1.2熱傳導(dǎo)方程和定解條件ppt課件

1、11.2 熱傳導(dǎo)方程與定解條件熱傳導(dǎo)方程與定解條件),(zyxt熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：一、下面先從物理一、下面先從物理G G內(nèi)的熱傳導(dǎo)問(wèn)題出發(fā)來(lái)導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程。內(nèi)的熱傳導(dǎo)問(wèn)題出發(fā)來(lái)導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程。為此，我們用函數(shù)為此，我們用函數(shù)如果空間某物體如果空間某物體G G內(nèi)各處的溫度內(nèi)各處的溫度不同，則熱量就從溫度較高的點(diǎn)處向溫度較不同，則熱量就從溫度較高的點(diǎn)處向溫度較低的點(diǎn)流動(dòng)。低的點(diǎn)流動(dòng)。表示物體表示物體G G在位置在位置),(tzyxu處及時(shí)刻處及時(shí)刻的溫度。的溫度。2熱的傳播按傅立葉（熱的傳播按傅立葉（FourierFourier）實(shí)驗(yàn)定律進(jìn)行：）實(shí)驗(yàn)定律進(jìn)行：物體在無(wú)窮小時(shí)段物體在無(wú)窮小時(shí)段

2、內(nèi)流過(guò)一個(gè)無(wú)窮小面積內(nèi)流過(guò)一個(gè)無(wú)窮小面積dtdSdQdSnu,),(dSdtnuzyxkdQ),(zyxk),(zyxkndS的熱量的熱量與物體溫度沿曲面與物體溫度沿曲面法線方向法線方向的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)成正比，而熱流方向與溫度升高的成正比，而熱流方向與溫度升高的其中其中稱為物體在點(diǎn)稱為物體在點(diǎn)處的熱傳導(dǎo)處的熱傳導(dǎo)系數(shù)，為正值系數(shù)，為正值. .當(dāng)物體為均勻且各向同性時(shí)，當(dāng)物體為均勻且各向同性時(shí)，為常數(shù)，為常數(shù)，為曲面為曲面沿?zé)崃鞣较虻姆ň€沿?zé)崃鞣较虻姆ň€. . 方向相反，即方向相反，即3u,2tnu,211dtdSnukQtt 1t,u為了導(dǎo)出溫度為了導(dǎo)出溫度所滿足的方程所滿足的方程, ,在

3、物體在物體G G內(nèi)任取內(nèi)任取一閉曲面一閉曲面它所包圍的區(qū)域記作它所包圍的區(qū)域記作則從時(shí)刻則從時(shí)刻到時(shí)刻到時(shí)刻經(jīng)過(guò)曲面經(jīng)過(guò)曲面流入?yún)^(qū)域流入?yún)^(qū)域的熱量為的熱量為其中其中表示表示對(duì)曲面的外法向?qū)?shù)對(duì)曲面的外法向?qū)?shù). .coscoscoszuyuxunu,),(dSdtnuzyxkdQ4),(21tt),(1tzyxu),(2tzyxu,),(),(),(),(122dvtzyxutzyxuzyxzyxcQc流入的熱量使區(qū)域流入的熱量使區(qū)域內(nèi)部的溫度發(fā)生變化內(nèi)部的溫度發(fā)生變化, ,在時(shí)間間隔在時(shí)間間隔中物理溫度從中物理溫度從變化到變化到所需要的熱量為所需要的熱量為其中其中為物體的比熱為物體的比熱,

4、,為物體的密度為物體的密度. .如果所考察的物體內(nèi)部沒有熱源如果所考察的物體內(nèi)部沒有熱源, ,由于熱量守恒由于熱量守恒, ,12QQ dvtzyxutzyxuc),(),(12dtdSnuktt 215先對(duì)先對(duì)1Q,211dtdSnukQtt 進(jìn)行變形進(jìn)行變形.)coscoscos(211dtdSzuyuxukQtt 利用奧利用奧- -高高(Gauss)(Gauss)公式公式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()(uzyx,t1Q;)()()(dtdvzukzyukyxukxQtt 211設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)關(guān)于變量關(guān)于變量具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,關(guān)于變量關(guān)于變量具有一階

