華東師大版七年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三專題2.7有理數(shù)混合運(yùn)算的八種技巧(原卷版+解析)

專題2.7有理數(shù)混合運(yùn)算的八種技巧【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【技巧1巧用湊整法計(jì)算】 1【技巧2運(yùn)用拆項(xiàng)法計(jì)算】 1【技巧3巧妙組合法計(jì)算】 2【技巧4相互轉(zhuǎn)化法計(jì)算】 2【技巧5裂項(xiàng)相消法計(jì)算】 3【技巧6巧用分配律計(jì)算】 3【技巧7巧用倒數(shù)法計(jì)算】 4【技巧8變形相加法計(jì)算】 5【技巧1巧用湊整法計(jì)算】【例1】（重慶市2023-2024學(xué)年七年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）計(jì)算：?87.21+5319【變式1-1】（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·七年級校聯(lián)考期中）計(jì)算：3【變式1-2】（2023秋·七年級單元測試）計(jì)算：?21【變式1-3】（2023秋·廣西崇左·七年級?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：0.125+31【技巧2運(yùn)用拆項(xiàng)法計(jì)算】【例2】（2023秋·全國·七年級期末）閱讀下面的計(jì)算過程，體會“拆項(xiàng)法”計(jì)算：?5解：原式=(?5?9+17?3)+?56?23+34啟發(fā)應(yīng)用，用上面的方法完成下列計(jì)算：?3【變式2-1】（2023秋·山東德州·七年級校考階段練習(xí)）計(jì)算：?5【變式2-2】（2023秋·山東濟(jì)寧·七年級統(tǒng)考期中）計(jì)算：?2021【變式2-3】（2023秋·山東德州·七年級?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：(1)+357(2)?20185【技巧3巧妙組合法計(jì)算】【例3】（2023秋·全國·七年級期末）計(jì)算1+2?3?4+5+6?7?8+?+2017+2018?2019?2020值為（

）A．0 B．﹣1 C．2020 D．-2020【變式3-1】（2023秋·河南洛陽·七年級統(tǒng)考期末）計(jì)算1+2?3?4+5+6?7?8+?+2017+2018?2019?2020+2021的值為（

）A．1 B．0 C．2021 D．?2021【變式3-2】（2023·全國·七年級專題練習(xí)）1?3?5+7+9?11?13+15+?+2009?2011?2013+2015=．【變式3-3】（2023·全國·七年級專題練習(xí)）計(jì)算：1?2?3+4+5?6?7+8+.…+2020+2021結(jié)果為．【技巧4相互轉(zhuǎn)化法計(jì)算】【例4】（2023春·上?！て吣昙壣虾Ｊ羞M(jìn)才實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校?0.375【變式4-1】（2023·全國·七年級假期作業(yè)）計(jì)算：(1)?3÷(2)?1【變式4-2】（2023秋·貴州銅仁·七年級?？茧A段練習(xí)）乘除計(jì)算：1.25÷(?0.5)÷(?2【變式4-3】（2023秋·全國·七年級期末）計(jì)算：8÷?1【技巧5裂項(xiàng)相消法計(jì)算】【例5】（2023秋·七年級課時(shí)練習(xí)）閱讀下列材料：計(jì)算：1解：原式=1?這種求和方法稱為“裂項(xiàng)相消法”，請你參照此法計(jì)算：222【變式5-1】（2023秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·七年級?？计谥校┯?jì)算：(1)11×2(2)計(jì)算1【變式5-2】（2023秋·山東淄博·七年級統(tǒng)考期中）計(jì)算：11×2(3)1?1×3【變式5-3】（2023秋·廣東佛山·七年級校考階段練習(xí)）閱讀第①小題計(jì)算方法，再類比計(jì)算第②小題．（1）①?5解：原式===0+=?11上面這種方法叫做拆項(xiàng)法．②計(jì)算：?20225（2）①1?122=1②計(jì)算：1?1【技巧6巧用分配律計(jì)算】【例6】（2023秋·廣東惠州·七年級?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：?2【變式6-1】（2023春·浙江衢州·七年級?？茧A段練習(xí)）計(jì)算題，要求寫出具體計(jì)算過程：(1)713(2)?62【變式6-2】（2023秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·七年級統(tǒng)考期末）（1）?99【變式6-3】（2023春·上海寶山·七年級?？茧A段練習(xí)）計(jì)算下列各題：(1)?24×(2)?????【技巧7巧用倒數(shù)法計(jì)算】【例7】（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期中）閱讀下面材料，然后回答問題．計(jì)算?解法一：原式==?=解法二：原式===?=?解法三：原式的倒數(shù)為2===?20+3?5+12=?10故原式=?(1)上述得出的結(jié)果各不同，肯定有錯(cuò)誤的解法，但是三種解法中有一種解法是正確的，請問：正確的解法是解法__________；(2)根據(jù)材料所給的正確方法，計(jì)算：?【變式7-1】（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）計(jì)算：?【變式7-2】（2023秋·重慶墊江·七年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：(?7【變式7-3】（2023秋·河南南陽·七年級統(tǒng)考期中）數(shù)學(xué)老師布置了一道思考題“計(jì)算”：?小華的解法：(?112)÷13大白的解法：原式的倒數(shù)為13=1=?4+10……………第三步=6…………………第四步所以?反以兩位同學(xué)的解法，請你回答下列問題：(1)兩位問學(xué)的解法中，_______同學(xué)的解答正確；(2)大白解法中，第二步到第三步的運(yùn)算依據(jù)是____________________.(3)用一種你喜歡的方法計(jì)算：?【技巧8變形相加法計(jì)算】【例8】計(jì)算：【變式8-1】計(jì)算：1+2+3+4+?+55【變式8-2】計(jì)算：M=5+2×5令M=1+5+52+53+……+551，

