大學物理教程

1、第一篇第一篇 力學力學 力學力學( (mechanics) )是研究物體是研究物體機械運動機械運動的規(guī)律及其應用的的規(guī)律及其應用的科學。通常把經典力學分為科學。通常把經典力學分為運動學運動學（kinematics) )、動力學動力學( (dynamics) )和靜力學和靜力學( (statics) )。運動學：研究物體運動學：研究物體運動的描述運動的描述。動力學：研究物體運動與物體間動力學：研究物體運動與物體間相互作用相互作用的聯(lián)系及其規(guī)律。的聯(lián)系及其規(guī)律。靜力學：研究物體在相互作用下的平衡問題。靜力學：研究物體在相互作用下的平衡問題。一、絕對空間和絕對時間一、絕對空間和絕對時間絕對空間絕對空

2、間：空間是客觀的，與物質、物質的運動無關，：空間是客觀的，與物質、物質的運動無關， 空間的測量是絕對的?？臻g的測量是絕對的。絕對時間絕對時間：時間的存在是絕對的，與物質、物質的運動：時間的存在是絕對的，與物質、物質的運動 無關，時間的測量是絕對的。無關，時間的測量是絕對的。二、空間的測量二、空間的測量從宇宙范圍的尺度從宇宙范圍的尺度 微觀粒子尺度微觀粒子尺度m1026m1015 三、時間的測量三、時間的測量宇宙的年齡大約是宇宙的年齡大約是微觀粒子的最短壽命是微觀粒子的最短壽命是s1018s1024 1.1 空間和時間空間和時間經典力學應用的是絕對時空觀的概念。經典力學應用的是絕對時空觀的概念。

3、米是米是1299792458秒的時間間隔內光在真空中行程的長度。秒的時間間隔內光在真空中行程的長度。 秒是銫秒是銫-133原子基態(tài)的兩個超精細能級之間躍遷所對應的原子基態(tài)的兩個超精細能級之間躍遷所對應的輻射的輻射的9192631770個周期的持續(xù)時間。個周期的持續(xù)時間。 1.2 質點運動的描述質點運動的描述一、質點（一、質點（mass point）相對性；理想模型；質點運動是研究物質運動的基礎相對性；理想模型；質點運動是研究物質運動的基礎二、參考系二、參考系( (reference frame) )和坐標系和坐標系( (coordinate) )參考系參考系：為了描述物體的運動而選取的標準物體

4、。：為了描述物體的運動而選取的標準物體。 （運動描（運動描 述的相對性）述的相對性） 在運動學中，參考系的選擇是任意的；在運動學中，參考系的選擇是任意的；在動力學中則不然。在動力學中則不然。坐標系坐標系：直角坐標系直角坐標系、自然坐標系、極坐標系等、自然坐標系、極坐標系等忽略了物體大小和形狀，只具有物體的質量的幾何點。忽略了物體大小和形狀，只具有物體的質量的幾何點。說明說明說明說明三、質點位置的描述三、質點位置的描述方向方向: :大?。捍笮。簉zryrx cos ,cos , cos在直角坐標系中在直角坐標系中: :kzjyixr 222zyxrr 1、位置矢量位置矢量 ( ( positio

5、n vector ) )2、坐標法坐標法 和和自然坐標法自然坐標法 ),(zyxr定義定義：從參考點：從參考點O 到質點所處位置到質點所處位置 P 所引的矢量所引的矢量 叫做叫做 質點的位置矢量，質點的位置矢量，簡稱位矢。簡稱位矢。rr 表示質點到參考點的距離。表示質點到參考點的距離。 的方向表示質點相對參考點的方位的方向表示質點相對參考點的方位.r四、運動方程四、運動方程質點的位置隨時間變化的函數關系，稱為質點的位置隨時間變化的函數關系，稱為質點的運動方程。質點的運動方程。ktzjtyitxr)()()( 在直角坐標系中，在直角坐標系中，),(zyxx 根據軌跡的形狀，質點運動分為根據軌跡的

6、形狀，質點運動分為直線運動直線運動和和曲線運動曲線運動。質點在空間連續(xù)經過的各點連成的曲線即質點在空間連續(xù)經過的各點連成的曲線即質點的運動軌跡質點的運動軌跡。五、軌跡方程五、軌跡方程( ( trajectory ) )從運動方程中消去從運動方程中消去t，則可得：則可得：或：或：)(),(),(tzztyytxx Ozyx12rrr 在直角坐標系中：在直角坐標系中：從質點初位置到質點末位置所引的矢量從質點初位置到質點末位置所引的矢量 定義為位移。定義為位移。r 位移矢量的大小位移矢量的大小222zyxr 位移矢量的方向位移矢量的方向rz ,ry ,rxcoscoscos一、位移矢量一、位移矢量(

