(六)比和比例應(yīng)用題

1、（6）比和比例應(yīng)用題重點(diǎn)中學(xué)小升初難度題解析王雪宇學(xué)案課題五比和比例應(yīng)用比和比例在統(tǒng)計(jì)、測(cè)量、繪圖、實(shí)驗(yàn)、建造、計(jì)算等等方面有著廣泛的應(yīng)用。反映在考試當(dāng)中，工程問題，行- -準(zhǔn)問題;按比例分配，解比例，比例尺，正比例和反比例 的其他應(yīng)用都可能對(duì)本部分知識(shí)有所涉及。比和比例的知識(shí)是初中數(shù)學(xué)中一次函數(shù)、反比例函數(shù)、相似圖形等課題的知識(shí)基礎(chǔ)，屬于重點(diǎn)知識(shí)。作為小學(xué)數(shù)學(xué)最后一個(gè)知識(shí) 模塊，同學(xué)們接觸不久便將其應(yīng)用于解決實(shí)際問題存在一 定的困難，同學(xué)們更熟悉的是分率計(jì)算、算術(shù)法解題。但 正如上面所講，很多實(shí)際問題中用到了比例的思想，建議同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)，將分?jǐn)?shù)與比的思想多比照，多聯(lián)系；在 應(yīng)考之前，再次把

2、六年級(jí)數(shù)學(xué)書上冊(cè)的“比和比的應(yīng)用”及下冊(cè)的“正比例和反比例的意義”、“比例的應(yīng)用”等內(nèi)容貫通在一起復(fù)習(xí)一遍（包括思考課后習(xí)題），將人教版課 本和北師大版課本互相參照地復(fù)習(xí)，著重從課本上簡單而 熟悉的例子中體悟比和比例的思想，以更好地應(yīng)用于解決 問題。做練習(xí)時(shí)需要注意以下三個(gè)方面：一、學(xué)會(huì)運(yùn)用比和分率的聯(lián)系解題及將比看成“份數(shù)”解題。另外，填空題或應(yīng)用題求比是多少時(shí)，一定要化成 最簡整數(shù)比（比的前項(xiàng)和后項(xiàng)化成互質(zhì)的整數(shù)），要理解最 簡比（比是兩個(gè)數(shù)量之間的一種關(guān)系）和比值（比值是一 個(gè)數(shù)）之間的區(qū)別。二、能夠根據(jù)題意找出成比例的量，并建立比例式,解比例得到答案。注意理解成比例的量是變化的量。三、

3、通過成比例將一種量的比轉(zhuǎn)化成另一種量的比,這是解決問題的關(guān)鍵思想。如勻速行駛的兩輛汽車同時(shí)出發(fā)，其速度比等于路程比（成正比例）；如工程總量一定， 工作時(shí)間與工作效率成反比，如在一個(gè)題目中，知道甲工 作3天完成的任務(wù)等于乙工作兩天完成的任務(wù)，則二者的工作效率比是2： 3 （自己推導(dǎo)一下），如果再有二者的總工作量都相同，工作的總時(shí)間比是3： 2；側(cè)面積相等的兩個(gè)方柱，其底邊長與高成反比，底邊長乘高等于（側(cè)面積+4）,從而結(jié)合其他已知條件計(jì)算兩方柱體積比；再如一類典型 的按比例分配的題目，一個(gè)零件的兩道工序，專做第一道 工序的每人每小時(shí)可完成4個(gè)，專做第二道工序的每人每 小時(shí)可完成5個(gè)，現(xiàn)工廠里有3

4、6名工人，如何分配，我們可以用以下思路解題：每道工序所占用的工時(shí)比等于每道工序所分配的人數(shù)比（成正比），第一道工序占用每人，小4時(shí)，第二道工序占用每人，小時(shí)，1： 1=5： 4,從而人數(shù) 545的分配也是5： 4o知識(shí)綱要如下（看完書再看以下內(nèi)容）：1、比、分?jǐn)?shù)和除法之間的聯(lián)系與區(qū)別：比分啜除法聯(lián)系 前項(xiàng)分子被除蚊比號(hào)Q ）分?jǐn)?shù)能1一）除號(hào)后項(xiàng)（片口）分母（片口）除數(shù)CKD）比值分?jǐn)?shù)值商a.a:b = r= aH-b區(qū)別意義表示兩個(gè)數(shù)相除一種數(shù)一種運(yùn)算形式a a;b或父a ba-r-b讀法a比bb分之a(chǎn)0除以b1或b除a2、比和比例的基本性質(zhì)比表示兩個(gè)數(shù)相除的關(guān)系；比例表示兩個(gè)比的關(guān)系。 任意

