《量子力學(xué)教程》周世勛課后答案

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載量子力學(xué)課后習(xí)題詳解第一章量子理論基礎(chǔ)11 由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)m 與溫度T 成反比，即m T=b（常量）；并近似計(jì)算 b 的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字。解根據(jù)普朗克的黑體輻射公式8hv 31dv ，v d vc3hv（ 1）e kT1以及v c ，（ 2）v dvv d，（ 3）有dvddcv( )dv ()c8 hc1,5hce kT1這里的的物理意義是黑體內(nèi)波長(zhǎng)介于 與 +d 之間的輻射能量密度。本題關(guān)注的是 取何值時(shí)，取得極大值，因此，就得要求對(duì) 的一階導(dǎo)數(shù)為零，由此可求得相應(yīng)的 的值，記作m 。但要注意的是， 還需要驗(yàn)證對(duì) 的二

2、階導(dǎo)數(shù)在m 處的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m 就是要求的，具體如下：'8 hc1hc16hc5e kT1kTe1hc0kT優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載hc15hckTe kT1hc5(1 ekT )0hckThc如果令 x=，則上述方程為5(1e x )x這是一個(gè)超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，此解是平庸的；另外的一個(gè)解可以通過(guò)逐步近似法或者數(shù)值計(jì)算法獲得： x=4.97，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，此解正是所要求的，這樣則有mT把 x 以及三個(gè)物理常量代入到上式便知hcxkm T2.910 3 m K這便是維恩位移定律。 據(jù)此，我們知識(shí)物體溫度升高的話， 輻射的能量分布的峰

3、值向較短波長(zhǎng)方面移動(dòng)， 這樣便會(huì)根據(jù)熱物體 （如遙遠(yuǎn)星體） 的發(fā)光顏色來(lái)判定溫度的高低。12 在 0K 附近，鈉的價(jià)電子能量約為3eV，求其德布羅意波長(zhǎng)。解根據(jù)德布羅意波粒二象性的關(guān)系，可知E=hv，hP如果所考慮的粒子是非相對(duì)論性的電子（E動(dòng)ec 2 ），那么Ep22 e如果我們考察的是相對(duì)性的光子，那么E=pc注意到本題所考慮的鈉的價(jià)電子的動(dòng)能僅為3eV，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電子的質(zhì)量與光速平方的乘積，即 0.5110 6 eV ，因此利用非相對(duì)論性的電子的能量動(dòng)量關(guān)系式，這樣，便有hp優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載h2 eEhc2 ec2 E1.24 10 6m2 0.51 106 30.71 10 9 m0

4、.71nm在這里，利用了hc1.2410 6 eVm以及ec 20.51 10 6 eV最后，對(duì)hc2 ec 2 E作一點(diǎn)討論，從上式可以看出，當(dāng)粒子的質(zhì)量越大時(shí)，這個(gè)粒子的波長(zhǎng)就越短，因而這個(gè)粒子的波動(dòng)性較弱，而粒子性較強(qiáng)；同樣的，當(dāng)粒子的動(dòng)能越大時(shí)，這個(gè)粒子的波長(zhǎng)就越短， 因而這個(gè)粒子的波動(dòng)性較弱，而粒子性較強(qiáng)， 由于宏觀世界的物體質(zhì)量普遍很大， 因而波動(dòng)性極弱， 顯現(xiàn)出來(lái)的都是粒子性， 這種波粒二象性，從某種子意義來(lái)說(shuō)，只有在微觀世界才能顯現(xiàn)。13 氦原子的動(dòng)能是 E3 kT （k 為玻耳茲曼常數(shù)），求 T=1K 時(shí)，氦原子的德布羅意波長(zhǎng)。2解 根據(jù)1k K 10 3 eV ，知本題的氦

