得 Tn<20對(duì)所有

6、nNaa的最小正整數(shù)m.111變式遷移 2求數(shù)列 1，1 2， 12 3， 1 23 n，的前 n 項(xiàng)和探究點(diǎn)三錯(cuò)位相減法求和例 3nnn4n*已知數(shù)列 a 是首項(xiàng)、公比都為q ( q>0 且 q1) 的等比數(shù)列， b a loga( n N ) (1) 當(dāng) q 5 時(shí)，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Sn；14(2) 當(dāng) q 15時(shí)，若 bn<bn1，求 n 的最小值2123n變式遷移 3求和 Sn a a2 a3 an.分類討論思想例 (5 分 ) 二次函數(shù) f ( x) x2 x，當(dāng) xn，n 1( n N* ) 時(shí)， f ( x) 的函數(shù)值中所有整2n3 3n2*n 1數(shù)值的

7、個(gè)數(shù)為g( n) ， an g n( n N ) ，則 Sn a1 a2 a3 a4 ( 1)an _.答案( 1) n 1nn2n N* ) 時(shí)，函數(shù) f ( x) x2 x 的值隨 x 的增大而增大，則解析當(dāng) xn，n 1(f ( x)22*233 22nn的值域?yàn)?n n， n 3n 2(nN ) ， g( n) 2n 3( n N ) ，于是 an gn n .當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， Sn a1a2 a3 a4n2 3 7 (2 n 1) 3n 2an1 an (1 2 22) (3 2 42) ( n 1) 2nn n· 22；當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， Sn ( a1 a2) ( a

8、3 a4) ( an2 an1 ) an Sn1 ann n n2 nn，22n( 1)n 1nn. S2【突破思維障礙】在利用并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和時(shí)， 由于數(shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的， 所以一般需要對(duì)項(xiàng)數(shù) n 進(jìn)行分類討論，但最終的結(jié)果卻往往可以用一個(gè)公式來(lái)表示1求數(shù)列的通項(xiàng)：(1) 公式法：例如等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)；(2) 觀察法：例如由數(shù)列的前幾項(xiàng)來(lái)求通項(xiàng)；(3) 可化歸為使用累加法、累積法；(4) 可化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后利用公式法；(5) 求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后歸納、猜想、證明2數(shù)列求和的方法：一般的數(shù)列求和，應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，先求通項(xiàng)，然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)

9、或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式，從而選擇合適的方法求和3求和時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題：(1) 直接用公式求和時(shí)，注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過(guò)程(2) 注意觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律，在分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和( 滿分： 90 分)一、填空題 ( 每小題 6 分，共 48 分)1(2010 ·廣東 ) 已知數(shù)列 an 為等比數(shù)列，Sn 是它的前 n 項(xiàng)和，若a2· a32a1 且 a4 與32a7 的等差中項(xiàng)為5，則 S5 _.42有兩個(gè)等差數(shù)列 n ，bn ，其前n項(xiàng)和分別為n， n，若Sn7n2a5，則 _.aSTTnn3b53如果數(shù)列 an 滿足

10、 a1 2，a21且 an1nnn1( n2) ，則此數(shù)列的第10 項(xiàng)為 a a aa an 1a ann n 1_4數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和為 S ，若 a n1，則 S5 _.nnnn5(2011 ·南京模擬 ) 數(shù)列1,1 2,1 24， 1 2 22 2n 1，的前n 項(xiàng)和S >1 020 ，那么 n 的最小值是 _n) 數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和為 S 且 a1 1，a 13S ( n6(2010 ·東北師大附中高三月考S _.nnnn1,2,3 ， ) ，則 log4107 ( 原創(chuàng)題 ) 已知數(shù)列 an 滿足 a11， a2 2， an2126 項(xiàng)的和為a

11、，則該數(shù)列前n_ a 為數(shù)列 a 的“差數(shù)列”，若a 2， a 的“差8對(duì)于數(shù)列 a ，定義數(shù)列 ann 1nn1n數(shù)列”的通項(xiàng)為n的前 n 項(xiàng)和 S _.2 ，則數(shù)列 a nn二、解答題 ( 共 42 分)2 2(25 7(N*) 9 (12 分 ) 已知函數(shù)f(x) x1)xn(1)nnn若函數(shù) f ( x) 的圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列 a ，試證明數(shù)列 a 是等差數(shù)列；nn(2)設(shè)函數(shù)f(x) 的圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離構(gòu)成數(shù)列bn ，試求數(shù)列 n 的前n項(xiàng)和n.bS1*10 (14 分) 設(shè)等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 Sn 2nan an c( c 是常數(shù)， n N )

