ANOVA統(tǒng)計(jì)學(xué)之方差分析學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1ANOVA統(tǒng)計(jì)學(xué)之方差分析統(tǒng)計(jì)學(xué)之方差分析第一頁，共38頁。2第1頁/共38頁第二頁，共38頁。3 ANOVA ANOVA 由英國統(tǒng)計(jì)由英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家學(xué)家R.A.FisherR.A.Fisher首創(chuàng)，首創(chuàng)，為紀(jì)念為紀(jì)念FisherFisher，以，以F F命名，命名，故方差分析又稱故方差分析又稱 F F 檢驗(yàn)檢驗(yàn) （F testF test）。用于推斷）。用于推斷多個(gè)總體多個(gè)總體(zngt)(zngt)均數(shù)均數(shù)有無差異有無差異 第2頁/共38頁第三頁，共38頁。4第十章第十章 單向單向(dn xin)方差分析方差分析One-way analysis of variance第一節(jié)第一節(jié) 方

2、差分析的基本方差分析的基本(jbn)思思想想 將所有測(cè)量(cling)值間的總變異按照其變異的來源分解為多個(gè)部份，然后進(jìn)行比較，評(píng)價(jià)由某種因素所引起的變異是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。第3頁/共38頁第四頁，共38頁。5組間變異組間變異(biny)總變總變異異(biny)組內(nèi)變異組內(nèi)變異第4頁/共38頁第五頁，共38頁。61.總變異總變異(biny)（Total variation）：全部測(cè)量值）：全部測(cè)量值Yij與總均數(shù)與總均數(shù) 間的差異間的差異 2.組間變異組間變異(biny)（ between group variation ）：各組的均數(shù)：各組的均數(shù) 與總均數(shù)與總均數(shù) 間的差異間的差異3.組內(nèi)變

3、異組內(nèi)變異(biny)（within group variation )：每：每組的每個(gè)測(cè)量值組的每個(gè)測(cè)量值Yij與該組均數(shù)與該組均數(shù) 的差異的差異下面用離均差平方和下面用離均差平方和(sum of squares of (sum of squares of deviations from meandeviations from mean，SS)SS)反映變異反映變異(biny)(biny)的大小的大小 20.0Y YiYiY第5頁/共38頁第六頁，共38頁。 1. 總變異: 所有測(cè)量(cling)值之間總的變異程度，計(jì)算公式22111122,1)iinnaaijijijijNiji jSSY

4、YYCYCNS總(2211,()()inaNijijiji jYYCNN校正校正(jiozhng)系數(shù)：系數(shù)：1N總第6頁/共38頁第七頁，共38頁。 2組間變異(biny)：各組均數(shù)與總均數(shù)的離均差平方和，計(jì)算公式為21211()()inijjaaiiiiiYSSn YYCn組間1a組間SS組間反映了各組均數(shù) 的變異(biny)程度組間變異(biny)隨機(jī)誤差+處理因素效應(yīng) iY第7頁/共38頁第八頁，共38頁。21121()(1)inaijiijaiiiSSYYnS組內(nèi)Na組內(nèi) 3組內(nèi)變異：在同一處理組內(nèi)，雖然每個(gè)受試對(duì)象接受的處理相同(xin tn)，但測(cè)量值仍各不相同(xin tn)，

5、這種變異稱為組內(nèi)變異，也稱SS誤差。 用各組內(nèi)各測(cè)量值Yij與其所在組的均數(shù)差值的平方和來表示，反映隨機(jī)誤差的影響。計(jì)算公式為第8頁/共38頁第九頁，共38頁。三種三種“變異變異”之間的關(guān)系之間的關(guān)系(gun x)離均差平方和分解：離均差平方和分解：組內(nèi)組內(nèi)組間組間總總SSSSSS+=， 且 總 =組間 +組內(nèi) 組內(nèi)變異組內(nèi)變異 SS組內(nèi)組內(nèi)： 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 組間變異組間變異 SS組間組間：處理因素處理因素 + 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 第9頁/共38頁第十頁，共38頁。One-Factor ANOVA Partitions of Total VariationVariation Due to T