5、連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,可化為可化為62QdvtzyxutzyxucQ),(),(122dvdttuctt)(21,)(21 ttdtdvtuc而而可化為可化為因此由因此由dvtzyxutzyxuc),(),(12dtdSnuktt 21 21)(ttdtdvtucdtdvzukzyukyxukxtt)()()( 21移項(xiàng)即得移項(xiàng)即得（利用牛頓（利用牛頓- -萊布尼茲公式）萊布尼茲公式）7.)()()(021 dtdvzukzyukyxukxtuctt2,1tt,ck,/2ack).(2222222zuyuxuatu由于由于與區(qū)域與區(qū)域都是任意取的都是任意取的, ,并且被積函數(shù)并且被

6、積函數(shù)是連續(xù)的是連續(xù)的, ,于是得于是得).()()(zukzyukyxukxtuc上式稱為非均勻的各向同性體的熱傳導(dǎo)方程上式稱為非均勻的各向同性體的熱傳導(dǎo)方程. .如果物體是均勻的如果物體是均勻的, ,此時(shí)此時(shí)為常數(shù)為常數(shù), ,記記則得則得齊次熱傳導(dǎo)方程齊次熱傳導(dǎo)方程8),(21tt),(tzyxF.),(213dtdvtzyxFQtt 如果所考察的物體內(nèi)部有熱源如果所考察的物體內(nèi)部有熱源( (例如物體中通有例如物體中通有電流電流, ,或有化學(xué)反應(yīng)等情況或有化學(xué)反應(yīng)等情況),),設(shè)熱源密度設(shè)熱源密度( (單位時(shí)單位時(shí)間內(nèi)單位體積所產(chǎn)生的熱量間內(nèi)單位體積所產(chǎn)生的熱量) )為為則在時(shí)間間隔則在時(shí)

7、間間隔中區(qū)域中區(qū)域內(nèi)所產(chǎn)生的熱量為內(nèi)所產(chǎn)生的熱量為同樣由于熱量要平衡同樣由于熱量要平衡, ,dvtzyxutzyxuc),(),(12dtdSnuktt 21.),(21dtdvtzyxFtt 9dtdvzukzyukyxukxtuctt)()()( 21.),(21dtdvtzyxFtt ).,()()()(tzyxFzukzyukyxukxtuc).,()(2222222tzyxfzuyuxuatu./ ),(),(ctzyxFtzyxf其中其中非齊次熱傳導(dǎo)方非齊次熱傳導(dǎo)方程程相對(duì)應(yīng)的一維、二維熱傳導(dǎo)方程可類似寫出。相對(duì)應(yīng)的一維、二維熱傳導(dǎo)方程可類似寫出。10二、定解條件二、定解條件初始條

8、件：初始條件：表示初始時(shí)刻物體內(nèi)溫度的分布情況表示初始時(shí)刻物體內(nèi)溫度的分布情況),(| ),(0zyxtzyxut),(zyx),(1tzyxf),(| ),(1tzyxftzyxuS其中其中為已知函數(shù)。為已知函數(shù)。1 1、第一類邊界條件（狄利克雷、第一類邊界條件（狄利克雷DirichletDirichlet）設(shè)所考察的物體設(shè)所考察的物體G G的邊界曲面為的邊界曲面為S S，已知物體，已知物體表面溫度函數(shù)為表面溫度函數(shù)為即即.),(Szyx112 2、第二類邊界條件（諾伊曼、第二類邊界條件（諾伊曼Neumann）,|Snukq, q),(|2tzyxfnuS 特別地，如果物體表面上各點(diǎn)的熱流量

