全等三角形(最全面的資料)(共24頁(yè))

1、最優(yōu)的講義 圓學(xué)霸之夢(mèng) 第三章 全等三角形專題二、全等三角形的判定知識(shí)點(diǎn)：三角形全等的條件：1. 三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”）如圖：在ABC和ABC中，AB= AB，BCBC，ACAC，可以判定ABCABC。2.兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”）如圖：如圖：在ABC和ABC中，AB= AB,ABC=ABC,BCBC，可以判定ABCABC。3.兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）如圖：在ABC和ABC中，B=B，BCBC， C=C可以判定ABCABC。4. 角邊角（ASA）公理推論：

2、有兩個(gè)角和一角所對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（簡(jiǎn)稱為“角邊角”或“ASA”）。如圖：在ABC和ABC中，B=B， C=C，AC=AC?？梢耘卸ˋBCABC。5.斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊，直角邊”或“HL”）如圖：在RtABC和RtABC中，B=B90，AB=AB，AC=AC?？梢耘卸ˋBCABC。補(bǔ)充：1、中30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一般。 2、斜邊上的中線等于斜邊的一半。典型例題：1.已知兩邊 例1.如圖所示，AD=AE，點(diǎn)D、E在BC上，BD=CE，1=2。試說(shuō)明ABDACE。 變式練習(xí)：1.如圖，已知AF=AE，AC=AD，CF與DE交于點(diǎn)B。求

3、證：ACFADE。2.如圖，AC=BD，AB=DC，求證：B=C。3.如圖，A、E、F、B四點(diǎn)在一條直線上，ACCE，BDDF，AE=BF，AC=BD，求證：CF=DE。能力提升：1.如圖所示，ABC和ADE都是等腰直角三角形，且BAC=EAD=，連接BD、CE.（1）求證：BD=CE；（2）觀察圖形，猜想BD和CE之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。2. 已知如圖：BE、CF是ABC中AC、AB上的高，在射線BE上截取BP=AC，在射線CF上截取CQ=AB。求證：（1）AP=AQ；（2）APAQ。2.已知一邊一角 例2.如圖所示，點(diǎn)E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，B=C。試說(shuō)明ABFDC

4、E。 變式練習(xí)：1.已知：如圖，AB=AE，1=2，B=E。求證：BC=ED。2.如圖，點(diǎn)A、B、D、E在同一直線上，AD=EB，BCDF，C=F。求證：AC=EF。3.如圖4，已知ABAC，ADAG，AEBG交BG的延長(zhǎng)線于E，AFCD交CD的延長(zhǎng)線于F。求證：AEAF 能力提升：1. 如圖：已知在ABC中，BAC=90°，AB=AC。AE是過(guò)點(diǎn)A的直線，BDAE于點(diǎn)D，CEAE于點(diǎn)E，求證：BD=CE+DE。2. 如圖所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是CD上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA，分別過(guò)點(diǎn)B、D作BEPA、DFPA，垂足為點(diǎn)E、F。（1）請(qǐng)?zhí)剿鰾E、DF、EF這三條線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系。

5、若P在DC的延長(zhǎng)線上（如圖），那么這三條線段的長(zhǎng)度之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？若點(diǎn)P在CD的延長(zhǎng)線上呢（如圖）？請(qǐng)分別直接寫(xiě)出結(jié)論；（2）請(qǐng)?jiān)冢?）中的三個(gè)結(jié)論中選擇一個(gè)加以證明。 3. 如圖所示在ABC中，BAC=90°，AB=AC，AE是過(guò)A點(diǎn)的一條直線，且B點(diǎn)和C點(diǎn)在AE的異側(cè)，BDAE于D點(diǎn)，CEAE于E點(diǎn)。（1）求證：BD=DE+CE；（2）若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖所示的位置時(shí)（BDCE），其余條件不變，問(wèn)BD與DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)予以證明；（3）若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置時(shí)（BDCE），其余條件不變，BD與DE、CE的關(guān)系如何？直接寫(xiě)出結(jié)果，不需證明；（4）歸納

6、前三小題，用簡(jiǎn)捷的語(yǔ)言表述BD、DE、CE之間的關(guān)系。 3.已知兩角 例3.如圖所示，AB、CD交于點(diǎn)O，E、F為AB上兩點(diǎn)，OA=OB，OE=OF，A=B，ACE=BDF，試說(shuō)明ACEBDF。 變式練習(xí)：1.如圖2，已知點(diǎn)A、B、C、D在同一直線上，ACBD，AMCN，BMDN。求證：AMCN. 2.如圖，CDAB，BEAC，垂足分別為D、E，BE與CD相交于點(diǎn)O，且1=2，求證：BD=CE。能力提升：如圖，在ABC中，B=2C，AD是ABC的角平分線，1=C,求證AC=AB+BD。專題三、構(gòu)造全等三角形1.平移（平行線）構(gòu)造全等三角形ABCPQDO例1、ABC中，BAC=60°，