6、reatment SSBVariation Due to Random Sampling SSWTotal Variation SSTFCommonly referred to as:oSum of Squares Within, oroSum of Squares Error, oroWithin Groups VariationFCommonly referred to as:oSum of Squares Among, oroSum of Squares Between, oroSum of Squares Model, oroAmong Groups Variation=+第10頁/共

7、38頁第十一頁，共38頁。 均方差均方差(fn ch)(fn ch)，均方，均方(mean (mean squaresquare，MS) MS) 變變異異程程度度除除與與離離均均差差平平方方和和的的大大小小有有關(guān)關(guān)外外， 還還與與其其自自由由度度有有關(guān)關(guān)，由由于于各各部部分分自自由由度度不不相相等等， 因因此此各各部部分分離離均均差差平平方方和和不不能能直直接接比比較較，須須將將 各各部部分分離離均均差差平平方方和和除除以以相相應(yīng)應(yīng)自自由由度度，其其比比值值 稱稱為為均均方方差差，簡簡稱稱均均方方(mean square，MS)。組組 間間均均方方和和組組內(nèi)內(nèi)均均方方的的計(jì)計(jì)算算公公式式為為:

8、 SSMS組間組間組間 SSMS組內(nèi)組內(nèi)組內(nèi) 第11頁/共38頁第十二頁，共38頁。 如果各組樣本的總體均數(shù)相等（如果各組樣本的總體均數(shù)相等（H0：12k） ，） ， 即各處理組的樣本來自相同總體，無處理因素的作用，則組即各處理組的樣本來自相同總體，無處理因素的作用，則組 間變異同組內(nèi)變異一樣，只反映隨機(jī)誤差作用的大小。組間間變異同組內(nèi)變異一樣，只反映隨機(jī)誤差作用的大小。組間 均方與組內(nèi)均方的比值稱為均方與組內(nèi)均方的比值稱為 F 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 MSFMS組間組內(nèi) 1組間，2組內(nèi) F 值接近于值接近于 l，就沒有理由拒絕，就沒有理由拒絕 H0；反之，；反之，F(xiàn) 值越大，拒絕值越大，拒絕 H0的理

9、由越充分。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論證明，的理由越充分。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論證明，當(dāng)當(dāng) H0成立成立時(shí)，時(shí)，F(xiàn) 統(tǒng)計(jì)量服從統(tǒng)計(jì)量服從 F 分布。分布。 ，第12頁/共38頁第十三頁，共38頁。14F 分布分布(fnb)曲曲線線10,10215, 1215, 52122121122/22/12121121)(222)(FFFf第13頁/共38頁第十四頁，共38頁。15附表附表5 F5 F界值表（方差分析用，單側(cè)界值）界值表（方差分析用，單側(cè)界值）上行上行(shngxng)(shngxng)：P=0.05 P=0.05 下行：下行：P=0.01P=0.01分母自由度分母自由度2 2分子的自由度，分子的自由度，1 1

10、1 12 23 34 45 56 6 1 1161161200200216216225225230230234234 405240524999499954035403562556255764576458595859 2 218.5118.5119.0019.0019.1619.1619.2519.2519.3019.3019.3319.33 98.4998.4999.0099.0099.1799.1799.2599.2599.3099.3099.3399.33 25254.244.243.393.392.992.992.762.762.602.602.492.49 7.777.775.575.