5、原子的動(dòng)能為E3 kT23 k2K1.5103eV ,顯然遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于核 c 2 這樣，便有hc2 核 c2 E優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載1.2410 6m23.71091.510 30.3710 9 m0.37nm這里，利用了核 c24931106 eV3.7109 eV最后，再對(duì)德布羅意波長(zhǎng)與溫度的關(guān)系作一點(diǎn)討論，由某種粒子構(gòu)成的溫度為 T 的體系，其中粒子的平均動(dòng)能的數(shù)量級(jí)為 kT ，這樣，其相慶的德布羅意波長(zhǎng)就為hchc2 c 2 E2 kc2 T據(jù)此可知，當(dāng)體系的溫度越低， 相應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)就越長(zhǎng)， 這時(shí)這種粒子的波動(dòng)性就越明顯， 特別是當(dāng)波長(zhǎng)長(zhǎng)到比粒子間的平均距離還長(zhǎng)時(shí)， 粒子間的相干性就

6、尤為明顯，因此這時(shí)就能用經(jīng)典的描述粒子統(tǒng)計(jì)分布的玻耳茲曼分布， 而必須用量子的描述粒子的統(tǒng)計(jì)分布玻色分布或費(fèi)米公布。14 利用玻爾索末菲的量子化條件，求：（1）一維諧振子的能量；（2）在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的電子軌道的可能半徑。已知外磁場(chǎng) H=10T，玻爾磁子 M B910 24 JT 1 ，試計(jì)算運(yùn)能的量子化間隔 E，并與 T=4K 及 T=100K 的熱運(yùn)動(dòng)能量相比較。解玻爾索末菲的量子化條件為pdqnh其中 q 是微觀粒子的一個(gè)廣義坐標(biāo)， p 是與之相對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量，回路積分是沿運(yùn)動(dòng)軌道積一圈， n 是正整數(shù)。（1）設(shè)一維諧振子的勁度常數(shù)為k，諧振子質(zhì)量為 ，于是有p21kx2E22這樣

7、，便有p2 (E1kx 2 )2這里的正負(fù)號(hào)分別表示諧振子沿著正方向運(yùn)動(dòng)和沿著負(fù)方向運(yùn)動(dòng)， 一正一負(fù)正好表示一個(gè)來(lái)回，運(yùn)動(dòng)了一圈。此外，根據(jù)可解出xE 1 kx222Ek優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載這表示諧振子的正負(fù)方向的最大位移。 這樣，根據(jù)玻爾索末菲的量子化條件，有2 ( E1kx2 )dx()2(E1 kx2 )dx nhxxx2x2x1 kx2 )dxx1 kx 2 ) dx nh2 ( E2 ( Ex2x22(E1 kx 2 ) dxn hxx22為了積分上述方程的左邊，作以下變量代換；2Exsink這樣，便有22E cos2 d2E sinn h2k222 E cos2Ecos dnhk2

8、222Ekc o2s dn h22這時(shí)，令上式左邊的積分為A ，此外再構(gòu)造一個(gè)積分B2 2Esin 2 d2 k這樣，便有AB22E2AB22E222d2E,kk（1）cos2 dkE cos2 d (2 )k2 Ecos d ,2 k這里=2，這樣，就有A BEd sin0（ 2）k優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載根據(jù)式（ 1）和（ 2），便有AEk這樣，便有其中 hEn hk2En hk2nh,kh2最后，對(duì)此解作一點(diǎn)討論。首先，注意到諧振子的能量被量子化了；其次，這量子化的能量是等間隔分布的。（2）當(dāng)電子在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有2Rq Bpq B R這時(shí)，玻爾索末菲的量子化條件就為2qBRd(R

9、) nh0qBR 22nhqBR2nh又因?yàn)閯?dòng)能耐 Ep22，所以，有E( qBR) 2q 2 B2 R222qBnq2nB2nBN B ,其中， M B q是玻爾磁子，這樣，發(fā)現(xiàn)量子化的能量也是等間隔的，而且2優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載EBM B具體到本題，有E10910 24J910 23J根據(jù)動(dòng)能與溫度的關(guān)系式E 3 kT2以及1kK10 3 eV1.610 22 J可知，當(dāng)溫度 T=4K 時(shí)，E1.54 1.610 22 J9.6 10 22 J當(dāng)溫度 T=100K 時(shí)，E1.51001.610 22 J2.410 20 J顯然，兩種情況下的熱運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的能量要大于前面的量子化的能量的間隔。

