中考數(shù)學(xué)因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題練習(xí)

1、京翰中考網(wǎng)：因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題 京翰中考網(wǎng)試題（）例1 2013年上海市中考第24題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線yax2bx（a0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B，AOBO2，AOB120°（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）連結(jié)OM，求AOM的大??；（3）如果點(diǎn)C在x軸上，且ABC與AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)圖1 動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“13上海24”，拖動(dòng)點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)，有兩種情況，ABC與AOM相似請(qǐng)打開(kāi)超級(jí)畫(huà)板文件名“13上海24”，拖動(dòng)點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)，有兩種情況，ABC與AOM相似

2、點(diǎn)擊按鈕的左部和中部，可到達(dá)相似的準(zhǔn)確位置。思路點(diǎn)撥1第（2）題把求AOM的大小，轉(zhuǎn)化為求BOM的大小2因?yàn)锽OMABO30°，因此點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，恰好有ABCAOM3根據(jù)夾角相等對(duì)應(yīng)邊成比例，分兩種情況討論ABC與AOM相似滿分解答（1）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AHy軸，垂足為H在RtAOH中，AO2，AOH30°，所以AH1，OH所以A因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O、B(2,0)兩點(diǎn)，設(shè)yax(x2)，代入點(diǎn)A，可得 圖2所以拋物線的表達(dá)式為（2）由，得拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為所以所以BOM30°所以AOM150°（3）由A、B(2,0)、M，得，所以ABO30&

3、#176;，因此當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，ABCAOM150°ABC與AOM相似，存在兩種情況：如圖3，當(dāng)時(shí)，此時(shí)C(4,0)如圖4，當(dāng)時(shí)，此時(shí)C(8,0) 圖3 圖4考點(diǎn)伸展在本題情境下，如果ABC與BOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)如圖5，因?yàn)锽OM是30°底角的等腰三角形，ABO30°，因此ABC也是底角為30°的等腰三角形，ABAC，根據(jù)對(duì)稱性，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0)圖5例2 2012年蘇州市中考第29題如圖1，已知拋物線（b是實(shí)數(shù)且b2）與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)（用含b的代

4、數(shù)式表示）；（2）請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“12蘇州29”，拖動(dòng)點(diǎn)B在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，存在四邊形PCOB的面積等于2b的時(shí)刻雙擊按鈕“第（3）題”，拖動(dòng)點(diǎn)B，可以體驗(yàn)到，存在OQAB的時(shí)刻，也存在OQAB的時(shí)刻思路

5、點(diǎn)撥1第（2）題中，等腰直角三角形PBC暗示了點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等2聯(lián)結(jié)OP，把四邊形PCOB重新分割為兩個(gè)等高的三角形，底邊可以用含b的式子表示3第（3）題要探究三個(gè)三角形兩兩相似，第一直覺(jué)這三個(gè)三角形是直角三角形，點(diǎn)Q最大的可能在經(jīng)過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線上滿分解答（1）B的坐標(biāo)為(b, 0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0, )（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PDx軸，PEy軸，垂足分別為D、E，那么PDBPEC因此PDPE設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, x)如圖3，聯(lián)結(jié)OP所以S四邊形PCOBSPCOSPBO2b解得所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為()圖2 圖3（3）由，得A(1, 0)，OA1如圖4，以O(shè)A、OC為鄰邊構(gòu)造矩形OA

6、QC，那么OQCQOA當(dāng)，即時(shí)，BQAQOA所以解得所以符合題意的點(diǎn)Q為()如圖5，以O(shè)C為直徑的圓與直線x1交于點(diǎn)Q，那么OQC90°。因此OCQQOA當(dāng)時(shí)，BQAQOA此時(shí)OQB90°所以C、Q、B三點(diǎn)共線因此，即解得此時(shí)Q(1,4)圖4 圖5考點(diǎn)伸展第（3）題的思路是，A、C、O三點(diǎn)是確定的，B是x軸正半軸上待定的點(diǎn)，而QOA與QOC是互余的，那么我們自然想到三個(gè)三角形都是直角三角形的情況這樣，先根據(jù)QOA與QOC相似把點(diǎn)Q的位置確定下來(lái)，再根據(jù)兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例確定點(diǎn)B的位置如圖中，圓與直線x1的另一個(gè)交點(diǎn)會(huì)不會(huì)是符合題意的點(diǎn)Q呢？如果符合題意的話，那么點(diǎn)B的位置距