11、574.684.684.184.183.853.853.633.63 5第14頁/共38頁第十五頁，共38頁。16第15頁/共38頁第十六頁，共38頁。17第16頁/共38頁第十七頁，共38頁。18第二節(jié)第二節(jié) 實(shí)例實(shí)例(shl)8.1(shl)8.1的方差分的方差分析析第17頁/共38頁第十八頁，共38頁。19H0： 即即4個(gè)試驗(yàn)個(gè)試驗(yàn)(shyn)組總體均數(shù)相組總體均數(shù)相等等 H1：4個(gè)試驗(yàn)個(gè)試驗(yàn)(shyn)組總體均數(shù)不全相等組總體均數(shù)不全相等 檢驗(yàn)水準(zhǔn)檢驗(yàn)水準(zhǔn) 12340.05一、一、 建立建立(jinl)檢檢驗(yàn)假設(shè)驗(yàn)假設(shè)第18頁/共38頁第十九頁，共38頁。20表表8 - 1 不 同 解

12、 毒 藥不 同 解 毒 藥 對(duì) 應(yīng)對(duì) 應(yīng) 的 大 白 鼠 血 中 膽 鹼 脂的 大 白 鼠 血 中 膽 鹼 脂 酶 含 量酶 含 量 (/ m l ) 組 號(hào)組 號(hào)i 膽 鹼 脂 酶 含 量膽 鹼 脂 酶 含 量 ( Yi j) in jijY iY jijY2 1 2 3 1 2 1 8 1 6 2 8 1 4 6 111 1 8 . 5 2 2 3 3 . 0 2 2 8 3 1 2 3 2 4 2 8 3 4 6 1 6 8 2 8 . 0 4 7 9 0 . 0 3 1 4 2 4 1 7 1 9 1 6 2 2 6 11 2 1 8 . 7 2 1 6 2 . 0 4 8 1 2 2

13、 1 1 9 1 4 1 5 6 8 9 1 4 . 8 1 4 3 1 . 0 合 計(jì)合 計(jì) 7 3 7 9 7 9 7 8 8 6 8 5 2 4 4 8 0 2 0 . 0 1 0 6 1 6 . 0 四 種 解 毒 藥 的四 種 解 毒 藥 的 解 毒解 毒 效效 果 是果 是 否 相 同 ？否 相 同 ？ SiS1S2S3S4合計(jì)值5.99 4.15 3.78 4.71 6.65 第19頁/共38頁第二十頁，共38頁。21二、二、 計(jì)算計(jì)算(j sun)離均差平方、自由度、均離均差平方、自由度、均方方1 總 離 均 差 平 方 和 總 離 均 差 平 方 和總SS= 211inaij

14、ijYC=10616 (480)2/24 1016.0。 或或總SS (24-1)6.652=1016.0 總 自 由 度總 自 由 度總=24-1 23 。 2 組 間 離 均 差 平 方 和 組 間 離 均 差 平 方 和 21222221()11616811289480568.33666624inijjaiiYCSnS組間。 組 間 自 由 度組 間 自 由 度1=4-1=3， 組 間 均 方， 組 間 均 方組間MS333.568 189.44 。 3 組 內(nèi) 離 均 差 平 方 和 組 內(nèi) 離 均 差 平 方 和組內(nèi)SS 1016.0 568.33 447.67， 組內(nèi)SS (6-1

15、)5.992 (6-1)4.152+(6-1)3.782+(6-1)4.712 組 內(nèi) 自 由 度組 內(nèi) 自 由 度2=4(6-1)=20,組 內(nèi) 均 方組 內(nèi) 均 方組內(nèi)MS2067.447 22.38。 第20頁/共38頁第二十一頁，共38頁。22三、計(jì)算三、計(jì)算(j sun)F值值F38.2244.189 8.46 分 子分 子 分 母分 母 自 由 度自 由 度 分 別分 別 為為 ： 3， 20 列 于 方 差 分 析 表 中列 于 方 差 分 析 表 中 (見 表見 表 8-2)。 表表 8 - 2 大 白 鼠 血 中 膽 鹼 酯 酶 含 量 方 差 分 析 表大 白 鼠 血 中