9、為特別地，如果物體表面上各點(diǎn)的熱流量為0,0,絕熱性邊界條件絕熱性邊界條件已知物體表面上各點(diǎn)的熱流量已知物體表面上各點(diǎn)的熱流量kqtzyxf/),(20t. 0| Snu也就是說(shuō)在也就是說(shuō)在單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)單位面積的熱量是已知的，單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)單位面積的熱量是已知的，其中其中由傅里葉實(shí)驗(yàn)定律可知由傅里葉實(shí)驗(yàn)定律可知是定義在邊界曲面是定義在邊界曲面S S，且，且上的已知函數(shù)上的已知函數(shù). .則相應(yīng)的邊界條件為則相應(yīng)的邊界條件為121.3 拉普拉斯方程與定解條件拉普拉斯方程與定解條件0222222zuyuxu0u. 02 u1.1.三維拉普拉斯三維拉普拉斯(Laplace)(Laplace)方程方程

10、(1)(1)凡具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并滿足方程凡具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并滿足方程(1)(1)的連續(xù)函數(shù)為調(diào)和函數(shù)的連續(xù)函數(shù)為調(diào)和函數(shù). .( (調(diào)和方程調(diào)和方程) )方程方程(1)(1)通常表示成通常表示成或或拉普拉斯方程描述的是穩(wěn)定狀態(tài)下物理量的分布規(guī)律拉普拉斯方程描述的是穩(wěn)定狀態(tài)下物理量的分布規(guī)律. .13).,(222222zyxfzuyuxu),(zyxfu).,(2zyxfu2.2.泊松方程泊松方程( (非齊次的拉普拉斯方程非齊次的拉普拉斯方程) )(2)(2)方程方程(2)(2)通常表示成通常表示成或或3. 3. 拉普拉斯方程的邊值問(wèn)題拉普拉斯方程的邊值問(wèn)題第一邊值問(wèn)題第一邊值問(wèn)題( (狄

11、氏問(wèn)題狄氏問(wèn)題) )14),(zyxu, f.|fu在空間某一區(qū)域在空間某一區(qū)域的邊界的邊界上給定了連續(xù)函數(shù)上給定了連續(xù)函數(shù)要求函數(shù)要求函數(shù)在閉區(qū)域在閉區(qū)域上連續(xù)且在上連續(xù)且在內(nèi)調(diào)和內(nèi)調(diào)和, ,在邊界在邊界上與給定的函數(shù)上與給定的函數(shù)f重合重合, ,即即第二邊值問(wèn)題第二邊值問(wèn)題( (諾伊曼問(wèn)題諾伊曼問(wèn)題) ),(zyxu, f在空間某一區(qū)域在空間某一區(qū)域的邊界的邊界上給定了連續(xù)函數(shù)上給定了連續(xù)函數(shù)要求函數(shù)要求函數(shù)在閉區(qū)域在閉區(qū)域上連續(xù)且在上連續(xù)且在內(nèi)調(diào)和內(nèi)調(diào)和, ,在邊界在邊界上法向?qū)?shù)上法向?qū)?shù)nu存在存在, ,且有且有,|fnu其中其中n n是外法線方向是外法線方向. .151.4 基本概

12、念與基本知識(shí)基本概念與基本知識(shí), 0yyxxuu1.1.古典解古典解: :如果一個(gè)函數(shù)具有某偏微分方程中所如果一個(gè)函數(shù)具有某偏微分方程中所需要的各階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)需要的各階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,且滿足該方程且滿足該方程. .2.2.自由項(xiàng)自由項(xiàng): :偏微分方程中不含有未知函數(shù)及其偏微分方程中不含有未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)各階偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng). .例如例如: :.822xuuyx齊次偏微分方程齊次偏微分方程(自自由項(xiàng)為由項(xiàng)為0)非齊次偏微分方程非齊次偏微分方程(自由自由項(xiàng)不為項(xiàng)不為0)163.3.疊加原理疊加原理),( 22221222ifFuyuExuDyuCyxuBxuAi),(21iuiifFA,考察二