10、15 兩個(gè)光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)，如果兩光子的能量相等，問(wèn)要實(shí)現(xiàn)實(shí)種轉(zhuǎn)化，光子的波長(zhǎng)最大是多少？解 關(guān)于兩個(gè)光子轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程， 如兩個(gè)光子以怎樣的概率轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)的問(wèn)題， 嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，需要用到相對(duì)性量子場(chǎng)論的知識(shí)去計(jì)算，修正當(dāng)涉及到這個(gè)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)學(xué)方面， 如能量守恒， 動(dòng)量守恒等， 我們不需要用那么高深的知識(shí)去計(jì)算，具休到本題，兩個(gè)光子能量相等，因此當(dāng)對(duì)心碰撞時(shí)，轉(zhuǎn)化為正覆電子對(duì)所需的能量最小，因而所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)也就最長(zhǎng)，而且，有Ehve c2此外，還有Epc于是，有hchce c2hce c21.2410 60.516 m102.410 12 m2.410 3

11、nm盡管這是光子轉(zhuǎn)化為電子的最大波長(zhǎng)， 但從數(shù)值上看， 也是相當(dāng)小的， 我們知道，電子是自然界中最輕的有質(zhì)量的粒子， 如果是光子轉(zhuǎn)化為像正反質(zhì)子對(duì)之優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載類(lèi)的更大質(zhì)量的粒子， 那么所對(duì)應(yīng)的光子的最大波長(zhǎng)將會(huì)更小， 這從某種意義上告訴我們，當(dāng)涉及到粒子的衰變， 產(chǎn)生，轉(zhuǎn)化等問(wèn)題，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子間的轉(zhuǎn)化等現(xiàn)象就越豐富，這樣，也許就能發(fā)現(xiàn)新粒子，這便是世界上在造越來(lái)越高能的加速器的原因：期待發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象，新粒子，新物理。第二章波函數(shù)和薛定諤方程2.1 證明在定態(tài)中，幾率流與時(shí)間無(wú)關(guān)。證：對(duì)于定態(tài)，可令( r，t )( r )f (t)i Et( r )ei(*)J

12、2miiiii*EtEtEt（Et ( r )e（( r)e）(r )e( r )e）2mi ( r )* ( r )* ( r )( r)2m可見(jiàn) J與 t 無(wú)關(guān)。2.2由下列定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度：(1) 11 e i k r(2) 21 e i k rrr從所得結(jié)果說(shuō)明1 表示向外傳播的球面波，2 表示向內(nèi) (即向原點(diǎn) ) 傳播的球面波。解： J1 和 J 2只有 r分量在球坐標(biāo)中r011eerrr s i n優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載i(*1)(1) J11112mi 1 eikrr( 1 e ikr )1 e ikrr(1 eikr ) r02mrrrri11111ik12m(r 2ik

13、 )r(2)r0rrrrkrkrmr 20mr 3J1與 r 同向。表示向外傳播的球面波。i(*)(2) J22222mi 1 e ikrr(1 eikr )1 eikr(1 e ikr ) r02mrrrrri 1 (1ik 1)1 (1ik1) r2mrr 2rrr 2r0k rk rmr 20mr 3可見(jiàn)， J 2與 r 反向。表示向內(nèi) (即向原點(diǎn) ) 傳播的球面波。補(bǔ)充：設(shè)(x)eikx ，粒子的位置幾率分布如何？這個(gè)波函數(shù)能否歸一化？*dxdx2波函數(shù)不能按( x) dx1 方式歸一化。其相對(duì)位置幾率分布函數(shù)為21表示粒子在空間各處出現(xiàn)的幾率相同。2.3一粒子在一維勢(shì)場(chǎng)， x 0U

14、( x)0， 0xa， x a中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。解： U ( x)與 t 無(wú)關(guān)，是定態(tài)問(wèn)題。其定態(tài)S方程優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載2 d2( x) U ( x) (x) E ( x)2m dx 2在各區(qū)域的具體形式為2d 21 ( x) U ( x) 1 ( x) E1 (x)： x 0dx22m2d 22 ( x) E2 (x)： 0 x a2m dx 22d 23 ( x) U (x) 3 (x) E3 ( x)： x a2m dx 2由于 (1)、 (3)方程中，由于 U ( x)，要等式成立，必須1 ( x)02 ( x)0即粒子不能運(yùn)動(dòng)到勢(shì)阱以外的地方去。d 22 ( x