5、兩個(gè)數(shù)都能組成比，但任意四個(gè)數(shù)不一定能組成比例。意義各部分名稱基本性質(zhì)兩個(gè)甑.相除又叫f5l 1= 4 = 0. 25兩個(gè)裁的比.它 1 1比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都一般包含兩種情況：前比后比乘以或除以相同的教項(xiàng)號(hào)項(xiàng)循（0除外）比值不變，O兩個(gè)同關(guān)量相比，h q也可以與成±BP：比具比值表水兩個(gè)數(shù)量比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)a:b= (ax ni) : (b xni)間的信數(shù)關(guān)系或分率所得的商叫做比值，其中nBO2）不同類的兩個(gè)量相比值是一個(gè)數(shù)，可以應(yīng)用比的基本性質(zhì)，比，其比值代表一種寫成分?jǐn)?shù)或小款的形可以化簡比新的數(shù)量式，當(dāng)可以化成整初時(shí)，要化成婺散在比例中，兩個(gè)外項(xiàng)表爾兩個(gè)比相等的式組成比例的四個(gè)教

6、的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的比千，叫做比例【組成叫做比例的項(xiàng)積。即：叱例的四個(gè)數(shù),都不V V= : f若a:b二c:d,則例能是口）內(nèi)項(xiàng)ad=bc蘇項(xiàng)一'應(yīng)用比例的基本性質(zhì)，可判斷兩比是舌成比例根據(jù)比和比例的基本性質(zhì)，我們還可以推導(dǎo)出，如果 a:b=c:d（a> b、c、d 四個(gè)數(shù)均不為 0）,那么 b:a=d:c； a:c=b:d； c:a=d:b,例如，3： 5=15： 25,貝！I 5： 3=25： 15；重點(diǎn)中學(xué)小升初難度題解析王雪宇學(xué)案 MW MW MW MW MW MW MW MW MW MW 3： 15=5： 25；15： 3=25： 5,同學(xué)們開動(dòng)腦筋想一下,如果a:b=c

7、:d,則c=aXm,而d=bXm,也就是說c和d是a 和b擴(kuò)大或縮小了若干倍得到的，自然也就有了比例的基- -本性質(zhì)-ad=aXbXm=aXmXb,以上推論也是據(jù)此得出,在學(xué)習(xí)時(shí)，同學(xué)們要注意前后知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，重視思考過程, 懂得活學(xué)活用。3、化簡比的方法:（1）根據(jù)比的基本性質(zhì)，把比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都乘以或除以同一個(gè)數(shù)（0除外）進(jìn)行化簡。（2）把前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的比值，改寫成最簡整數(shù)比。注意：有單位名稱的同類量的比化簡時(shí)，要先化成相同的單位，然后再計(jì)算。4、解比例的方法：已知比例中的任意三項(xiàng)，根據(jù)比例 的基本性質(zhì)，可求出其余的一項(xiàng)（未知項(xiàng)），注意寫成以下形式時(shí)，用交叉相乘法:G,一 4x是兩個(gè)內(nèi)

8、項(xiàng)相乘二5> 5 X 5是 兩個(gè)外項(xiàng)相乘,4x=5 X 5 o5、判斷兩個(gè)比是否可以組成比例的方法:（1）分別求出兩個(gè)比的比值，如果比值相等，就可以組成比例;（2）將兩個(gè)比都化簡成最簡整數(shù)比，如果得到的最簡整數(shù)比相同，則可以組成比例;（3）假設(shè)兩個(gè)比能組成比例，那么兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積和兩個(gè)外項(xiàng)的積一定相等。如果積不相等，則說明假設(shè)不成立,也就不能組成比例。6、正比例和反比例:正 比 例反 比 例意文.相同點(diǎn)兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化不同點(diǎn)網(wǎng)種重中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值（也就星兩）一定網(wǎng)種量相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積 一定關(guān)系式±=k（k一定）xy=k （k 一定）判斷正、反