16、膽 鹼 酯 酶 含 量 方 差 分 析 表 變 異 來 源變 異 來 源 SS MS F P 組 間組 間 568.33 3 189.44 8.46 0.00079 組 內(nèi)組 內(nèi) 447.67 20 22.38 總總 1016.00 23 第21頁/共38頁第二十二頁，共38頁。23四、下結(jié)論四、下結(jié)論查 附 表查 附 表 5 F 界 值 表 ， 得界 值 表 ， 得 F0 . 0 5 ( 3 , 2 0 )=3.10 。 由 于。 由 于 F F0 . 0 5 ( 3 , 2 0 )， 故 有 概 率故 有 概 率 P 0.05 ， 根 據(jù) 式， 根 據(jù) 式 (8.5)的 推的 推 斷 規(guī)

17、則 拒 絕 無 效 假 設(shè) ， 接 受斷 規(guī) 則 拒 絕 無 效 假 設(shè) ， 接 受 備 擇 假 設(shè) 。 處 理 因 素 的備 擇 假 設(shè) 。 處 理 因 素 的 4 個(gè) 水 平 中 至 少 有 一 個(gè) 組 的 總 體 平 均 值 不個(gè) 水 平 中 至 少 有 一 個(gè) 組 的 總 體 平 均 值 不 同 于 其 他同 于 其 他 各 組 。 從 表各 組 。 從 表 8.1 所 示 的 各所 示 的 各iY值 可 見 ， 不 同 解 毒 藥 物值 可 見 ， 不 同 解 毒 藥 物 的的 效效 果 是 不 同 的 。 解 毒 藥 物果 是 不 同 的 。 解 毒 藥 物 A 和和 C 與 空

18、白 對(duì) 照 組與 空 白 對(duì) 照 組 D 相相 近 。近 。 B 組 血 中 膽 鹼 脂 酶 含 量 較 其 他 組 為 高 。組 血 中 膽 鹼 脂 酶 含 量 較 其 他 組 為 高 。 注意：當(dāng)組數(shù)為注意：當(dāng)組數(shù)為2時(shí)，完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差時(shí)，完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析結(jié)果與兩樣本均數(shù)比較分析結(jié)果與兩樣本均數(shù)比較(bjio)的的t檢驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)結(jié)果等價(jià)，對(duì)同一資料等價(jià)，對(duì)同一資料,有：有：tF第22頁/共38頁第二十三頁，共38頁。24第三節(jié)第三節(jié) 平均值之間的多重比較平均值之間的多重比較(bjio)(bjio)不拒絕不拒絕H0，表示拒絕總體，表示拒絕總體(zngt)均數(shù)相等的均數(shù)相等的證據(jù)不足

19、證據(jù)不足 分析終止。分析終止。拒絕拒絕H0，接受，接受H1, 表示總體表示總體(zngt)均數(shù)不全均數(shù)不全相等相等哪兩兩均數(shù)之間相等？哪兩兩均數(shù)之間相等？哪兩兩均數(shù)之間不等？哪兩兩均數(shù)之間不等？ 需要進(jìn)一步作多重比較。需要進(jìn)一步作多重比較。第23頁/共38頁第二十四頁，共38頁。25控制累積控制累積類錯(cuò)誤概率增大類錯(cuò)誤概率增大(zn d)(zn d)的方法的方法采用采用(ciyng)Bonferroni法、法、SNK法和法和Tukey法等方法法等方法第24頁/共38頁第二十五頁，共38頁。26累積累積類錯(cuò)誤類錯(cuò)誤(cuw)(cuw)的概率為的概率為當(dāng)有當(dāng)有k個(gè)均數(shù)需作兩兩比較時(shí)，比較的次數(shù)共個(gè)