15、)2mE2(x) 0方程 (2)可變?yōu)閐x 22令 k22mE，得2d 22( x)2(x)0dx 2k2其解為2 ( x)A sin kxB coskx根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件確定系數(shù)A ，B，由連續(xù)性條件，得2 (0)1(0)2 (a)3 (a) B 0Asin ka0A 0sin ka 0ka n(n 1, 2, 3, ) 2 (x) A sinnxa優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載由歸一化條件2dx 1( x)得A2a2n1s i nx d x0 aax sin n由sin mxdxamnbaa2A2a2 (x)2nxs i naak22mE222n2( n 1,2,3, ) 可見(jiàn) E 是量子化的。E

16、n2ma2對(duì)應(yīng)于 En 的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為2 sin ni Etxaxe, 0nn ( x, t)aa0,xa,x a#2.4.證明（ 2.6-14）式中的歸一化常數(shù)是1AaA sin n ( x a),xa證：na0,xa（ 2.6-14）由歸一化，得優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載12aA 2 sin 2 n ( x a)dxndxaaA2a1n1cos ( x a) dxa 2aA 2a2 aAxa2a2ncos(xa)dxaA 2a sinn (xaA 2aa)2naaA 2a歸一化常數(shù) A1#a2.5求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。1 2 x 2解： ( x)2 xe 221 ( x

17、)24 2221 (x)x2 ex223x2 e2 x2d 1 (x) 232x32 x2 2x 2edx令 d 1 (x)0，得 dxx0x1x由1 (x) 的表達(dá)式可知， x0，x時(shí)， 1 ( x)0 。顯然不是最大幾率的位置。而 d 21 ( x)2 3(2 6 2 x 2 ) 2 2 x(2x 2 2 x 3 )e2x 2dx 24 3(1 52 x22 4 x4 ) e2x 2d 21 ( x)43 1dx 2201ex2可見(jiàn) x1是所求幾率最大的位置。#優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載2.6在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：U (x)U ( x) ，證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱(chēng)。證

18、：在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子的定態(tài)S-方程為2d2( x) U ( x) (x) E ( x)2dx 2將式中的 x以( x) 代換，得2d2( x) U ( x) ( x) E ( x)2dx 2利用 U (x)U ( x) ，得2d2( x) U ( x) ( x) E ( x)2dx 2比較、式可知，( x)和( x) 都是描寫(xiě)在同一勢(shì)場(chǎng)作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。由于它們描寫(xiě)的是同一個(gè)狀態(tài)，因此(x)和( x) 之間只能相差一個(gè)常數(shù) c 。方程、可相互進(jìn)行空間反演( xx) 而得其對(duì)方，由經(jīng)xx反演，可得，( x)c( x)由再經(jīng)xx 反演，可得，反演步驟與上完全相同，即是完全等價(jià)的。(x)

19、c(x)乘 ，得( x) ( x)c2 (x ) ( x)可見(jiàn)， c21c1當(dāng) c1 時(shí)，( x)(x) ，(x) 具有偶宇稱(chēng)，當(dāng) c1 時(shí)，( x)( x) ，(x) 具有奇宇稱(chēng)，當(dāng)勢(shì)場(chǎng)滿足U (x)U (x) 時(shí)，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱(chēng)。#優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載2.7一粒子在一維勢(shì)阱中U0 0,xaU ( x)xa0,運(yùn)動(dòng)，求束縛態(tài) ( 0E U 0 )的能級(jí)所滿足的方程。解法一：粒子所滿足的 S-方程為2d 2(x) U (x) ( x) E ( x)2dx 2按勢(shì)能 U ( x) 的形式分區(qū)域的具體形式為2d21 ( x) U 0 1 (x) E1 (x )x a ：dx 222