9、比例時(shí)，先分析數(shù)量關(guān)系，確定哪兩種量是相關(guān)聯(lián)的量。根據(jù)兩種相關(guān)聯(lián)的量與那個(gè)一定的量列出 數(shù)量關(guān)系式。兩種相關(guān)聯(lián)的量之間的關(guān)系若是商一定，則成正比例關(guān)系，若是積一定，則成反比例關(guān)系，若商和積 都不是定量，則不成比例。一些常用的正比例和反比例: 圖形問題中，例如三角形，面積一定，底和高成反比例；底一定，面積和高成正比例（注意：嘴和底邊長）； 高一定，面積和底成正比例。又如圓錐的體積一定，高和底面積成反比例；底面積一定，體積和高成正比例（注意野q底面積）高一定，體積和底面積成正比例。在工程問題中，工作總量一定，工作效率和工作時(shí)間 成反比例。工作效率一定，工作總量和工作時(shí)間成正比例; 工作時(shí)間一定，工

10、作總量和工作效率成正比例。例：（1）加工一批零件，若單獨(dú)做，甲可比規(guī)定的時(shí) 間提前2天完成，乙則要超過規(guī)定時(shí)間3天完成。如果 甲乙兩人合作2天后，剩下的由乙單獨(dú)做，那么剛好在重點(diǎn)中學(xué)小升初難度題解析王雪宇學(xué)案期乏萌而品最:期金獲扁鬲而更多萬靈 一解題思路：根據(jù)條件可知，甲工作兩天完成的零件 數(shù)是乙工作三天完成的零件數(shù)，也就是說工作量一定時(shí), 一一甲五的工作時(shí)間比是2： 3。單獨(dú)做，甲、乙各自所需的 天數(shù)的比與2： 3成比例，若設(shè)規(guī)定時(shí)間是x天，則甲的 工作天數(shù)是（x-2）天，乙的工作天數(shù)是（X+3）天，則有:三|=，解得規(guī)定完成的天數(shù)x=12x + 33（2）小張單獨(dú)加工一批零件會(huì)比規(guī)定時(shí)間晚

11、三天完 成任務(wù)，王師傅幫小張做了兩天，恰好在規(guī)定時(shí)間完成, 現(xiàn)在若有150個(gè)零件需要加工，讓小張和王師傅同時(shí)開 始做同時(shí)完工，應(yīng)如何分配？解題思路：根據(jù)已知條件，王師傅工作兩天完成的 零件數(shù)是小張工作三天完成的零件數(shù)，即加工相同個(gè)數(shù) 的零件，王師傅與小張所需的時(shí)間比是2： 3,也就是說,工作量相同時(shí)，王師傅所需時(shí)間是小張所需時(shí)間的白工 作量一定，工作效率與工作時(shí)間成反比，則王師傅的工 作效率是小張工作效率的,（"X'y=k,k為相同的工作 量，x為工作天數(shù)，y為工作效率），兩人工作效率比為3： 2（1： p如此可按兩人的工作效率比將工作總量“150個(gè)零件”進(jìn)行分配，應(yīng)分配給小

12、張零件數(shù)：150+ （2+3） 義2二60 （個(gè)），應(yīng)分配給王師傅零件數(shù)：150-60=90 （個(gè)）解題過程: 由題意知：加工相同個(gè)數(shù)的零件，王師傅與小張所需的時(shí)間比是2： 3, 則壬師傅與小張的工作效率比是3： 2o1504- （2+3） X2=60 （個(gè)）；150-60二90（個(gè)）答：應(yīng)分配給小張60個(gè)零件，應(yīng)分配給王師傅90個(gè) 零件。在行程問題中：路程一定，速度和時(shí)間成反比例；速 度一定，路程和時(shí)間成正比例；時(shí)間一定，路程和速度成 正比例。例：上午8時(shí)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)。8分鐘 后，爸爸騎摩托車去追他。在離家4千米的地方追上了小 明，然后爸爸立即回家。到家后，爸爸又立即回頭去追

13、小 明。再追上他的時(shí)候，離家恰好是8千米，這時(shí)是幾點(diǎn)幾 分？ 解法：下圖中實(shí)線是爸爸從第一次追上小明到第二次追上 小明所走的路線，虛線是同時(shí)間小明走的路線。從線段圖 中我們可以看出爸爸走了 3個(gè)4千米的時(shí)間，小明只走了 1個(gè)4千米,小明所行路程是爸爸所行路程的！，相同時(shí)間內(nèi), 路程與速度成正比，則小明的速度是爸爸速度的重點(diǎn)中學(xué)小升初難度題解析王學(xué)宇學(xué)案4祎一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一爸爸小明第一次追上時(shí)離家4千米第二次追上時(shí)離家8千米我們?cè)賮砜吹谝淮伟职肿飞闲∶鲿r(shí)的情況，由于小明的速度是爸爸速度的另從爸爸第一次開始