20、均數(shù)需作兩兩比較時(shí)，比較的次數(shù)共有有c= k!/(2!(k-2)!)=k(k-1)/2設(shè)每次檢驗(yàn)所用設(shè)每次檢驗(yàn)所用類錯(cuò)誤的概率水準(zhǔn)為類錯(cuò)誤的概率水準(zhǔn)為，累，累積積類錯(cuò)誤的概率為類錯(cuò)誤的概率為，則在對(duì)同一，則在對(duì)同一(tngy)實(shí)驗(yàn)資實(shí)驗(yàn)資料進(jìn)行料進(jìn)行c次檢驗(yàn)時(shí)，在樣本彼此獨(dú)立的條件下，根據(jù)概次檢驗(yàn)時(shí)，在樣本彼此獨(dú)立的條件下，根據(jù)概率乘法原理，其累積率乘法原理，其累積類錯(cuò)誤概率類錯(cuò)誤概率與與c有下列關(guān)系有下列關(guān)系：1(1)c (8.6)例如，設(shè)例如，設(shè)0.05，c=3(即即k=3)，其累積，其累積類類錯(cuò)誤的概率為錯(cuò)誤的概率為1(1-0.05)3 =1-(0.95)3 = 0.1432k 第25頁

21、/共38頁第二十六頁，共38頁。27一、一、BonferroniBonferroni法法方法：采用方法：采用(ciyng)/c作為下結(jié)論時(shí)作為下結(jié)論時(shí)所采用所采用(ciyng)的檢驗(yàn)水準(zhǔn)。的檢驗(yàn)水準(zhǔn)。c為兩兩比較次為兩兩比較次數(shù)，數(shù)， 為累積為累積I類錯(cuò)誤的概率。類錯(cuò)誤的概率。12,11ihiheYYYYtNaSMSnn組內(nèi)組內(nèi)（）第26頁/共38頁第二十七頁，共38頁。28例例8-18-1四個(gè)均值四個(gè)均值(jn zh)(jn zh)的的BonferroniBonferroni法法比較比較 設(shè)設(shè)/c0.05/6=0.0083,由此由此t的臨的臨界值為界值為t（0.0083/2,20）=2.92

22、7118.528.0(:),244201122.3866(:C)0.072.9271,(:)1.3523.482.92713.402.92714.832.9.9271(:), (:),(:)1.432271.9271t A Bt At A Dt B Ct BtBDC D 同理只有有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，其他與其他各無統(tǒng)計(jì)組間差異學(xué)意義。第27頁/共38頁第二十八頁，共38頁。29BonferroniBonferroni法的適用性法的適用性 當(dāng)比較次數(shù)不多時(shí)，當(dāng)比較次數(shù)不多時(shí)，Bonferroni法的效果法的效果較好。較好。 但當(dāng)比較次數(shù)較多但當(dāng)比較次數(shù)較多(例如在例如在10次以上次以上)時(shí)，時(shí)，則由于其

23、檢驗(yàn)水準(zhǔn)則由于其檢驗(yàn)水準(zhǔn)(shuzhn)選擇得過低，結(jié)選擇得過低，結(jié)論偏于保守。論偏于保守。第28頁/共38頁第二十九頁，共38頁。30二、二、SNKSNK法法 SNK(student-Newman-Keuls)法又稱q檢驗(yàn)，是根據(jù)q值的抽樣(chu yn)分布作出統(tǒng)計(jì)推論（例8-1）。1將各組的平均值按由大到小的順序排列： 順序(1)(2)(3)(4) 平均值28.018.718.514.8 原組號(hào)BCAD2. 計(jì)算兩個(gè)平均值之間的差值及組間跨度k，見表8-3第(2)、 (3)兩列。3. 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量q值4. 根據(jù)計(jì)算的q值及查附表6得到的q界值（p286），作出統(tǒng)計(jì)推斷。第29頁/共38頁第

24、三十頁，共38頁。31表表 8-3 SNK 法 兩 兩 比 較 的 計(jì) 算 用 表法 兩 兩 比 較 的 計(jì) 算 用 表 對(duì) 比 組對(duì) 比 組 兩 平 均 值 之 差兩 平 均 值 之 差 組 間 跨 度組 間 跨 度 統(tǒng) 計(jì) 量統(tǒng) 計(jì) 量 Q ( k , 2 0 )臨 界 值臨 界 值 概 率概 率 (i):(h) )(iY-)(hY k q =0.05 =0.01 P (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (1):(4) 13.2 4 6.83 3.96 5.02 0.01 (1):(3) 9.5 3 4.92 3.58 4.64 0.01 (1):(2) 9.3 2 4