則5M=5+52+5【變式8-3】計(jì)算：11+11專題2.7有理數(shù)混合運(yùn)算的八種技巧【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【技巧1巧用湊整法計(jì)算】 1【技巧2運(yùn)用拆項(xiàng)法計(jì)算】 2【技巧3巧妙組合法計(jì)算】 5【技巧4相互轉(zhuǎn)化法計(jì)算】 6【技巧5裂項(xiàng)相消法計(jì)算】 8【技巧6巧用分配律計(jì)算】 11【技巧7巧用倒數(shù)法計(jì)算】 13【技巧8變形相加法計(jì)算】 17【技巧1巧用湊整法計(jì)算】【例1】（重慶市2023-2024學(xué)年七年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）計(jì)算：?87.21+5319【答案】?3【分析】原式交換再結(jié)合后，相加即可得到結(jié)果；【詳解】解：?87.21+53==?100+97=?3；【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·七年級校聯(lián)考期中）計(jì)算：3【答案】?4【分析】先去括號，計(jì)算同分母加減法，再計(jì)算；【詳解】解：3=3=3=2?6=?4；【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的加減計(jì)算，正確掌握有理數(shù)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023秋·七年級單元測試）計(jì)算：?21【答案】5【分析】先根據(jù)去括號法則去括號，再根據(jù)加法交換律和結(jié)合律簡便計(jì)算即可；【詳解】解：?2===?1+5+1=5；【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加法運(yùn)算，掌握各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2023秋·廣西崇左·七年級?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：0.125+31【答案】0【分析】根據(jù)有理數(shù)加法的簡便計(jì)算法則求解即可；【詳解】解：原式==?3+3=0；【點(diǎn)睛】有理數(shù)的加法計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【技巧2運(yùn)用拆項(xiàng)法計(jì)算】【例2】（2023秋·全國·七年級期末）閱讀下面的計(jì)算過程，體會“拆項(xiàng)法”計(jì)算：?5解：原式=(?5?9+17?3)+?56?23+34啟發(fā)應(yīng)用，用上面的方法完成下列計(jì)算：?3【答案】?47【分析】將原式利用“拆項(xiàng)法”得出原式=(?3?1+2?2)+(?310?【詳解】解：?3=(?3?1+2?2)+(?310=?4+(?710=?4710【點(diǎn)睛】題目主要考查有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，理解題干中的“拆項(xiàng)法”是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2023秋·山東德州·七年級?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：?5【答案】原式===0+=?1【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握題目給出的“拆項(xiàng)法”是解答本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023秋·山東濟(jì)寧·七年級統(tǒng)考期中）計(jì)算：?2021【答案】?【分析】將?202156、?202023、【詳解】解：原式===0+=?4【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算及方法拓展，解題關(guān)鍵是看懂題目，并根據(jù)題目所給示例進(jìn)行正確拆分．【變式2-3】（2023秋·山東德州·七年級校考階段練習(xí)）計(jì)算：(1)+357(2)?20185【答案】(1)12(2)?2【分析】（1）依據(jù)“拆項(xiàng)法”計(jì)算即可；（2）依據(jù)“拆項(xiàng)法”計(jì)算即可．【詳解】（1）+35===12+=121（2）?2018===0+=?2．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握題目給出的“拆項(xiàng)法”是解答本題的關(guān)鍵．【技巧3巧妙組合法計(jì)算】【例3】（2023秋·全國·七年級期末）計(jì)算1+2?3?4+5+6?7?8+?+2017+2018?2019?2020值為（

）A．0 B．﹣1 C．2020 D．-2020【答案】D【分析】根據(jù)加法的結(jié)合律四個(gè)四個(gè)一組結(jié)合起來，每一組的和都等于-4,共505組,計(jì)算即可．【詳解】解：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+……+2017+2018-2019-2020=（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+（9+10-11-12）+……+（2017+2018-2019-2020）=（-4）+（-4）+（-4）+（-4）+……+（-4）=（-4）×505＝-2020．故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，觀察出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023秋·河南洛陽·七年級統(tǒng)考期末）計(jì)算1+2?3?4+5+6?7?8+?+2017+2018?2019?2020+2021的值為（