12、 ，a26.(1) 求 c 的值及數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(2) 證明1111a aa aa a< .2812 3n n 111 (16 分)(2010 ·北京宣武高三期中) 已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn 3n，數(shù)列 bn 滿足 b1 1， bn 1 bn (2 n 1) ( n N* ) (1) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 an；(2) 求數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式 bn；an· bn(3) 若 cn，求數(shù)列 cn 的前 n 項(xiàng)和 Tn. n答案自主梳理1 (4) n 1 或 n2自我檢測(cè)4391 222. 23.154.8 5. 19課堂活動(dòng)區(qū)例 1解題導(dǎo)引

13、1.等差數(shù)列與等比數(shù)列相結(jié)合的綜合問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)，特別是等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和公式以及等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)問(wèn)題是歷年命題的熱點(diǎn)2利用等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式時(shí)注意公比q 的取值同時(shí)對(duì)兩種數(shù)列的性質(zhì)，要熟悉它們的推導(dǎo)過(guò)程， 利用好性質(zhì)， 可降低題目的思維難度，解題時(shí)有時(shí)還需利用條件聯(lián)立方程求解a a a 7123解 (1)由已知得a1 a3，解得 a 2. 3a222設(shè)數(shù)列 an 的公比為 q，由 a22，22可得 a q， a 2q. 又 S 7，可知 q 2 2q 7，13321即 2q 5q 2 0.解得 q 2，q 2.12由題意得 q>1， q 2， a1 1.

14、n1故數(shù)列 an 的通項(xiàng)為an 2.(2) 由 (1) 得 a3n1 23n， n lna3n 1 ln 23n 3 ln 2.bn又 bn1 bn 3ln 2 ，bn 是等差數(shù)列， Tn b1b2 bnnb bn3nn1·ln 2.223nnln 2.故 Tn2變式遷移 14解析設(shè) a1，a2，a3，a4 的公差為 d，則 a1 2d 4，又 0<a1<2，所以 1<d<2. 易知數(shù)列 bn是等比數(shù)列，故(1)正確；aa(2,3)，所以b 2>4，故 (2) 正確；aa >5，所232243以 b4 2a4>32，故 (3)正確；又 a2

15、a4 2a3 8，所以 b2b4 2a2a4 28 256，故 (4) 正確例 2解題導(dǎo)引這是一道數(shù)列、函數(shù)、不等式的綜合題，利用函數(shù)關(guān)系式求通項(xiàng)a ，n觀察n 特點(diǎn)，求出n. 由 n 再求bn 從而求n，最后利用不等式知識(shí)求出.TTaSm21 32 3an2an解(1) an1 f an33 an 3，an2an 是以 3為公差的等差數(shù)列2 1又 a1 1， an 3n3.(2) Tn a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a2na2n 1 a2( a1 a3) a4( a3 a5) a2n( a2n 1 a2n 1)5 4n 14242n4n 3 3 3 3( a a a) 3·

16、;242) (2n 39n5(3) 當(dāng) n2時(shí)， bn12 11n 1n2 1aa3n33n 3911 2 2n1 2n 1 ，9 1又 b1 3 × 1 ， Sn b1b2 bn2 3111119× 1 23 3 52n 1 2n 1919n 1 2n 1，22n12 001*m對(duì)一切 n N 成立 Sn<29nm 2 001即 2n 1<2，9n91又 2n 1 212n 1 遞增，992 0019nm 2，且 2n 1<2. 2即 m2 010. 最小正整數(shù)m 2 010.變式遷移2解(1)設(shè)等比數(shù)列 a 的首項(xiàng)為 a ，公比為 q.n1依題意，有

17、2(32) 2a4，aa代入 a2a3 a4 28，得 a3 8.a1q a1q3 20， a2 a420. a3 a1q2 8，q2，1 ，解之，得1 2或 q21 32.aa又 an 單調(diào)遞增，q 2， an 2n.a 2.1n1 nn(2) bn 2·log 22 n·2，n23n S 1×22×2 3×2 n×2. 234nn 1 2Sn1×22×23×2 ( n1)×2 n×2 . ，得n212nnSn2 22 23 2 n·2 1nnn·2 1 21 &

18、#183;2 1 2.nn由 Sn ( n m) an 1<0，即 2n1n 1n1n1對(duì)任意正整數(shù)n 恒成立， n·2 2n·2 m·2 <0n 1n 11 m·2 <2 2對(duì)任意正整數(shù)n， m<2n 1 恒成立1 2n 1> 1， m 1，即 m的取值范圍是 ( ， 1 例 3 解 依題意，第 1 個(gè)月月余款為a1 10 000(1 20%)10 000 ×20%×10% 300 11 500 ，第 2 個(gè)月月底余款為a2 1(1 20%) 1×20%×10% 300，aa6依此類