7、 ( displacement ) )1.3 位移位移 速度速度 加速度加速度kzj yixr As r 1r B2r二、速度矢量（二、速度矢量（Velocity）: : 表示表示質點運動快慢及方向質點運動快慢及方向的物理量。的物理量。0 t令令trv 1、平均速度、平均速度定義：平均速度定義：平均速度2、速度（瞬時速度）、速度（瞬時速度）trtrtvdd0lim 方向沿切向，并指向前進方向。方向沿切向，并指向前進方向。在直角坐標系中在直角坐標系中tzvtyvtxvzyxdd,dd,dd 速度是位置矢量隨時間的變化率。速度是位置矢量隨時間的變化率。ktzjtyitxtrvdddddddd 12

8、rrr 質點在質點在12ttt 時間內的位移是時間內的位移是222zyxvvvvv 大小大小vv ,vv ,vvzyx coscoscos 方向方向三、加速度矢量（三、加速度矢量（acceleration）: : 表示表示速度變化的快慢速度變化的快慢的物理量。的物理量。 , , 21vttvt 定義：平均加速度定義：平均加速度tva 大小：大?。簍vaadd 瞬時加速度瞬時加速度12 vvv 方向：方向： t0 時時 的的極限方向極限方向。在曲線運動中，。在曲線運動中， 總是指向曲線的總是指向曲線的凹側凹側。v 220trtvtvatddddlim 瞬時加速度是速度隨瞬時加速度是速度隨時間的變

9、化率。時間的變化率。在直角坐標系中：在直角坐標系中：kajaiaazyx 222zyxaaaaa 加速度的方向加速度的方向加速度的大小加速度的大小aaaaaazyx cos ,cos ,cos222222dddd,dddd,ddddtztvatytvatxtvazzyyxx 其中分量為其中分量為1.4 變變 速速 運運 動動一、運動學中的兩類問題一、運動學中的兩類問題 1、已知質點的已知質點的運動學方程運動學方程求質點的求質點的速度、加速度速度、加速度等問題常稱為運動學等問題常稱為運動學第一類問題。第一類問題。 2、由由加速度和初始條件加速度和初始條件求求速度方程和運動方程速度方程和運動方程的

10、的問題稱為運動學的問題稱為運動學的第二類問題。第二類問題。微分微分積分積分)(trr a , v00 , ,rva)()(trrtvv 二、求解運動學中的兩類問題的一般方法二、求解運動學中的兩類問題的一般方法 21d0tttavv 21d0tttvrrtrvdd 22ddddtrtva )(trr rav 、1、 已知：質點運動學方程已知：質點運動學方程 。 求：求： 及軌跡方程等。及軌跡方程等。2） 已知：已知： 及初始條件，及初始條件， a等等。、求求：)()(trtv解法：求導解法：求導kzj yi xr ),()()()(zyxxttzztyytxx ）約約去去（解法：積分解法：積分t

11、avdd tvvtav0dd0解解 由由加速度的定義式加速度的定義式得得xatv23dd 作作變換變換xxvv23dd 有有xxvvd)23(d 根據初始條件作根據初始條件作定積分定積分 3 0 5 d)23(dxxvvv可得可得m/s81.7 v 例題例題1 一質點沿一質點沿 x 軸正向運動，其加速度與位置的關軸正向運動，其加速度與位置的關系為系為 a = 3 + 2x。若在若在 x = 0 處，其速度處，其速度v0 = 5m/s，求質點運，求質點運動到動到 x = 3m 處時所具有的速度處時所具有的速度v。 tvddtxxvdddd v解解 選取選取豎直向上為軸的正方向豎直向上為軸的正方向

12、，坐標原點在拋點處。，坐標原點在拋點處。kvf 設小球上升運動的瞬時速率為設小球上升運動的瞬時速率為v，阻力系數為，阻力系數為k，則則空氣空氣阻力阻力為為此時小球的此時小球的加速度加速度為為vmkga 即即)(ddkmgvmktv 作作變換變換整理則得整理則得yvkmgvkmgkmdd)/1( 例題例題2 以初速度以初速度v0由地面豎直向上拋出一個質量為由地面豎直向上拋出一個質量為 m 的的小球，若上拋小球受到與其瞬時速率成正比的空氣阻力，求小小球，若上拋小球受到與其瞬時速率成正比的空氣阻力，求小球能升達的最大高度是多大？球能升達的最大高度是多大？tyyvdddd tvddyvvdd Oygm