25、.82 2.95 4.02 0.05 (2):(3) 0.2 2 0.10 2.95 4.02 0.05 (3):(4) 3.7 2 1.92 2.95 4.02 0.05 22.38 11112662ihihihYYYYqMSnn組內(nèi) 附表附表6第30頁/共38頁第三十一頁，共38頁。32Tukey 法 又 稱 為 真 正 顯 著 差法 又 稱 為 真 正 顯 著 差 (honestly significant difference ， HSD)法法 ,用用 單 一 值 作 為 判 斷 標(biāo) 準(zhǔn) 。 該 法 的 計(jì) 算 步 驟 為 ：單 一 值 作 為 判 斷 標(biāo) 準(zhǔn) 。 該 法 的 計(jì) 算

26、步 驟 為 ： 1 計(jì) 算 兩 兩 的 絕 對(duì) 差 值 計(jì) 算 兩 兩 的 絕 對(duì) 差 值 d( i , h )=hiYY。 結(jié) 果 見 表結(jié) 果 見 表 8-4 第第 2 行行 。 2 從 附 表 從 附 表 6 查 出查 出 =0.05 時(shí)時(shí) q( k , N - k )= q0 . 0 5 ( 4 , 2 0 )=3.96。 3.nMS1,組內(nèi)kNkqHSD3.9622.381 67.65 (8-12) 當(dāng) 兩 組 的 觀 察 例 數(shù) 不 相 等 時(shí) 用 例 數(shù) 較 少 的當(dāng) 兩 組 的 觀 察 例 數(shù) 不 相 等 時(shí) 用 例 數(shù) 較 少 的 ni代 替代 替 n。 4. 凡凡 d( i

27、 : h ) HSD， 則 拒 絕則 拒 絕 H0； 否 則 不 拒 絕； 否 則 不 拒 絕 H0。 表表8 - 4 H S D 法 計(jì) 算 用 表法 計(jì) 算 用 表 比 較 組比 較 組 AY-BY AY-CY AY-DY BY-CY BY-DY CY-DY 絕 對(duì) 差絕 對(duì) 差d 9 . 5 0 . 2 3 . 7 9 . 3 1 3 . 2 3 . 9 結(jié) 果 判 斷結(jié) 果 判 斷 拒 絕拒 絕H0 不 拒 絕不 拒 絕H0 不 拒 絕不 拒 絕H0 拒 絕拒 絕H0 拒 絕拒 絕H0 不 拒 絕不 拒 絕H0 第31頁/共38頁第三十二頁，共38頁。33第四節(jié)第四節(jié) 方差分析的假定條

28、件和數(shù)據(jù)方差分析的假定條件和數(shù)據(jù)(shj)(shj)轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換 一、方差分析的假定條件（上述條件與兩均數(shù)比較的t檢驗(yàn)的應(yīng)用條件相同。）1.各處理(chl)組樣本來自隨機(jī)、獨(dú)立的正態(tài)總體(D法、W法、卡方檢驗(yàn))；2.各處理(chl)組樣本的總體方差相等（不等會(huì)增加I型錯(cuò)誤的概率，影響方差分析結(jié)果的判斷） 二、方差齊性檢驗(yàn)1. Bartlett檢驗(yàn)法2. Levene等3. 最大方差與最小方差之比3,初步認(rèn)為方差齊同。第32頁/共38頁第三十三頁，共38頁。34H0：各總體方差齊同，：各總體方差齊同，H1：各總體方差不齊。：各總體方差不齊。 kiiiCSnSkNC1222ln)1(ln)(1 1 k 誤差誤差MSnXXSkiikinjiijCi 11122)1()(； kNnkCkii1)1(1)1(3111 式中式中 k 為組數(shù)，為組數(shù)，in為各組例數(shù)，為各組例數(shù)，N 為總例數(shù)，為總