20、d 22 (x) E2 ( x)a x a：dx 222d 23 ( x) U 0 3 (x) E3 (x )a x ：dx 22整理后，得：2(U 0E)1210： .2E0222： 32 (U0E)302令22 (U0 E)22 Ek12k22則：1k1210： .2k2220： 3k1210優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載各方程的解為1Ae k1xBek1x2C sin k 2 xD cosk 2 x3Ee k 1xFe k1x由波函數(shù)的有限性，有1 ()有限A03 ()有限E0因此1 Bek1x3 Fe k1 x由波函數(shù)的連續(xù)性，有1 (a)2 (a),Be k1aC sin k 2 aD cos

21、k 2 a(10)1 (a)2 (a),k 1 Be k 1ak 2 C cosk 2 ak 2 D sin k 2 a(11)2 (a)3 ( a),C sin k 2 aD cosk 2 aFe k1 a(12)2 (a)3 ( a),k 2 C cosk 2 ak 2 D sin k 2 ak1 Fe k1a(13)整理 (10) 、(11) 、 (12) 、 (13) 式，并合并成方程組，得e k1 aBsin k 2aCcosk 2aD 00k 1e k1a Bk 2 cosk 2aCk 2 sin k 2 a D000sin k 2 aCcosk 2 aD e k1a F00 k

22、2 cosk 2 aCk 2 sin k 2 aD k 1 e k1a F0解此方程即可得出 B、C、D、F，進(jìn)而得出波函數(shù)的具體形式，要方程組有非零解，必須e k1asin k 2 acosk 2 a0k 1e k 1ak 2 cosk 2ak 2sin k 2 a000sin k 2 acosk 2 ae k1a0k 2 cosk 2 ak 2sin k 2 ak1 Be k1a優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載k 2 cosk 2 ak 2 sin k 2 a00e k1 asin k 2 acosk 2 ae k1ak 2 cosk 2 ak 2 sin k 2 ak1 e k1asin k 2 a

23、cosk 2 a0k1 e k1 asin k 2 acosk 2ae k1ak 2 cosk 2ak 2 sin k 2 ak 1 e k1ae k1a k1k 2e k1a cos2 k 2 ak 22 e k1a sin k 2 a cosk 2 ak 1k 2 e k1a sin 2 k 2 ak 22 e k 1a sin k 2 acosk 2 ak 1e k 1a k 1e k1a sin k 2 acosk 2 ak 2 e k1 a cos2 k 2 ak 1e k1a sin k 2a cosk 2ak 2 e k1a sin2 k 2ae 2 k1a 2k1 k 2 co

24、s2k 2a k 22 sin 2k 2ak 12 sin 2k 2 ae 2 k1a ( k 22k 12 ) s i n2k 2 a2k1 k 2 c o 2sk 2a e2 k1a0 (22 ) sin 22k1k2cos2k2 a0k 2k1k2 a即(k22k12 )tg 2k2 a2k1k 20 為所求束縛態(tài)能級(jí)所滿足的方程。 #解法二：接（ 13）式C sin k 2aD cosk 2 ak 2C cosk 2 ak 2 D sin k 2 ak 1k1C sin k 2 aD cosk 2 ak 2 C cos k 2 ak 2 D sin k 2ak 1k1優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下

25、載k2 cosk2 asink 2ak 2sink 2acosk 2ak1k10k2 cosk2 a( k2 sink2asink 2acosk 2 a)k1k1( k2 cosk2 asink2 a)( k2sink2 acosk2a )k1k1( k2 cosk2 asink2 a)( k2sink2 acosk2a )0k1k1( k2 cosk2asink2 a)( k2sink2 acosk2a )0k1k1k 22k22k22sink2 a cosk2 a 02 sink2a cosk 2ak1sin k2 ak1cos k 2ak1(1k22)sin2k2 a2k2cos2k2

26、a0k12k1(k 22k12 ) sin2k2 a2k 1 k2 cos2k2 a0#解法三：(11)-(13)2k 2 D sin k2 ak1e k 1a (BF )(10)+(12)2D cosk 2 a e k1a (B F)(11)(13)k 2 tgk 2ak 1(a)(10)(12)(11)+(13)2k2C cosk2ak ( FB)e ik1a1(12)-(10)2C sin k 2 a(FB)e ik 1a(11)(13)k 2ctgk2 ak1(12)(10)令k2 a，k2a， 則tg( c)或ctg(d)22222U 0 a2( f )(k 1k 2 )2合并 (a