7、離點(diǎn)A很近，這與OB4OC矛盾例3 2012年黃岡市中考模擬第25題如圖1，已知拋物線的方程C1： (m0)與x軸交于點(diǎn)B、C，與y軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)（1）若拋物線C1過(guò)點(diǎn)M(2, 2)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使得BHEH最小，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形與BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“12黃岡25”，拖動(dòng)點(diǎn)C在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，觀察左圖，可以體驗(yàn)到，EC與BF保持平行，但是BFC

8、在無(wú)限遠(yuǎn)處也不等于45°觀察右圖，可以體驗(yàn)到，CBF保持45°，存在BFCBCE的時(shí)刻思路點(diǎn)撥1第（3）題是典型的“牛喝水”問(wèn)題，當(dāng)H落在線段EC上時(shí)，BHEH最小2第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫(huà)直線BF，作CBFEBC45°，或者作BF/EC再用含m的式子表示點(diǎn)F的坐標(biāo)然后根據(jù)夾角相等，兩邊對(duì)應(yīng)成比例列關(guān)于m的方程滿分解答（1）將M(2, 2)代入，得解得m4（2）當(dāng)m4時(shí)，所以C(4, 0)，E(0, 2)所以SBCE（3）如圖2，拋物線的對(duì)稱軸是直線x1，當(dāng)H落在線段EC上時(shí)，BHEH最小設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為P，那么因此解得所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為（4）如

9、圖3，過(guò)點(diǎn)B作EC的平行線交拋物線于F，過(guò)點(diǎn)F作FFx軸于F由于BCEFBC，所以當(dāng)，即時(shí)，BCEFBC設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，由，得解得xm2所以F(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程無(wú)解圖2 圖3 圖4如圖4，作CBF45°交拋物線于F，過(guò)點(diǎn)F作FFx軸于F，由于EBCCBF，所以，即時(shí)，BCEBFC在RtBFF中，由FFBF，得解得x2m所以F所以BF2m2，由，得解得綜合、，符合題意的m為考點(diǎn)伸展第（4）題也可以這樣求BF的長(zhǎng)：在求得點(diǎn)F、F的坐標(biāo)后，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求BF的長(zhǎng)例4 2010年義烏市中考第24題如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過(guò)點(diǎn)O（0，0）、A

10、（2，0）、B（6，3）（1）直接寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱軸、解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時(shí)向上平移，分別交拋物線于點(diǎn)O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1設(shè)梯形O1A1B1C1的面積為S，A1、 B1的坐標(biāo)分別為 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代數(shù)式表示x2x1，并求出當(dāng)S=36時(shí)點(diǎn)A1的坐標(biāo)；（3）在圖1中，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，3)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著線段BC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以與點(diǎn)P相同的速度沿著線段DM運(yùn)動(dòng)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)M時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)P、

11、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，是否存在某一時(shí)刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對(duì)稱軸圍成的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 圖1 圖2動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“10義烏24”，拖動(dòng)點(diǎn)I上下運(yùn)動(dòng)，觀察圖形和圖象，可以體驗(yàn)到，x2x1隨S的增大而減小雙擊按鈕“第（3）題”，拖動(dòng)點(diǎn)Q在DM上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，如果GAFGQE，那么GAF與GQE相似思路點(diǎn)撥1第（2）題用含S的代數(shù)式表示x2x1，我們反其道而行之，用x1，x2表示S再注意平移過(guò)程中梯形的高保持不變，即y2y13通過(guò)代數(shù)變形就可以了2第（3）題最大的障礙在于畫(huà)示意圖，在沒(méi)有計(jì)算