13、f根據初始條件，根據初始條件，y = 0 時時v = v0 ，作作定積分定積分 yvvyvkmgvkmgkm 0 dd)/1(0可得可得kmgvkmgvkgmvvkmy/ln)(0220 當小球達到當小球達到最大高度最大高度 H 時，時，v = 0，可得，可得)1ln(0220mgkvkgmvkmH ne法向單位矢量法向單位矢量一、自然坐標系一、自然坐標系1.5 平面曲線運動平面曲線運動（+）（-）te切向單位矢量切向單位矢量時時刻刻的的位位置置t初初始始位位置置O質點運動學方程質點運動學方程)(tss tetsvdd 質點的速度質點的速度方向隨位置（時間）變化方向隨位置（時間）變化ntee、

14、二、自然坐標系中的加速度二、自然坐標系中的加速度由由加速度的定義加速度的定義 設軌跡曲線上設軌跡曲線上A 點的點的曲率圓半曲率圓半徑徑為為R，曲率圓圓心為，曲率圓圓心為O。tevetvttdddd tevtvatd)d(dd 設設A點的點的自然坐標自然坐標為為s，曲線曲線上無限靠近上無限靠近A點的點的B點自然坐標為點自然坐標為s + ds，A、B兩點對曲率圓兩點對曲率圓圓心的圓心的張角張角為為 。 d ddRs ntesRed1d dntteee dd ddntee 兩邊除以兩邊除以 dt 得得nnteRvetsRte dd1ddnnttntea+ea=eRv+etv=a2dd因此因此速度大小

15、變化的快慢速度大小變化的快慢速度方向變化的快慢速度方向變化的快慢切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度22222)()dd(Rvtvaa=ant 22ddddts=tv=atRv=an2三、圓周運動三、圓周運動1、圓周運動的圓周運動的角量描述角量描述1）角位置角位置2）角位移角位移軌跡為圓的運動稱為圓周運動。軌跡為圓的運動稱為圓周運動。)(t 質點運動學方程質點運動學方程 rs瞬時角速度瞬時角速度3）角速度角速度平均角速度平均角速度t=t=t=tddlim0 角速度是角位置隨時間的變化率。角速度是角位置隨時間的變化率。 的方向規(guī)定為與轉向成右手螺旋關系。的方向規(guī)定為與轉向成右手螺旋關系。Ox

16、極軸極軸 A r Bs vrxyz220ddddlimt=t=t=t瞬時角加速度瞬時角加速度四、角量與線量的關系四、角量與線量的關系4）角加速度角加速度平均角加速度平均角加速度t= r=str=tsttlimlim00nnttntea+ea=eRv+etv=a2dd rv nter+etr=a2ddr=at2r=anr=v六、圓周運動的第二類運動學問題六、圓周運動的第二類運動學問題積分積分積分積分tv=atddta+v=vttd00 ts=vdd)(ts=s切向加速度切向加速度 at 和和初始條件初始條件速率方程和自然坐標速率方程和自然坐標表示的運動方程表示的運動方程角加速度角加速度 和初始條

17、件和初始條件角速度方程和以角量角速度方程和以角量表示的運動方程表示的運動方程)(t= t=dd t+=td00 t=dd 解解 （1）由由角速度角速度和和角加速度角加速度的定義，得的定義，得t=ddt=dd把把 t = 2s代入代入運動方程運動方程、角速度角速度和和角加速度方程角加速度方程，可得，可得22233rad/s2421212rad/s273+2636rad2223+2232=t=+t=t+t= 例題例題1 一質點作半徑為一質點作半徑為 R = 1.0 m的圓周運動，其運動方程的圓周運動，其運動方程為為 = 2t 3+3t，其中其中 以以 rad 計，計，t 以以 s 計。計。試求試求

18、：（：（1）t = 2s時質點的角位置、角速度和角加速度。時質點的角位置、角速度和角加速度。 （2）t = 2s時質點的切向加速度、法向加速度和加速度。時質點的切向加速度、法向加速度和加速度。362+t=t= 12（2）根據根據線量與角量的關系線量與角量的關系，可得，可得2R=aR=ant 加速度加速度)(m/s729242ntnntte+e=ea+ea=a加速度的大小加速度的大小2222n2tm/s72972924 aaa設加速度與法向加速度的夾角為設加速度與法向加速度的夾角為，則則0nt9 . 1,0329. 072924tan aa222729m/s=271.0=24m/s=241.0=

19、1.6 相相 對對 運運 動動 同一質點在不同參考系中的位置矢量、速度和加速度同一質點在不同參考系中的位置矢量、速度和加速度等物理量之間的關系的規(guī)律。等物理量之間的關系的規(guī)律。物體運動的描述物體運動的描述依賴于依賴于觀察者所處的觀察者所處的參考系參考系1、位矢關系位矢關系R+r=r 質點在質點在相對作勻速直線運相對作勻速直線運動動的兩個坐標系中的的兩個坐標系中的位矢：位矢：tu=tu=R R二、伽利略變換二、伽利略變換 ( Galilean transformation )2、速度關系速度關系trvdd tRtrdddd 伽利略速度相加定理伽利略速度相加定理:BAv對對BCv對對CAv對對v