）A．1 B．0 C．2021 D．?2021【答案】A【分析】從第二項(xiàng)開始，利用加法的結(jié)合律每相鄰兩項(xiàng)結(jié)合相加，結(jié)果依次為－1和1循環(huán)，而其和為0，且共有1010個(gè)0，最后可求得和的值．【詳解】1+2?3?4+5+6?7?8+?+2017+2018?2019?2020+2021=1+(2?3)+(?4+5)+(6?7)+(?8+9)+?+(2018?2019)+(?2020+2021)=1?1+1?1+1+??1+1=1+=1故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減運(yùn)算及加法的結(jié)合律，關(guān)鍵是運(yùn)用加法的結(jié)合律，抓住相鄰兩項(xiàng)的和為1或－1的特點(diǎn)，從而問題得以解決．【變式3-2】（2023·全國·七年級專題練習(xí)）1?3?5+7+9?11?13+15+?+2009?2011?2013+2015=．【答案】0【分析】通過觀察，每四項(xiàng)結(jié)合在一起，每一項(xiàng)結(jié)果為0，然后將原式利用加法結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算．【詳解】原式＝1?3?5+7＝0，故填：0．【點(diǎn)睛】本題考查了加法中的巧算問題，熟練應(yīng)用加法結(jié)合律是關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·全國·七年級專題練習(xí)）計(jì)算：1?2?3+4+5?6?7+8+.…+2020+2021結(jié)果為．【答案】2021【分析】根據(jù)運(yùn)算式子歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得．【詳解】觀察式子可知，1?2?3+4=0，5?6?7+8=0，歸納類推得：從第1個(gè)數(shù)開始，每4個(gè)數(shù)的運(yùn)算結(jié)果都等于0，∵505×4+1=2021，∴1?2?3+4+5?6?7+8+.…+2020+2021，=1?2?3+4=505×0+2021，=2021，故答案為：2021．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)加減混合運(yùn)算的規(guī)律性問題，正確歸納出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．【技巧4相互轉(zhuǎn)化法計(jì)算】【例4】（2023春·上海·七年級上海市進(jìn)才實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校?0.375【答案】?【分析】先統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)，再算乘除即可．【詳解】原式=?【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·全國·七年級假期作業(yè)）計(jì)算：(1)?3÷(2)?1【答案】(1)18(2)?5【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算法則及運(yùn)算順序計(jì)算即可得到答案．【詳解】（1）解：?3=3×=18；（2）解：?=?=?5；【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)加減乘除的運(yùn)算法則及運(yùn)算順序是解決問題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023秋·貴州銅仁·七年級?？茧A段練習(xí)）乘除計(jì)算：1.25÷(?0.5)÷(?2【答案】1【詳解】1.25÷(?0.5)÷(?2=5=1；【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，按照從左至右的運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算與乘法分配律的應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023秋·全國·七年級期末）計(jì)算：8÷?1【答案】?60【分析】根據(jù)有理數(shù)乘除混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】原式=8×=?8×12.5×=?60．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【技巧5裂項(xiàng)相消法計(jì)算】【例5】（2023秋·七年級課時(shí)練習(xí)）閱讀下列材料：計(jì)算：1解：原式=1?這種求和方法稱為“裂項(xiàng)相消法”，請你參照此法計(jì)算：222【答案】14949【分析】先計(jì)算分母，再根據(jù)“裂項(xiàng)相消法”計(jì)算可得答案．【詳解】解：22=2=2=1?=1+=1494910100故答案為：1494910100【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)混合運(yùn)算，正確理解題意掌握解題的方法是解此題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·七年級?？计谥校┯?jì)算：(1)11×2(2)計(jì)算1【答案】(1)4(2)2020【分析】（1）根據(jù)題中所給式子進(jìn)行變形求解即可；（2）結(jié)合（1）中的計(jì)算方法求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：1==1?=4故答案為：4（2）1==1?=2020【點(diǎn)睛】題目主要考查有理數(shù)的加減混合運(yùn)算及乘法運(yùn)算，找出相應(yīng)規(guī)律進(jìn)行計(jì)算求解是解題關(guān)鍵．【變式5-2】（2023秋·山東淄博·七年級統(tǒng)考期中）計(jì)算：11×2(3)1?1×3【答案】(1)59(2)?