19、推下去，設(shè)第n 個(gè)月月底的余款為an 元，第 n 1 個(gè)月月底的余款為 an 1元，則 a a (1 20%)a ×20%×10% 300 1.18 an 1nnn300.下面構(gòu)造一等比數(shù)列an1 x設(shè) an x 1.18 ，則 an 1 x1.18 an 1.18 x， an1 1.18 an0.18 x. 0.18 x 300.5 000an1 x 5 000 ，即31.18.35 000a n35 0005 00011 500 5 000數(shù)列 an 是一個(gè)等比數(shù)列，公比為1.18 ，首項(xiàng) a133329 500.3 an 5 000 29 500 ×1.18

20、 n 1，33 a12 5 000 29 500 ×1.18 11，33 a12 5 000 29 500 ×1.18 1162 396.6( 元 ) ，33即到年底該職工共有資金62 396.6 元純收入有 a12 10 000(1 25%) 62 396.6 12 500 49 896.6( 元 ) 變式遷移 3解(1) 設(shè)中低價(jià)房的面積形成的數(shù)列為 n ，由題意可知 a 是等差數(shù)列，其中a 250， d 50，an1則 an 250 ( n1) ·50 50n 200，Sn 250n n n×50 25n2 225n，2令 25n2225n4 75

21、0 ，即 n2 9n1900，而 n 是正整數(shù)， n10.到 2020 年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4 750 萬(wàn)平方米(2) 設(shè)新建住房面積形成數(shù)列 b ，n由題意可知 b 是等比數(shù)列，其中 b 400， q 1.08 ，n1則 bn400·(1.08)n 1.由題意可知an>0.85 bn，即 50n200>400·(1.08) n 1·0.85.55當(dāng) n5 時(shí)， a<0.85 b ，當(dāng) n6 時(shí)， a6>0.85 b6，滿足上述不等式的最小正整數(shù)n 為 6.到 2016 年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住

22、房面積的比例首次大于85%.課后練習(xí)區(qū)1 32 22. 3.9914 71 2n12n1解析設(shè)至少需要 n 秒鐘，則1222100， 1 2100， n7.5 64解析依題意有 a anan1，兩式相除得an 2 2 ，所以 a 2an 2，所以 a ，a ，a ，n n 1n1 n213524612104115成等比數(shù)列， a ，a，a ，也成等比數(shù)列，而 a 1，a 2，所以 a2×2 32，a1×27 32，又因?yàn)?an an 1 bn，所以 b10 a10 a11 64. 6 3解析 該題是數(shù)列知識(shí)與函數(shù)知識(shí)的綜合an5·22n 22 n 15·

23、2n 122454·555 ，5顯然當(dāng) n 2 時(shí)， an 取得最小值，當(dāng)n 1 時(shí)， an 取得最大值，此時(shí)x 1，y 2， x y3.7 21222解析2ay ( x ) 2x，則過(guò)點(diǎn) ( a，a) 的切線斜率為，則切線方程為 y a 2a ( xkkkkk ak) ，2令 y0，得 ak 2ak( x ak ) ，11 x2ak，即 ak 1 2ak.1故 an 是 a1 16， q2的等比數(shù)列，1即 an16×(2) n 1， a1 a3 a5 16 4 1 21. 8 107解析由數(shù)表知，第一行1 個(gè)奇數(shù)，第 3 行 3 個(gè)奇數(shù)，第5 行 5 個(gè)奇數(shù)，第61行 6

24、1個(gè)奇數(shù)， 前 61 行用去 13 5 6162×31 961 個(gè)奇數(shù) 而 2 009 是第 1 005 個(gè)奇數(shù)，2故應(yīng)是第63 行第 44 個(gè)數(shù)，即 i j 63 44 107.11 x9解(1) f (1) a 3， f ( x) 3. (1 分)1a1 f (1) c 3c，2a2 f(2) c f(1) c 9，3 f(3) f(2) 2；acc27248121又?jǐn)?shù)列 n 成等比數(shù)列，aa2，1 aa323c3 27 c 1；(2分)2121n 1a公比 q 1 ， an ×3a331 n*2× 3，n N ；(3 分)S S(S S ) (SS ) n

25、n1nn 1nn1S S 1( n>2) ，(4 分)nn又 bn>0， Sn>0， Sn Sn 1 1.數(shù)列 Sn 構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1、公差為1 的等差數(shù)列，n 1 (1) × 1 ， n2. (6Snn Sn分)當(dāng) n2， bn Sn Sn 1 n2 ( n 1) 2 2n 1；又當(dāng) n 1 時(shí)，也適合上式，8*(8 bn 2n 1， n N. 分)1111(2) Tnbnbn 1b1b2b2b3b3b41 1 1n11×3 3×5 5×7n11 111 111 2 13 2 35 2 57 11111n22n1 2n1 2 1 2n 1 2n 1 . (12分)由nn1 000n1 000，&g