7、C=40°AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q， 求證：AB+BP=BQ+AQ說(shuō)明：本題也可以在AB截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長(zhǎng)補(bǔ)短法” OABCPQD圖（2）ABCPQDE圖（3）O（2）本題利用“平行法”解法也較多，舉例如下：如圖（2），過(guò)O作ODBC交AC于D，則ADOABO來(lái)解決如圖（3），過(guò)O作DEBC交AB于D，交AC于E，則ADOAQO，ABOAEO來(lái)解決如圖（4），過(guò)P作PDBQ交AB的延長(zhǎng)線于D，則APDAPC來(lái)解決ABCPQ圖（5）DOABCPQ圖（4）DO如圖（5），過(guò)P作PDBQ交AC于D，則ABPADP來(lái)解決2.翻折構(gòu)造全等

8、三角形例2.如圖所示，已知ABC中，AC=BC，ACB=90°，BD平分ABC，試說(shuō)明AB=BC+CD。變式練習(xí)1、如圖，在四邊形ABCD中，AC平分BAD,過(guò)C作CEAB于E，并且,求ABC+ADC的度數(shù)。2、已知：AC平分BAD，CEAB，B+D=180°，求證：AE=AD+BE 3、如圖所示，四邊形ABCD中，AC平分DAB，若ABAD，DC=BC，試說(shuō)明B+D=180°。3.旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形例3.以ABC，AB、AC為邊分別作正方形ADEB、ACGF，連接DC、BF。(1)利用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)，在此題中，ADC繞著 點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 度可以得到 。(2)CD與BF相等嗎

9、？請(qǐng)說(shuō)明理由。(3)CD與BF互相垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。變式練習(xí)：1、已知：正方形ABCD中，MAN=45°，MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M，N當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)（如圖1），易證BM+DN=MN（1）當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMDN時(shí)（如圖2），線段BM，DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出猜想，并加以證明MBCN圖3AD（2）當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由BCNM圖2ADBCNM圖1AD2.如圖，在正方形ABCD的邊BC、CD上取E、F兩點(diǎn)，使EAF=45°，AH

10、EF于H。求證：AH=AB。4.截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形例4.如圖所示，ABC中，C=2B，1=2，試說(shuō)明AB=AC+CD。變式練習(xí)：1.如圖，在中，。2.如圖，已知正方形ABCD中，BAC的平分線交BC于E，求證：AB+BE=AC 3.如圖，點(diǎn)M為正三角形ABD的邊AB所在直線上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)B除外)，作DMN=60°，射線MN與DBA外角的平分線交于點(diǎn)N，DM與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系? 4.操作：如圖所示，ABC是正三角形，BDC是頂角BDC=120°的等腰三角形，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接MN。探究：線段BM、MN

11、、NC之間的關(guān)系，并加以證明。 說(shuō)明：（1）如果你經(jīng)過(guò)反復(fù)探索，沒(méi)有找到解決問(wèn)題的方法，請(qǐng)你把探索過(guò)程中的某種思路寫(xiě)出來(lái)（要求至少寫(xiě)3步）；（2）在你經(jīng)過(guò)說(shuō)明（1）的過(guò)程之后，可以從下列的條件中選取一個(gè)補(bǔ)充或更換已知條件，完成你的證明。AN=NC（如圖1-22所示）；DMAC（如圖1-22所示）。附加題：若點(diǎn)M、N分別是射線AB、CA上的點(diǎn)，其他條件不變，再探索線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，在圖1-22中畫(huà)出圖形，并說(shuō)明理由。5. 如圖所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是CD上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA，分別過(guò)點(diǎn)B、D作BEPA、DFPA，垂足為點(diǎn)E、F。（1）請(qǐng)?zhí)剿鰾E、DF、EF這三條線段有怎樣的數(shù)量

12、關(guān)系。若P在DC的延長(zhǎng)線上（如圖），那么這三條線段的長(zhǎng)度之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？若點(diǎn)P在CD的延長(zhǎng)線上呢（如圖）？請(qǐng)分別直接寫(xiě)出結(jié)論；（2）請(qǐng)?jiān)冢?）中的三個(gè)結(jié)論中選擇一個(gè)加以證明。 6.如圖1，已知在ABC中，AB=AC，CG是AB上的高，D是BC上一點(diǎn)，且DEAB于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F。（1）求證：DE+DF=CG；（2）如圖2，在ABC中，AB=AC，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)G在AC的延長(zhǎng)線上，DGAC于點(diǎn)G，DEAB于點(diǎn)E，CFAB于點(diǎn)F。求證：.7. 如圖，梯形ABCD中，ADBC，DCB=45°，BDCD過(guò)點(diǎn)C作CEAB于E，交對(duì)角線BD于F，點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，連接EG、