13、階線性偏微分方程考察二階線性偏微分方程yx,iiiiiiifFuyuExuDxuCyxuBxuA222222 其中其中都是某區(qū)域上都是某區(qū)域上的已知函數(shù)的已知函數(shù). .疊加原理疊加原理設(shè)設(shè)是方程是方程(1)(1)中第中第i i個(gè)方程的解個(gè)方程的解, ,(1)(1)17iiifcFuyuExuDxuCyxuBxuA1222222 0if. 02 22222FuyuExuDxuCyxuBxuA), 2 , 1(iui1iiiucu), 2 , 1(ici如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù)(2)(2)收斂收斂, ,其中其中為任意常數(shù)為任意常數(shù), ,并且它還能夠逐項(xiàng)并且它還能夠逐項(xiàng)微分兩次微分兩次, ,則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)(2

14、)(2)是下方程的解是下方程的解特別地特別地, ,當(dāng)方程當(dāng)方程(1)(1)中的自由項(xiàng)中的自由項(xiàng)時(shí)時(shí), ,則得相應(yīng)的則得相應(yīng)的齊次方程為齊次方程為若若是方程是方程(3)(3)的解的解, ,則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)(2)(2)也是方程也是方程(3)(3)(3)(3)的解的解. .18三角函數(shù)系三角函數(shù)系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx, 0cossinnxdxmx., 0sinsinnmnmnxdxmx., 0coscosnmnmnxdxmx. 0cossinnxdxnxdx在在上正交。上正交。4.4.傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)19補(bǔ)充：

15、補(bǔ)充：三角函數(shù)積化和差公式三角函數(shù)積化和差公式)cos()cos(21sinsin)cos()cos(21coscos)sin()sin(21cossin)sin()sin(21sincos204.4.傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)設(shè)周期為設(shè)周期為l 2)(xfnnba ,的函數(shù)的函數(shù)可展開成傅里葉級(jí)數(shù)可展開成傅里葉級(jí)數(shù), ,則則, )sincos(2)(10nnnlxnblxnaaxf), 2 , 1 , 0( cos)(1ndxlxnxflalln)., 3 , 2 , 1( sin)(1ndxlxnxflblln(4)(4)其中傅里葉系數(shù)其中傅里葉系數(shù)滿足滿足(

16、5)(5)21)(xf)(xf當(dāng)當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)為奇函數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)為偶函數(shù)時(shí) ,sin)(1nnlxnbxf,cos2)(10nnlxnaaxf)., 2 , 1 , 0( cos)(20ndxlxnxflaln)., 3 , 2 , 1( sin)(20ndxlxnxflbln(6)(6)(7)(7)224.4.兩個(gè)自變量的二階微分方程的分類兩個(gè)自變量的二階微分方程的分類一般的二階線性偏微分方程具有如下的形狀一般的二階線性偏微分方程具有如下的形狀yx,fcbbaaa,21221211),(00yx),(00yx,221221211fcuububuauauayxyyxyxx(8)(8)其中其中等都是自變量等都是自變量在區(qū)域在區(qū)域上的實(shí)函數(shù)，并假定他們是連續(xù)可微的。上的實(shí)函數(shù)，并假定他們是連續(xù)可微的。若在區(qū)域若在區(qū)域上每點(diǎn)上每點(diǎn), 02211212aaa則稱方程則稱方程(8)(8)在每點(diǎn)在每點(diǎn)為雙曲型的；那么也為雙曲型的；那么也則稱方程則稱方程(8)(8)在區(qū)域內(nèi)是雙曲型的。在區(qū)域內(nèi)是雙曲型的。23),(00yx),(00yx若在區(qū)域若在區(qū)域上每點(diǎn)上每點(diǎn),