20、（S 系相對于系相對于S系）系）u（相對于（相對于S 系）系）v（相對于（相對于S系）系）3、加速度關系加速度關系tvadd tutvdddd 0aa BAa對對BCa對對CAa對對 兩個參考系中的位矢（或位移）直接相加，實際上是默兩個參考系中的位矢（或位移）直接相加，實際上是默認兩個條件：認兩個條件：長度的測量是絕對的；時間的測量是絕對的。長度的測量是絕對的；時間的測量是絕對的。4、適用條件適用條件宏觀、低速情況宏觀、低速情況0aaa 特例：特例：若若 S 系相對系相對 S 系作勻速運動，則有：系作勻速運動，則有：00 aaa 1、某人騎自行車以速率、某人騎自行車以速率v向正西方行駛，遇到由

21、北向南刮的向正西方行駛，遇到由北向南刮的 風（設風速大小也為風（設風速大小也為v），則他感到風是從），則他感到風是從 一、選擇題一、選擇題 A）東北方向吹來。）東北方向吹來。 B）東南方向吹來。）東南方向吹來。 C）西北方向吹來。）西北方向吹來。 D）西南方向吹來。）西南方向吹來。2、一質點在平面上運動，已知質點位置矢量的表達式為：、一質點在平面上運動，已知質點位置矢量的表達式為： ，則該質點作：，則該質點作：jbtiatr22A）勻速直線運動。）勻速直線運動。 B）變速直線運動。）變速直線運動。 C）拋物線運動。）拋物線運動。 D）一般曲線運動。）一般曲線運動。 B C 地對人v風對地v風對

22、人v運動學習題運動學習題4、湖中一小船，有人用跨過高處定滑輪的繩子拉船靠岸。、湖中一小船，有人用跨過高處定滑輪的繩子拉船靠岸。 當收繩速率當收繩速率v 0 保持不變時，小船的運動：保持不變時，小船的運動：A）勻加速運動。）勻加速運動。 B）勻減速運動。）勻減速運動。 C）變加速運動。）變加速運動。 D）變減速運動。）變減速運動。 C 3、 一個質點在做勻速率圓周運動時一個質點在做勻速率圓周運動時 A）切向加速度改變，法向加速度也改變）切向加速度改變，法向加速度也改變 B）切向加速度不變，法向加速度改變）切向加速度不變，法向加速度改變 C）切向加速度不變，法向加速度也不變）切向加速度不變，法向加

23、速度也不變 D）切向加速度改變，法向加速度不變）切向加速度改變，法向加速度不變 B 5、一小球沿斜面向上運動，其運動方程為、一小球沿斜面向上運動，其運動方程為r 5 + 4t t 2（SI） 則小球運動到最高點的時刻是：則小球運動到最高點的時刻是：A） t4S。 B）t2S。C） t8S。 D）t5S。 B 6、下列說法哪一條正確？、下列說法哪一條正確？A）加速度恒定不變時，物體運動方向也不變。）加速度恒定不變時，物體運動方向也不變。B）平均速率等于平均速度的大小。）平均速率等于平均速度的大小。C）不管加速度如何，平均速率表達式總可以寫成）不管加速度如何，平均速率表達式總可以寫成 ：D）運動物

24、體速率不變時，速度可以變化）運動物體速率不變時，速度可以變化 。 2/ )(21vvv D 7、 某質點的運動方程為某質點的運動方程為 （SI），則該質點作），則該質點作 A）勻加速直線運動，加速度沿）勻加速直線運動，加速度沿 x 軸正方向軸正方向 B）勻加速直線運動，加速度沿）勻加速直線運動，加速度沿 x 軸負方向軸負方向 C）變加速直線運動，加速度沿）變加速直線運動，加速度沿 x 軸正方向軸正方向 D）變加速直線運動，加速度沿）變加速直線運動，加速度沿 x 軸負方向軸負方向6533 ttx D 8、質點作半徑為、質點作半徑為 R 的變速圓周運動時的加速度大小為：的變速圓周運動時的加速度大小為： （v 表示任一時刻質點的速率）表示任一時刻質點的速率）2124222)()dd)()dd)dd)RvtvDRvCRvtvBtvA D 9、下列說法中正確的是：、下列說法中正確的是： A ）加速度恒定不變時，物體的運動方向也不變。）加速度恒定不變時，物體的運動方向也不變。 B ）平均速率等于平均速度的大小。）平均速率等于平均速度的大小。 C ）當物體的速度為零時，加速度必定為零。）當物體的速度為零時，加速度必定為零。 D ）瞬時速率即瞬時速度的大小。）瞬時速率即瞬時速度的大小。 D 10、一運動質點在某瞬時位于