13、AF求證：CF=AB+AF5.倍長(zhǎng)中線法構(gòu)造全等三角形例6. 閱讀下面的題目及分析過(guò)程，并按要求進(jìn)行證明。已知：如圖1-23所示，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且BAE=D。求證：AB=CD。分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)公理或等腰三角形的判定定理，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等。因此，要證明AB=CD ，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形。先給出如下三種添輔助線的方法，如圖1-24（1）（2）（3）所示，請(qǐng)任意選擇其中一種，對(duì)原題進(jìn)行證明。 （1） （2） （3）變式練習(xí)：1.如圖所示，在ABC中

14、，AB=AC，D是AD上一點(diǎn)，E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=CE，DE交BC于點(diǎn)F，你認(rèn)為DF與EF之間有什么關(guān)系？你能證明嗎？2. 在ABC中，D是BC中點(diǎn)，EDDF。試判斷：BE+CF與EF的關(guān)系？3.如圖所示，在ABC中，AD是BAC的角平分線，且AE=AF。若點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，求證：BE=CF=(AB+AC)。專題四、方程思想和轉(zhuǎn)化思想的體會(huì)1.方程思想例1.在ABC中，若3A=5B，3C=2B。試判斷ABC的形狀。例2.在ABC中，AB=AC=12cm，BC=6cm，D為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度沿BAC的方向運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過(guò)D、P兩點(diǎn)的直線將ABC的

15、周長(zhǎng)分為兩個(gè)部分，使其中一個(gè)部分是另一個(gè)部分的2倍，那么t的值為多少？變式練習(xí)：1.如圖所示，AB=12米，CAAB于A，BDAB于B，且AC=4米，P點(diǎn)從B向A運(yùn)動(dòng)每分鐘走1米，Q點(diǎn)從B向D運(yùn)動(dòng)，每分鐘走2米，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)幾分鐘后，CAP和PQB全等，試說(shuō)明理由。2.轉(zhuǎn)化思想例2.（1）如圖所示，A、E、F、C四點(diǎn)在一條直線上，AE=CF，過(guò)E、F分別作DEAC，BFAC，若AB=CD，試說(shuō)明FG=EG；（2）若將DEC沿AC方向移動(dòng)變?yōu)槿鐖D所示，其他條件不變，上述結(jié)論是否仍成立？請(qǐng)說(shuō)明理由。變式練習(xí)：1.如圖所示，線段BE上有一點(diǎn)C，以BC、CE為邊分別在BE的同側(cè)作等邊三角形

16、ABC、DCE，連接AE、BD，分別交CD、CA于Q、P。（1）找出圖中的幾組全等三角形，又有那幾組相等的線段？（2）取AE的中點(diǎn)M，BD的中點(diǎn)N，連接MN，試判斷CMN的形狀。 例3.如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，且EF交正方形外角的平行線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證，所以在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫(xiě)

17、出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由； （2）小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫(xiě)出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由變式練習(xí)1.（2014.齊齊哈爾）在等腰直角三角形ABC中，BAC=90°，AB=AC，直線MN過(guò)點(diǎn)A且MNBC，過(guò)點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作RtBDE，BDE=90°，且點(diǎn)D在直線MN上（不與點(diǎn)A重合）。（1） 如圖1，DE與AC交于點(diǎn)P，求證：BD=DP。（2） 如圖2，DE與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，BD=DP是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。（

18、3） 如圖3，DE與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，BD與DP是否相等？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論，無(wú)需證明。中考鏈接：1. (2014初二聯(lián)賽初賽）如圖，已知ABC和DBE均為等腰直角三角形，且P、Q、M分別為AD、AC、CE的中點(diǎn)，BCD的平分線與CBD的平分線交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FGDC于點(diǎn)G，ABC=DBE=90°，A、B、D三點(diǎn)共線。（1） 求證：AE=CD；（2） 若PQ=，求PM的值；（3） 求證：AD=CD+2FG。2、在ABC中，AB=AC，CGBA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G一等腰直角三角尺按如圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)

19、B（1）在圖1中請(qǐng)你通過(guò)觀察，測(cè)量BF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫(xiě)出BF與CG滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）當(dāng)三角尺沿AC方向平移到圖2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交BC邊于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DEBA于點(diǎn)E，此時(shí)請(qǐng)你再測(cè)量DE、DF與CG的長(zhǎng)度，猜想寫(xiě)出DE+DF與CG間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）當(dāng)三角尺在（2）的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)平移到圖3所示的位置（點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合）時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由。3（2014重慶A,第24題10分）如圖，ABC中，BAC=90°，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于點(diǎn)E在ABC外有一點(diǎn)F，使FAAE，F(xiàn)CBC（1）求證：BE=CF；（2）在AB上取一點(diǎn)M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點(diǎn)N，連接ME求證：MEBC；DE=DN4(2014年四川資陽(yáng)，第23題11分)如圖，已知直線l1l2，線段AB在直線l1上，