12、結(jié)果的情況下，無(wú)法畫(huà)出準(zhǔn)確的位置關(guān)系，因此本題的策略是先假設(shè)，再說(shuō)理計(jì)算，后驗(yàn)證3第（3）題的示意圖，不變的關(guān)系是：直線AB與x軸的夾角不變，直線AB與拋物線的對(duì)稱軸的夾角不變變化的直線PQ的斜率，因此假設(shè)直線PQ與AB的交點(diǎn)G在x軸的下方，或者假設(shè)交點(diǎn)G在x軸的上方滿分解答（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線，解析式為，頂點(diǎn)為M（1，）（2） 梯形O1A1B1C1的面積，由此得到由于，所以整理，得因此得到當(dāng)S=36時(shí)， 解得 此時(shí)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（6，3）（3）設(shè)直線AB與PQ交于點(diǎn)G，直線AB與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，直線PQ與x軸交于點(diǎn)F，那么要探求相似的GAF與GQE，有一個(gè)公共角G在GEQ中，G

13、EQ是直線AB與拋物線對(duì)稱軸的夾角，為定值在GAF中，GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且GEQGAF因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF這時(shí)GAFGQEPQD由于，所以解得 圖3 圖4考點(diǎn)伸展第（3）題是否存在點(diǎn)G在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說(shuō)理過(guò)程相同，求得的t的值也是相同的事實(shí)上，圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖，實(shí)際的圖形更接近圖3例5 2009年臨沂市中考第26題如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三點(diǎn)（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PMx軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與OAC相似？

14、若存在，請(qǐng)求出符合條件的 點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點(diǎn)D，使得DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo),圖1動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“09臨沂26”，拖動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，PAM的形狀在變化，分別雙擊按鈕“P在B左側(cè)”、“ P在x軸上方”和“P在A右側(cè)”，可以顯示PAM與OAC相似的三個(gè)情景雙擊按鈕“第(3)題”， 拖動(dòng)點(diǎn)D在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，觀察DCA的形狀和面積隨D變化的圖象，可以體驗(yàn)到，E是AC的中點(diǎn)時(shí)，DCA的面積最大思路點(diǎn)撥1已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，用待定系數(shù)法求解析式時(shí)，設(shè)交點(diǎn)式比較簡(jiǎn)便2數(shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點(diǎn)

15、的坐標(biāo)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長(zhǎng)3按照兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，分兩種情況列方程4把DCA可以分割為共底的兩個(gè)三角形，高的和等于OA滿分解答 （1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，代入點(diǎn)C的 坐標(biāo)（0，2），解得所以拋物線的解析式為（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，1x4，如果，那么解得不合題意如果，那么解得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，x4，解方程，得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為解方程，得不合題意如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，x1，解方程，得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為解方程，得此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，不合題意綜上所述，符合條件的 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

16、2，1）或或 圖2 圖3 圖4（3）如圖5，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交AC于E直線AC的解析式為設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為所以因此當(dāng)時(shí)，DCA的面積最大，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1） 圖5 圖6考點(diǎn)伸展第（3）題也可以這樣解：如圖6，過(guò)D點(diǎn)構(gòu)造矩形OAMN，那么DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去CDN和ADM的面積設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為（m，n），那么由于，所以例6 2008年蘇州市中考第29題圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“08蘇州29”，拖動(dòng)表示a的點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E1和E3時(shí)，直線NE1、NE3和直線AB交于同一個(gè)點(diǎn)G，此時(shí)POBPGN當(dāng)拋物

17、線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E2和E4時(shí)，直線NE2、NE4和直線AB交于同一個(gè)點(diǎn)G，可以體驗(yàn)到，這個(gè)點(diǎn)G在點(diǎn)N右側(cè)較遠(yuǎn)處思路點(diǎn)撥1求等腰直角三角形OAB斜邊上的高OH，解直角三角形POH求k、b的值2以DN為邊畫(huà)正方形及對(duì)角線，可以體驗(yàn)到，正方形的頂點(diǎn)和對(duì)角線的交點(diǎn)中，有符合題意的點(diǎn)E，寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式就可以求出a3當(dāng)E在x軸上方時(shí)，GNP45°，POBPGN，把轉(zhuǎn)化為4當(dāng)E在x軸下方時(shí)，通過(guò)估算得到大于10滿分解答（1），（2）由拋物線的解析式，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為因此MN的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），DN3因?yàn)锳OB是等腰直角三角形，如果DNE與AOB相似，那么DNE也是等腰直角三角形如圖2，如果DN為直角邊，那么點(diǎn)E的坐標(biāo)為E1（2，3）或E2（2，3）將E1