【分析】（1），把每一個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行裂項(xiàng)，由有理數(shù)的加減法則即可完成計(jì)算；（2）先變形，再把每個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行裂項(xiàng)，最后進(jìn)行加減乘運(yùn)算即可．【詳解】（1）1=1?=1?1=1?1=99（2）1=?1=?1=?1=?1=?1011【變式5-3】（2023秋·廣東佛山·七年級?？茧A段練習(xí)）閱讀第①小題計(jì)算方法，再類比計(jì)算第②小題．（1）①?5解：原式===0+=?11上面這種方法叫做拆項(xiàng)法．②計(jì)算：?20225（2）①1?122=1②計(jì)算：1?1【答案】（1）②?2（2）②2023【分析】（1）②仿照前面解法求解即可．（2）②仿照前面解法求解即可．【詳解】（1）②?2022=[(?2022)+(?=[(?2022)+(?2022)+(?1)+4045]+[(?=0+(?2)=?2．（2）②因?yàn)??122=1所以原式=1=12【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的特殊運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．【技巧6巧用分配律計(jì)算】【例6】（2023秋·廣東惠州·七年級?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：?2【答案】?22【分析】先根據(jù)有理數(shù)乘方運(yùn)算和乘法分配律的乘法運(yùn)算，再加減運(yùn)算即可求解．【詳解】解：?=?16?=?16?=?16?6=?22．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是解答的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡便計(jì)算．【變式6-1】（2023春·浙江衢州·七年級校考階段練習(xí)）計(jì)算題，要求寫出具體計(jì)算過程：(1)713(2)?62【答案】(1)?14(2)?14【分析】（1）利用乘法分配律合并計(jì)算；（2）先算乘方和括號內(nèi)的，再算乘法，最后算減法；【詳解】（1）7===?14；（2）?6=36×=36×=18?24?8=?14；【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算首先弄清運(yùn)算順序，先乘方，再乘除，最后算加減，有括號先算括號里邊的，同級運(yùn)算從左到右依次進(jìn)行計(jì)算，然后利用各自運(yùn)算法則計(jì)算，有時(shí)可以利用運(yùn)算律來簡化運(yùn)算．【變式6-2】（2023秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·七年級統(tǒng)考期末）（1）?99【答案】?19798【分析】利用乘法分配律計(jì)算即可；【詳解】原式==?100×198+=?19800+2=?19798；【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，注意利用乘法分配律進(jìn)行簡算是解題的關(guān)鍵，也需要注意有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序．【變式6-3】（2023春·上海寶山·七年級?？茧A段練習(xí)）計(jì)算下列各題：(1)?24×(2)?????【答案】(1)13(2)?5【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)乘法分配律求解即可；（2）根據(jù)有理數(shù)四則混合計(jì)算法則求解即可；【詳解】（1）解：原式==20?9+2=13（2）解：原式==?=?5【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【技巧7巧用倒數(shù)法計(jì)算】【例7】（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期中）閱讀下面材料，然后回答問題．計(jì)算?解法一：原式==?=解法二：原式===?=?解法三：原式的倒數(shù)為2===?20+3?5+12=?10故原式=?(1)上述得出的結(jié)果各不同，肯定有錯(cuò)誤的解法，但是三種解法中有一種解法是正確的，請問：正確的解法是解法__________；(2)根據(jù)材料所給的正確方法，計(jì)算：?【答案】(1)三(2)?【分析】（1）根據(jù)除法運(yùn)算法則，正負(fù)號變化規(guī)則，倒數(shù)的定義和乘法運(yùn)算法則判斷即可；（2）根據(jù)解法三，先求倒數(shù)，將除法化為乘法，再求倒數(shù)即可；【詳解】（1）解：解法一中原式=將除數(shù)23解法二中原式=?130解法三中先化為倒數(shù)，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，利用乘法分配律計(jì)算后再求倒數(shù)是正確的；故正確解法是三；（2）解：解：原式的倒數(shù)為1===?7+9?28+12=?14故原式=?1【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘除運(yùn)算法則，利用一個(gè)非零數(shù)的倒數(shù)的倒數(shù)是自身是解題關(guān)鍵．【變式7-1】（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）計(jì)算：?【答案】1【分析】根據(jù)題意的算法進(jìn)行運(yùn)算，即可求得結(jié)果．【詳解】解：原式的倒數(shù)是?==5+8?18+30=25故原式=1【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解題意，正確運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023秋·重慶墊江·七年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：(?7【答案】?【分析】可以先求出所求式子的倒數(shù)的結(jié)果，然后再寫出所求式子的結(jié)果即可．【詳解】原式的倒數(shù)為：(1==?2+1+(?=?5∴(?7【點(diǎn)睛】本