27、)、(b) ：優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載2k1 k22tgk2 atg2k2ak12利用 tg2k 2 a2 k 2 ak221 tg#解法四：（最簡(jiǎn)方法 - 平移坐標(biāo)軸法）2：21U 0 1E 1（ 0）2（ 0 2 a ）：22E 22（2 a ）：23U 0 3E 32(U 0E )1212 E02222(U 0E )323001k 1210(1)k 122(U 0E)22k 2220(2)k 222E2束縛態(tài) 0 EU03k 1230(3)1Ae k1 xBe k1 x2C sink 2 xD cosk 2 x3Ee k1 xFe k1 x1(有限B0)3()有限E0因此1 Aek1 x3

28、Fe k1 x由波函數(shù)的連續(xù)性，有1 (0)2 (0),AD(4)1 (0)2 (0),k 1Ak 2 C(5)2 (2a)3 (2a),k 2 C cos2k 2 a k 2 D sin 2k 2 ak 1Fe2 k1a(6)2 (2a)3 (2a),C sin 2k 2a D cos2k2 a Fe2k1a( 7)優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載(7) 代入 (6)C sin 2k2 a D cos2k2 ak2C cos2k2 ak2D sin 2k 2ak1k1利用 (4) 、(5) ，得k1A sin 2k 2 a A cos2k 2 aA cos2k 2 ak 2A ( k 1k 2 ) si

29、n 2k 2 a2 cos2k 2 a0k 2k 1A0( k 1k 2 ) sin 2k 2 a2cos2k 2a0k 2k 1兩邊乘上 ( k1k 2 )即得( k 22k 12 ) sin 2k 2a 2k1 k 2 cos2k 2a0#k 2D sin 2k 2 a2.8 分子間的范德瓦耳斯力所產(chǎn)生的勢(shì)能可以近似表示為,x0，U 0 ,0x，aU (x)ax，U 1 ,b0,bx，求束縛態(tài)的能級(jí)所滿足的方程。解：勢(shì)能曲線如圖示，分成四個(gè)區(qū)域求解。定態(tài) S-方程為2d2(x) U ( x) (x) E ( x)2dx 2對(duì)各區(qū)域的具體形式為：221U ( x)1E1( x0)2：22U

30、02E 2(0x a)2：23U 1 3E 3( a x b)2：240E4(bx)優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載對(duì)于區(qū)域， U ( x)，粒子不可能到達(dá)此區(qū)域，故1 ( x)0而 .2(U0E)02222(U 1E)03232 E4240對(duì)于束縛態(tài)來(lái)說(shuō)，有UE02k12203k32304k4240各方程的解分別為2Ae k1 xBe k1 x3C sin k2 x D cosk2 x4Ee k3xFe k3 x由波函數(shù)的有限性，得4()有限，E022 (U0 E)k1222 (U1 E)k32k422 E /2 4 Fe k3x由波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)，得1(0)2 (0)BA2A(ek3 xe k

31、3x )2 (a)3 ( a)A(ek3 xe k3 x )C s i nk2 aD c o sk2 a3 (a)3 ( a)Ak1 (ek3 ae k3a )Ck2 cos k2 aDk 2 sin k2 a3 (b)4 (b)C sin k 2bD cos k2bFe k3b3 (b)4 (b)Ck 2 sin k2 bDk 2 cos k2bFk 3e k3 b優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載由、，得k1ek1 aek2ek1aek1aC cosk2 aD cosk 2ak1a(11)C sink2 aD cosk2a由 、得 (k 2 cosk2 b)C ( k2 sin k2b)D( k 3 sin k2 b)C(k3 cosk2 b) D( k2c o sk2 b s i nk2 b)C(k2c o sk 2b s i nk 2b) D0 (12)k3k3令ek1a e ek1a ek1ak1k 1a，則式變?yōu)閗2( sink 2 acosk2 a)C(