14、追小明到追上小明的這段時(shí)間內(nèi)，爸爸行出4千米，小明行出4千米的X同 樣是根據(jù)相同時(shí)間內(nèi)，路程與速度成正比），小明必須 先行出4X產(chǎn)?千米。先行出4千米的二V,也就是說，小明用8分鐘的時(shí)間小明先用8分鐘時(shí)間走起jk米的"小明l,3I I J1爸爸進(jìn)而我們求出小明的速度是千米/分鐘，小明8點(diǎn)重點(diǎn)中學(xué)小升初難度題解析王學(xué)宇學(xué)案8芬女豪至由娶;薊藤i三次i王示麗向7示麗環(huán) 8用米，8-?1=24分鐘i-aii,從而求得第二次追上的時(shí)間是32分。解題過程： 4+（4+8）=14XQT）="千米）盧8V （千米/分鐘）84-1 =24 （分鐘）8+24=32 （分）答:這時(shí)是8點(diǎn)32分

15、。在價(jià)格問題中：總價(jià)一定，單價(jià)和數(shù)量成反比例；單價(jià)一定，總價(jià)和數(shù)量成正比例；數(shù)量一定，總價(jià)和單價(jià)成正比例07、比例尺：圖上距離：實(shí)際距離比例尺（圖上距離= 實(shí)際距離比例尺），為了計(jì)算簡便，通常把地圖上的比例尺的前 項(xiàng)化簡成“1”，精密零件的圖紙，實(shí)際距離很小，一般 是把比例尺的后項(xiàng)（實(shí)際距離）化成“1”。典型習(xí)題：1、用一條長108厘米的鐵絲，做成一個(gè)長方體模型,要求長寬高的比為2: 3: 4,如果每個(gè)面都用鐵皮包上做成鐵盒，這個(gè)鐵盒的表面積和體積各是多少？2、學(xué)?；@球場的長是26米，寬是14米，用1： 1000的比例尺畫出這個(gè)籃球場的平面圖，并求這個(gè)平面圖的面重點(diǎn)中學(xué)小升初難度題解析王雪宇學(xué)

16、案 MW MW MW MW MW MW MW MW MW MW 積。3、某種機(jī)器零件要經(jīng)過三道工序，專做第一道工序的 每人每小時(shí)可完成10個(gè)，專做第二道工序的每人每小時(shí)可 - -汽成5-個(gè)，專做第三道工序每人每小時(shí)可完成4個(gè)?，F(xiàn)有 88個(gè)人怎樣分配才合適？4、有一種零件，每個(gè)主件上要配兩個(gè)附件，而且每個(gè) 主件要分兩道工序，裝附件只需要一道工序。專做主件第 一道工序的每人每小時(shí)可完成3個(gè)，專做主件第二道工序 的每完成1個(gè)需要一個(gè)人2小時(shí)的時(shí)間，專裝配件每人每 小時(shí)可裝4個(gè)配件。工廠里有170個(gè)工人，每道工序應(yīng)如 何分工？5、從甲地到乙地的路程分為上坡、平路、下坡三段， 三段的路程之比依次為1:

17、2: 3,王強(qiáng)走這三段路所用時(shí) 間比是4: 5: 6o已知他上坡時(shí)的速度是每小時(shí)4千米， 路總長36千米。則王強(qiáng)走完全程要多少小時(shí)？6、甲、乙、丙三人同時(shí)從A地向B地跑，當(dāng)甲跑到B 時(shí)，乙離B地還有35米，丙離B地還有68米；當(dāng)乙跑到B 時(shí)，丙離B地還有40米，設(shè)甲、乙、丙的跑步速度都是勻 速，則A、B兩地相距多少千米？7、甲、乙兩種糖的單價(jià)比是4： 5,質(zhì)量比是4： 1, 把這兩種糖混合成100千克的什錦塘，單價(jià)為8.4元，原 來每種糖的總錢數(shù)各是多少元？8、制造一個(gè)零件，甲需要6分鐘，乙需要5分鐘，丙重點(diǎn)中學(xué)小升初難度題解析王學(xué)宇學(xué)案需要4. 5加露?，F(xiàn)云看1590天豪件的編造任務(wù)分配給他們?nèi)齻€(gè)人，要求在相同的時(shí)間內(nèi)完成，每個(gè)人應(yīng)該分配到多 少個(gè)零件？- -9、-加工一個(gè)零件，甲、乙、丙所需的時(shí)間比為6: 7:8o現(xiàn)在有3650個(gè)零件要